基于不同梁理論的功能梯度懸臂梁自由振動分析

伏培林， 牛國浩， 胡冰暉， 秦明浩， 闞前華

(西南交通大學力學與工程學院， 成都 610031)

引 言

功能梯度材料(Functionally Graded Material，F(xiàn)GM)[1-4]是一種新興的復合材料，其力學性能隨組分材料體積分數(shù)的連續(xù)變化表現(xiàn)出沿特定方向的梯度分布，可以有效避免由于組分材料界面突變而導致的應(yīng)力集中現(xiàn)象，從而廣泛應(yīng)用于航空航天等高技術(shù)領(lǐng)域[5-10]。由FGM構(gòu)成的梁便是所謂的功能梯度梁(Functionally Graded Beam, FGB)。

梁的橫向振動是一種常見的工程現(xiàn)象。例如：航空發(fā)動機的I級壓氣機葉片的振動實際上可簡化為等截面旋轉(zhuǎn)薄壁功能梯度懸臂梁的振動[10]；微懸臂梁的諧振特性可用于高靈敏度的生物傳感器, 例如原子力顯微鏡、表面探測器、生化傳感器以及氣敏傳感器等[11]。當外部激勵的頻率與梁橫向振動的固有頻率相等時，梁便會發(fā)生共振，其撓度和應(yīng)力值很容易達到危險水平，進而導致梁構(gòu)件的破壞[12]。因此，針對梁橫向振動問題的研究,長期以來受到了科學家和工程界的廣泛關(guān)注。伯努利和歐拉在梁振動的理論分析方面做出了開創(chuàng)性的成果，提出了著名的平截面假設(shè)，認為梁橫截面在振動變形前后始終為垂直于軸線的平面?；谠摷僭O(shè)的梁理論便是所謂的歐拉-伯努利梁理論[13]。Sankar[14]基于歐拉-伯努利梁理論進行了功能梯度簡支梁的靜態(tài)分析。瑞利在歐拉-伯努利梁模型的基礎(chǔ)上，進一步考慮了梁彎曲對轉(zhuǎn)動慣量的影響，提出了瑞利梁理論。Jockovic等[15]利用等幾何方法進行了歐拉-伯努利和瑞利梁的線性自由振動分析，提出了一種基于微分幾何與柯西連續(xù)梁模型基本關(guān)系的新方法，并將其成功應(yīng)用于空間曲梁單元的剛度及一致質(zhì)量矩陣的推導；唐安燁等[16]采用積分方程法給出了懸臂瑞利梁固有頻率的數(shù)值解；Tang等[17]基于Hamilton原理，采用積分方程法進行了旋轉(zhuǎn)錐形懸臂瑞利梁的自由振動分析。鐵木辛柯梁理論則是在瑞利梁理論的基礎(chǔ)上進一步考慮了剪切變形對振動變形的影響，可用于非細長梁的振動分析[18]。金晶和刑譽峰[19]基于傅里葉變換和邊界元法，討論了具有兩個廣義位移的剪切梁的自由振動問題。Li等[20]提出了一種功能梯度梁自由振動分析的普適方法，推導出了功能梯度鐵木辛柯梁自由振動方程的一般解，討論了材料性能梯度分布指數(shù)對固有頻率和模態(tài)形狀的影響。

本文基于鐵木辛柯梁理論，采用分離變量法，給出了FGB固有頻率的解析解，比較了在不同跨深比和材料性能梯度分布下歐拉-伯努利、瑞利和鐵木辛柯梁理論所給出的前三階固有頻率計算結(jié)果，討論了不同梁理論的適用范圍，進而為FGB的設(shè)計和應(yīng)用提供一定參考。

1 FGB振動微分方程及其固有頻率

考慮如圖1所示的FGB，其中q為橫向激振分布載荷，梁的橫向彎曲撓度為W(x,t)，L為梁的跨度，b和h分別表示橫截面的寬度和高度。材料的密度和模量均沿梁高方向呈梯度分布，記密度為ρ(y)，彈性模量為E(y)，剪切模量為G(y)。

圖1 功能梯度懸臂梁模型圖

相應(yīng)的平衡方程為[21]：

(1)

