畫家和數(shù)學(xué)的不期而遇

林革

在一般人的印象中，畫家是從事繪畫藝術(shù)的人群，以感性思維見長，與培養(yǎng)理性思維的數(shù)學(xué)似乎并不相干。但你若觀賞過委內(nèi)瑞拉畫家Rafael Araujor的高能幾何繪畫（圖①和圖②），或許就會改變這樣的想法。他以圓規(guī)和尺子做出數(shù)學(xué)軌跡，就能創(chuàng)作出如此栩栩如生的作品，令人稱奇。由此可見，畫家與數(shù)學(xué)絕非風(fēng)馬牛不相及，在心有靈犀和天賦興趣的前提下，藝術(shù)時常與數(shù)學(xué)不期而遇產(chǎn)生奇妙的火花。

畫作中的幻方

中世紀(jì)德國著名畫家阿爾布雷特·丟勒在其功成名就之時，突然宣布轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)研究，這種跨度似乎很難用心血來潮或別出心裁解釋。即便如此，這位酷愛幻方的畫家為其1514 年的名作《憂郁》（圖③）添加了一個特別背景―四階幻方（圖③右上角），足以顯示自己業(yè)余愛好的非凡水準(zhǔn)。

用數(shù)學(xué)眼光來判斷，畫家苦心經(jīng)營的這個四階幻方看似非常普通。唯一比較特別的是，幻方最后一行中間兩個數(shù)是15和14，恰好隱含了作品的創(chuàng)作年代，似乎也僅此而已。由于當(dāng)時的四階幻方已達880種之多，各有千秋、精彩紛呈，所以人們當(dāng)初并沒有對畫中的幻方高看一眼。

然而到了本世紀(jì)，當(dāng)專家重新審視這則幻方時，竟然發(fā)現(xiàn)數(shù)百年來大家都是“有眼不識泰山”，這則幻方中蘊含的種種被忽略的特性足以讓人刮目相看。

第一，幻方角上4數(shù)之和16+13+4+1=34，等于四階幻方的和常數(shù)，這可不是幻方的常規(guī)要求，看似無心卻是有意；第二，在這個幻方中，角上的4個2×2小正方形和中央1個2×2小正方形的4數(shù)之和仍等于幻方常數(shù)，即16+3+5+10=9+6+4+15=2+13+11+ 8=7+12+14+1=10+11+6+7=34，其中的機巧讓人眼前一亮；第三，在這個幻方中，對角線上8個數(shù)字之和等于不在對角線上的8個數(shù)字之和，即16+10+7+1+13+11+6+4=2+3+5+ 9+14+15+12+8=68，這顯然出乎人們的意料和想象。

推演后，人們還發(fā)現(xiàn)：對角線上8個數(shù)字的立方和等于不在對角線上的8個數(shù)字的立方和，都為9248。如此“不變其宗”的機變實在讓人拍案叫絕。

一個畫家的數(shù)學(xué)造詣和精巧構(gòu)思竟然如此高深，這恐怕是許多人完全沒有想到的。

達·芬奇的巧證

列奧納多·達·芬奇是意大利最著名、最杰出的藝術(shù)大師。這位“歐洲文藝復(fù)興時期最完美的代表”，學(xué)識淵博、多才多藝，不僅在繪畫領(lǐng)域有著高超精湛的藝術(shù)造詣，而且在科學(xué)領(lǐng)域也展露出非凡卓越的才能，其研究成果和發(fā)明創(chuàng)造，曾得到偉大的物理學(xué)家愛因斯坦的高度贊賞，被贊譽為“人類歷史上絕無僅有的全才”。下面這則巧證“勾股定理”的故事，應(yīng)該是對他身份中“藝術(shù)家里的數(shù)學(xué)家”的最佳詮釋。

據(jù)說有一天，達·芬奇來畫室檢查學(xué)生臨摹《蒙娜麗莎》的情況，令他驚訝的是，竟然有半數(shù)學(xué)生沒有潛心于作畫，而是在探討“畢達哥拉斯定理”的證明。這個定理也就是大家現(xiàn)在非常熟悉的“勾股定理”：直角三角形兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2。有關(guān)這個定理的證明多種多樣，一直吸引著愛好者另辟蹊徑，嘗試探索。

達·芬奇自然知曉“畢達哥拉斯定理”的出處和背景，加上自身對數(shù)學(xué)也很癡迷，所以他并沒有批評弟子們，反而饒有興致地加入其中，很快便給出一個別出心裁的證明方法：

先將邊長分別為a、b的兩個正方形和邊長都是a、b、c的兩個直角三角形拼合成圖④，且畫出整個圖形的對稱軸（圖中虛線）；接著，將拼合成的圖形整體從畫紙中移出，再將取出的圖形沿對稱軸剪開，然后保留圖形的左邊，而將右邊按照垂直方向翻轉(zhuǎn)一周后重新拼合成圖⑤；最后，將圖④中一些頂點相連成一個c為邊長的正方形和兩個邊長為a、b的直角三角形（圖⑥），就完成了定理的證明。

油畫中的難題

俄國著名畫家格丹諾夫·別爾斯基在1895年創(chuàng)作過一幅名為《難題》的油畫（圖⑦）。油畫描繪了一位小學(xué)教師正在和他的學(xué)生們演算黑板上的數(shù)學(xué)題。這位戴眼鏡的教師非同尋常，他是俄國著名數(shù)學(xué)家、教育家拉金斯基。

值得一提的是，這幅與數(shù)學(xué)有關(guān)的油畫的背景。畫中的主人公是莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)教授、著名的教育家拉金斯基，畫中的情景是描繪拉金斯基放棄大都市生活，到農(nóng)村當(dāng)一名默默無聞的小學(xué)教師。或許人們都會驚訝于拉金斯基的選擇，其實只要了解了拉金斯基的生活經(jīng)歷就不難理解。生于農(nóng)村的拉金斯基自小便對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣，常常為了一些“難題”，算上幾天幾夜也不疲倦。11歲那年，他碰到一道難題，徒步50多千米到城里求教中學(xué)老師，老師只花了一分鐘，便解出了答案。所以他很有感觸：一些令農(nóng)村孩子們頭疼的“難題”，只要有好的老師指導(dǎo)，其實是很簡單的。

為改變這種情況，拉金斯基盡管依靠自己的努力成為俄國著名數(shù)學(xué)家，他還是毅然辭去大學(xué)教授的職位，選擇回到農(nóng)村，來到那些更需要他的孩子們身邊。這幅油畫也由于數(shù)學(xué)家拉金斯基的感人事跡而得到了人們的關(guān)注。

這幅油畫被世界各地的數(shù)學(xué)愛好者得知后，大家紛紛前去品鑒，其中就有美國著名數(shù)學(xué)科普大師加德納。由于職業(yè)關(guān)系，加德納對畫中的這道數(shù)學(xué)題產(chǎn)生了濃厚興趣，他循著這一問題進行了有針對性的研究，一番艱辛之后，終于有所發(fā)現(xiàn)。

之后，又經(jīng)過進一步深入演算，加德納終于歸納出了這樣一個規(guī)律：這些等式可以無窮無盡地寫下去，樣子就像一座美麗的“寶塔”。如果等式右邊有x項，那么等式左邊就有x+1項。當(dāng)然，所有的數(shù)都得平方。加德納說，最關(guān)鍵的是，這一串連續(xù)自然數(shù)中心的一個，一定為2x（x+1）。這可是從這幅特殊的油畫中得到的特殊發(fā)現(xiàn)喲。

杰作中的數(shù)學(xué)公式

文森特·威廉·梵高是19世紀(jì)偉大的藝術(shù)巨匠，也是舉世聞名的印象派大師。他的一生歷經(jīng)艱難困苦。梵高在世時，其藝術(shù)造詣并未得到充分肯定，他飽受癲癇病和精神錯亂的折磨，甚至割掉了自己的一只耳朵，最終在37歲時于絕望中開槍自殺。與此同時，梵高的一生又取得了輝煌的成就，如今，他已成為人們心目中偉大的藝術(shù)家，其畫作不斷被拍出高價，在藝術(shù)史上達到了令人難以超越的高度。

更耐人尋味的是：在被視為經(jīng)典的梵高后期作品之《麥田上的烏鴉》（圖⑧）以及《星空》（圖⑨）里，科學(xué)家用獨特的眼光發(fā)現(xiàn)了非比尋常的元素，畫作中一些旋渦式圖案背后竟然暗藏著復(fù)雜的數(shù)學(xué)和物理學(xué)公式。