式中，w和θ分別表示梁的彎曲撓度和轉(zhuǎn)角；Q和M分別表示剪力和彎矩；m和Ψ分別為縱向單位長度上的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量，

(2)

(3)

Ψ=ρ2+δ2ρ0-2δρ1

(4)

同時，由質(zhì)心的定義很容易推導出

(5)

將式(5)代入式(4)中，可得

(6)

為了將內(nèi)力(Q和M)與梁的振動變形(w和θ)聯(lián)系起來，還需要引入材料的物理方程

(7)

(8)

縱向位移u的表達式滿足梁的平截面假設(shè)，即

u=u0-yθ

(9)

u0為橫截面形心處的縱向位移。將式(8)和式(9)代入式(7)中，即可得到

(10)

(11)

將式(8)和式(9)代入式(11)中，可得

(12)

從而剪力Q和彎矩M可重新寫成如下形式

(13)

將式(2)、式(6)和式(13)代入平衡方程(1)中，便可獲得與文獻[20]相同的功能梯度鐵木辛柯梁振動方程

(14)

為了便于后續(xù)的分析，有必要將同時存在w和θ這兩個未知量的方程轉(zhuǎn)化成僅含有單個未知量的方程。因此，引入輔助函數(shù)F[20,22]，且

(15)

方程可以轉(zhuǎn)化為

(16)

當梁發(fā)生自由振動時，載荷q等于0，自由振動方程(1)可寫為：

(17)

令F(x,t)=f(x)exp(iωt)，ω為梁振動固有頻率。代入其自由振動方程式，可得：

(18)

顯然，二階常系數(shù)齊次微分方程的通解可以寫為：

f(x)=Acos(αx)+Bsin(αx)+

Ccosh(βx)+Dsinh(βx)

(19)

其中，A、B、C和D是由梁的左右兩端邊界條件所決定的積分常數(shù)，且

(20)

(21)

懸臂梁的邊界條件為：F(x=0)=θ(x=0)=0；Q(x=L)=M(x=L)=0

將邊界條件代入F(x,t)得：

F(x=0)=A+C=0

(22)

F′(x=0)=αB+βD=0

(23)

Q(x=L)=(μ1-1)αAsin(αL)-

(μ1-1)αBcos(αL)-(μ2-1)βCcosh(βL)-

(μ2-1)βDsinh(βL)=0

(24)

M(x=L)=-α2Acos(αL)-α2Bsin(αL)+

β2Ccosh(βL)+β2Dsinh(βL)=0

(25)

其中：

進一步整理成線性方程組形式如下：

D(A,B,C,D)T=0

(26)

其中，

顯然，積分常數(shù)不可能全為零，線性方程組(26)存在非零解，因此系數(shù)矩陣D的行列式為零，即

det(D)=0

(27)

求解式(27)即可獲得功能梯度懸臂梁的固有頻率。

2 結(jié)果和討論

根據(jù)式(17)不難發(fā)現(xiàn)：跨深比的數(shù)值會直接影響梁的固有頻率。因此，本節(jié)將基于上述的鐵木辛柯梁理論，討論不同跨深比和材料性能分布梯度指數(shù)對固有頻率的影響。

使用有限元分析軟件ABAQUS建立實體梁模型：橫截面高h=0.2 m，寬b=0.2 m，通過改變長度L來改變跨深比。由于ABAQUS無法直接設(shè)置材料性能的連續(xù)梯度分布，因此在有限元模擬中可采用層合梁模型來近似代替真實的FGB。根據(jù)材料性能梯度分布函數(shù)，計算出每一層梁中間位置的彈性模量、剪切模量和密度，并將其賦予該梁層。在層合梁層數(shù)的優(yōu)化過程中發(fā)現(xiàn)，層數(shù)為32時的有限元計算結(jié)果與理論計算結(jié)果符合得較好，因此將在后續(xù)的有限元模擬中均將真實的FGB用32層層合梁近似代替。對該模型一端施加完全固定約束，模型整體限制沿z軸移動與繞x、y軸轉(zhuǎn)動的自由度；采用C3D8R單元，單元數(shù)目共25 000個。

FGB的材料性能分布可表達如下[16]：

(28)

(29)