在這幅《麥田上的烏鴉》中，烏云翻卷的天空和狂風(fēng)撼動下的麥田，急促而蒼勁的黑色線條，畫出在波浪起伏的麥田上低掠而過的烏鴉。畫中的每筆線條都帶有強烈的動感，動蕩不安的構(gòu)圖、明暗對比強烈的色調(diào)、粗野狂放的繚亂筆觸，充分顯露出梵高內(nèi)心的孤獨、壓抑和苦悶。

在《星空》中，畫著一些小屋， 絲柏從地面伸向夜空；黃色的星星與閃光的橘黃色月亮形成旋渦， 天空因此變得活躍起來。

在這兩幅作品中，幾乎所有人都能感受到旋渦的存在和作用，一直以來，人們把這些旋渦看成是梵高的一種獨特的藝術(shù)表現(xiàn)形式，但現(xiàn)在，來自墨西哥國立自治大學(xué)的物理學(xué)家喬斯·阿拉貢經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，梵高畫作里出現(xiàn)的那些深淺不一的旋渦，竟然和半個世紀(jì)后科學(xué)家用來描述湍流現(xiàn)象的數(shù)學(xué)公式不謀而合。

湍流問題曾被稱為“經(jīng)典物理學(xué)最后的疑團”，科學(xué)家一直試圖用精確的數(shù)學(xué)模型來描述湍流現(xiàn)象，但至今仍未徹底解決。20世紀(jì)40年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了“柯爾莫哥洛夫微尺度”公式，借助該公式，物理學(xué)家可以預(yù)測流體任意兩點之間在速率和方向上的關(guān)系。在梵高的這兩幅畫作里，那些深淺不一的旋渦正好精確地反映了這個公式。

需要指出的是，梵高這些畫作均為其后期作品，當(dāng)時的他已經(jīng)陷入癲癇病帶來的內(nèi)心狂亂狀態(tài)，時而清醒，時而混亂。阿拉貢相信，正是梵高的幻覺讓他得以洞察旋渦的原理。持類似觀點的還有哈佛大學(xué)神經(jīng)病學(xué)教授史蒂文·沙克特，他認(rèn)為：“有人會在發(fā)病時產(chǎn)生新的、異常的意識，他的感覺和認(rèn)知都會變得不正常?！睋Q句話說，梵高畫作里表現(xiàn)出的物理現(xiàn)象，極有可能與其受癲癇病影響有關(guān)?？茖W(xué)家們相信癲癇令梵高產(chǎn)生的幻覺，可能賦予他洞察湍流奧秘的特殊能力，并不自覺地在作品中留下湍流的經(jīng)典數(shù)學(xué)模型的影像。

盡管這樣的解釋并不能完全令人信服，但這種藝術(shù)與科學(xué)的碰撞，或許與梵高天才的想象和苦行僧般的經(jīng)歷有關(guān)，冥冥之中的注定恐怕只可意會，難以言傳，因此我們在對科學(xué)家的發(fā)現(xiàn)表示驚訝的同時，也只能對這位藝術(shù)大師的傳奇表達敬意。

埃舍爾的錯覺圖形

莫里茨·科內(nèi)利斯·埃舍爾是荷蘭科學(xué)思維版畫大師，20世紀(jì)畫壇中別具一格的藝術(shù)家。其作品多以平面鑲嵌、不可能的結(jié)構(gòu)、悖論以及循環(huán)等為特點，從中可以看到對分形、對稱、雙曲幾何、多面體、拓?fù)鋵W(xué)等數(shù)學(xué)概念的形象表達，為繪畫藝術(shù)增添了難以言說的數(shù)學(xué)之美，他也被公認(rèn)為將繪畫藝術(shù)性與數(shù)學(xué)科學(xué)性融會貫通并發(fā)揮到極致的藝術(shù)大師。

1956年，埃舍爾舉辦了生平第一次重要的畫展，這個畫展得到了《時代》雜志的好評，使他在世界范圍獲得了極高的名望。許多數(shù)學(xué)家給予埃舍爾藝術(shù)作品充分的肯定，認(rèn)為埃舍爾藝術(shù)作品中的數(shù)學(xué)原則和思想得到了非同尋常的形象化。后來，隨著埃舍爾創(chuàng)作的發(fā)展，創(chuàng)造出許多反映悖論和“不可能”的圖形結(jié)構(gòu)的藝術(shù)作品，見者莫不驚嘆于數(shù)學(xué)思維融入藝術(shù)創(chuàng)造中的奇特魅力。