其中，ρl和El分別為y=-0.1 m處材料密度和彈性模量，ρu和Eu分別為y=0.1 m處材料的密度和彈性模量，如表1所示；k為材料性能梯度分布指數(shù)，如此可反映材料性質(zhì)的梯度分布情況，如圖2所示。

圖2 不同性能梯度分布指數(shù)k下的彈性模量與密度分布曲線

表1 功能梯度材料屬性

從特征方程根的表達式(15)和(16)可以看出，梁的寬度不會影響固有頻率，因此梁的幾何形狀對固有頻率的影響僅由跨深比來反映。為了便于后續(xù)的討論，可對固有頻率進行如下的無量綱處理：

2.1 梯度分布指數(shù)對固有頻率的影響

分別采用歐拉、瑞利和鐵木辛柯梁理論，計算跨深比L/h=10的功能梯度懸臂梁的前三階固有頻率，計算結(jié)果如圖3所示。從中可以看出，固有頻率隨著梯度分布指數(shù)k的增加而降低，k大于5之后，固有頻率趨于穩(wěn)定，這是由于k大于5時的材料性能分布形式相近(見圖2)造成的。在工程上可以采用改變材料性能梯度分布指數(shù)的方法調(diào)控固有頻率來避免目標階次的共振問題。整體來說，當跨深比為10時，與歐拉-伯努利梁和瑞利梁理論相比，鐵木辛柯梁理論所給出的計算結(jié)果與有限元結(jié)果更為相近，誤差均小于5%，處于工程應(yīng)用接受范圍內(nèi)，表明該理論在此條件下計算低階固有頻率時是可靠的。

圖3 梯度分布指數(shù)改變時三種梁理論下懸臂梁的固有頻率計算結(jié)果

2.2 跨深比對固有頻率的影響

當梯度分布指數(shù)為0.5時，采用三種梁理論，計算不同跨深比時功能梯度懸臂梁的固有頻率的結(jié)果如圖4所示。由圖4可以看出，梁的固有頻率隨著跨深比的增加而增加，且階數(shù)越高，對應(yīng)固有頻率的增加幅度越大，但與有限元解之間的誤差也隨之增加。此外，當跨深比小于10時，采用歐拉梁和瑞利梁理論求出的各階頻率，尤其是高階頻率，與有限元計算結(jié)果之間的誤差較大，而采用鐵木辛柯梁理論計算出的頻率依然吻合良好，誤差均在5%以內(nèi)。

圖4 跨深比改變時三種梁理論下懸臂梁的固有頻率計算結(jié)果

2.3 不同梁理論之間的對比

圖5展示了梯度指數(shù)k=0.5在不同階數(shù)時，不同梁理論所給出的固有頻率計算結(jié)果。由圖5可以看出，對于短粗梁(跨高比<20)，歐拉梁所給出的固有頻率預測結(jié)果最大，瑞利梁次之，鐵木辛柯梁最小，表明同時考慮橫截面剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量對彎曲振動的影響可以有效避免對短粗梁固有頻率的過分高估，且后者對固有頻率的影響明顯低于前者，因此鐵木辛柯梁理論更適用于短粗梁的振動分析。同時，當跨高比大于20時，梁變得非常細長，此時橫截面剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量對彎曲振動的影響甚微，從而三種梁理論所給出的預測結(jié)果非常接近。

圖5 不同跨深比下不同梁理論計算的固有頻率計算結(jié)果

3 結(jié) 論

(1)對于功能梯度懸臂梁而言，計算固有頻率時應(yīng)當根據(jù)梁的尺寸來選用合適的理論。對于短粗梁，由于歐拉梁和瑞利梁理論忽略了剪切變形對梁彎曲振動的影響，從而在一定程度上過高估計了梁的固有頻率，相應(yīng)的適用性明顯低于鐵木辛柯梁；當梁非常細長時(跨深比超過20)，橫截面剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量對彎曲振動的影響甚微，從而三種梁理論所給出的預測結(jié)果非常接近。

(2)梯度分布指數(shù)k在0～5之間變化時，材料性能參數(shù)分布形式的變化非常顯著，進而導致相應(yīng)梁的固有頻率發(fā)生較大變化，可通過改變材料性質(zhì)的梯度分布來調(diào)節(jié)固有頻率，從而避免目標階的共振問題。