比如上面這幅引人注目的作品《互繪的雙手》（圖⑩），你看到后會情不自禁地研判究竟是哪一只手繪出了另一只手。畫面中既像左手畫著右手，又像右手畫著左手，當(dāng)然也可以看作左右手互繪，在確定無解后只能感慨“你中有我，我中有你”的神奇。而這恰好反應(yīng)了埃舍爾作品中極為重要的特征—自我復(fù)制和完全循環(huán)。事實上，在埃舍爾其他代表作品中，這種特征隨處可見，已成特色，并由此營造出匪夷所思的視覺效果。

不僅如此，埃舍爾的許多作品還體現(xiàn)了平面鑲嵌的特點。所謂“平面鑲嵌”，是指完全沒有重疊并且沒有空隙的封閉圖形的排列。一般情況下，構(gòu)成鑲嵌的封閉圖形的基本單元是多邊形或類似的常規(guī)形狀，埃舍爾更癡迷于那些不規(guī)則的、形狀特別的平面鑲嵌。因此，在他的很多藝術(shù)作品中，都運用了幾何學(xué)中的反射、旋轉(zhuǎn)來得到更加多變的圖案，并獨具匠心地使這些圖案通過扭曲、變形成為人、鳥、魚等，這樣美不勝收的效果既自然又令人拍案叫絕。比如《騎士平面鑲嵌》（圖〇11）和《黑白鳥的鑲嵌》（圖〇12）就充分反映出重疊、翻轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)美。

此外，交叉幾何體也常常出現(xiàn)在埃舍爾的藝術(shù)作品中，比如木版畫《星空》（圖13〇）：這是一個由八面體、四面體和立方體交叉構(gòu)成的幾何體，這些正面體都是外凸的，同時還存在內(nèi)凸的正多面體，數(shù)學(xué)家已證明出存在26種可能的規(guī)則立體，它們之間互相交叉后還可以形成無數(shù)規(guī)則的立體系列。埃舍爾設(shè)計出飄浮著無數(shù)規(guī)則立體的星空背景，并在奇妙的正多面體中加入了兩條變色龍，帶給觀眾奇妙的視覺沖擊，巧妙展現(xiàn)出了立體幾何的數(shù)學(xué)美。

特別值得一提的是，在埃舍爾用數(shù)學(xué)觀點完成的所有重要藝術(shù)作品中，最重要的是處理空間性質(zhì)的作品。比如《瀑布》（圖〇14），從中可以發(fā)現(xiàn)這個瀑布本質(zhì)上就是兩個彭羅斯三角的疊加，形成了矛盾的空間，顯示了埃舍爾對空間維度的關(guān)注以及用二維的方式表現(xiàn)三維空間的矛盾和詭術(shù)。

所謂彭羅斯三角 （圖〇15），看起來像是一個固體，由三個截面為正方形的長方體所構(gòu)成，三個長方體組合成為一個三角形，但兩長方體之間的夾角似乎又是直角。但上述性質(zhì)無法在任何一個正常三維空間的物體上實現(xiàn)，是所有不可能圖形中最基礎(chǔ)的一個。

在埃舍爾手中，剛性的維度可以任意扭曲反轉(zhuǎn)，從而展示出在其豐富想象空間中的魔法變換。

在《莫比烏斯帶上的螞蟻》（圖〇16）中，如果我們跟蹤螞蟻的路徑，就會發(fā)現(xiàn)螞蟻并不是在相反的面上爬行，而是爬行在同一個面上。這就是埃舍爾藝術(shù)作品中展現(xiàn)出的拓?fù)鋵W(xué)價值和數(shù)學(xué)美。

早在公元前6世紀(jì)，古希臘著名數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯就認(rèn)為：數(shù)與美緊密關(guān)聯(lián)，甚至可以說，數(shù)是美的本源，一切藝術(shù)都產(chǎn)生于數(shù)。這足以說明藝術(shù)與數(shù)學(xué)有著悠遠的淵源。由此不難理解，從事藝術(shù)創(chuàng)作的畫家為何流連于鮮花盛開的數(shù)學(xué)園林，探尋和呈現(xiàn)數(shù)學(xué)之美才是主線和主題。