穩(wěn)健總體最小二乘擬合在地鐵監(jiān)測中的應用

陳開端

(福州地鐵集團有限公司 福建福州 350001)

0 引言

福州市地處福建省東部，閩江下游沿海地帶，亞熱帶季風氣候造成的充沛降水以及閩江、烏龍江和城市內河組成的城市水系網(wǎng)絡，使得福州市整個地下水的儲備較為豐富。此外，福州市區(qū)內廣泛分布有較大厚度的軟土，其特點為強度低、可壓縮性較高，在地面震動或者較大荷載的作用之下，容易產生固結變形，導致地面沉降，引發(fā)房屋、路面開裂等地質災害。因此，在福州市區(qū)修建地鐵是非常有難度的，必須時刻警惕坑內降水和土方開挖對坑內外水位以及路面沉降的影響。所以在地鐵施工過程中，有必要采用合理的手段對施工圍護結構的受力與變形、地表沉降、坑外水位以及周邊環(huán)境進行數(shù)據(jù)上的監(jiān)測。通過對監(jiān)測數(shù)據(jù)進行分析，掌握結構的受力狀態(tài)與變形狀態(tài)，了解所監(jiān)測對象的變形程度及變形趨勢，及時發(fā)現(xiàn)施工過程中的安全隱患，采取相應的應急措施，保障地鐵建設過程的安全穩(wěn)定。

在地鐵的監(jiān)測過程中，由于現(xiàn)場施工條件問題，常常會發(fā)生監(jiān)測數(shù)據(jù)因現(xiàn)場遮擋而產生的不連續(xù)，而為了分析監(jiān)測數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢以及修復這些不連續(xù)的情況，就需要對監(jiān)測數(shù)據(jù)進行模型的構建，通過內插的方法還原不連續(xù)的數(shù)據(jù)。近年來，對監(jiān)測數(shù)據(jù)進行分析的模型逐漸增多，目前常用的模型包括了曲線擬合法、灰色理論模型、卡爾曼濾波模型、人工神經網(wǎng)絡模型、小波分析模型等。總體最小二乘曲線擬合法的基本原理是通過總體最小二乘的理論來求解曲線擬合模型中的未知參數(shù)。該方法由于同時考慮了觀測值與系數(shù)矩陣的誤差，因而具有無偏性，求解得到的結果精度比較高，能夠有效的擬合得到監(jiān)測數(shù)據(jù)的趨勢模型。本文將總體最小二乘曲線擬合的方法應用于對地鐵監(jiān)測數(shù)據(jù)的模型構建中，并結合穩(wěn)健估計的理論，提出了一種穩(wěn)健的總體最小二乘曲線擬合法，在剔除監(jiān)測數(shù)據(jù)中異常值的基礎上，構建監(jiān)測數(shù)據(jù)的趨勢模型，有效預測了監(jiān)測數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢以及修復監(jiān)測數(shù)據(jù)中的不連續(xù)情況。

1 穩(wěn)健總體最小二乘擬合原理

1.1 最小二乘法(LS)曲線擬合法

曲線擬合法是趨勢分析法中的一種，主要的原理是利用各種光滑曲線的數(shù)學模型來擬合實際數(shù)據(jù)，從而得到一個接近于真實數(shù)據(jù)變化的趨勢模型。本文采用的是多項式擬合的模型，其模型方程如式(1)所示。

F(x)=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1

(1)

式中，a1,a2,…,am+1表示多項式擬合的系數(shù)，x為原始觀測數(shù)據(jù)，m為多項式的次數(shù)。

假設總共有n個數(shù)據(jù)，則多項式擬合的誤差方程可以寫成式(2)的形式。

V=BX-L

(2)

其中，

(3)

則根據(jù)最小二乘的原理，可以得到待定參數(shù)的估值為：

X=(BTB)-1BTL

(4)

1.2 總體最小二乘法(TLS)曲線擬合法——(SVD法)

由式(2)、式(4)可知，最小二乘的方法在求解過程中，只考慮了觀測矩陣L的誤差。然而事實上，當觀測數(shù)據(jù)中含有測量誤差時，由觀測數(shù)據(jù)所組成的系數(shù)矩陣B中也不可避免的存在誤差。因此，為了能得到更加準確的結果，本文考慮了總體最小二乘的方法，將其運用到多項式曲線擬合的模型中，能夠進一步提高擬合結果的精度?？傮w最小二乘在求解的過程中，認為系數(shù)矩陣B和觀測矩陣L都包含誤差，則式(2)可變形為：

(B+EB)X=L+EL

(5)

其中，EL分別由B矩陣和L向量的誤差改正數(shù)組成，具體形式如下所示：

對式(5)的X的估計有多種方法，比較簡單的是用奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)的方法求解待定參數(shù)X的總體最小二乘解[20,23]。奇異值分解的形式如式(6)所示。

(6)

其中，

(7)

單位權中誤差可根據(jù)式(8)進行計算。

(8)

其中n是樣本數(shù)，f是參數(shù)數(shù)目。

由于TLS同時考慮了自變量和因變量誤差，對所有需要修正的變量都進行了最小化約束，因此，利用TLS進行擬合求解不會因自變量和因變量的選擇不同而產生差異，具有較LS更穩(wěn)健的擬合結果[18]。

1.3 總體最小二乘法曲線擬合法(正交法)

奇異值分解的TLS將矩陣A中一列均為1的不含誤差的常數(shù)矩陣進行了考慮，致使擬合結果變異。正交TLS是以所有觀測點到擬合直線或平面距離的平方和最小為基準對參數(shù)進行解算，構建的算法最為合理。因此，正交TLS不僅具有較高擬合精度，同時還有較廣泛的應用性。一般的[15,19,23]，多項式變換為：

F(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm=a0+a1X1+a2X2+…+amXm

(9)

其中X1=x,X2=x2，…,Xm=xm,

如果誤差為Vx,Vy，(8)式變?yōu)椋?/p>

y+Vy=a0+a1(X1+Vx1)+a2(X2+Vx2)+…+am(Xm+Vxm)

(10)

將(10)式變?yōu)檎皇剑?/p>

(11)

1.4 穩(wěn)健的總體最小二乘曲線擬合法

有些加權總體最小二乘方法均沒有考慮觀測數(shù)據(jù)中可能存在粗差的情況，而現(xiàn)代測量手段趨向于向數(shù)據(jù)采集的自動化和快速化發(fā)展，其觀測量中同時包含了粗差、系統(tǒng)誤差和隨機誤差[18]。在平差處理中，如何發(fā)現(xiàn)和區(qū)分粗差觀測量，并消除或減弱其影響，是提高平差成果精度的一個關鍵問題。由于地鐵現(xiàn)場條件復雜，觀測數(shù)據(jù)中會因為各種因素的影響存在粗差，因此有必要對觀測數(shù)據(jù)進行粗差探測與剔除。穩(wěn)健估計正是針對這一缺陷而提出來的，其目的在于構造某種估計方法，使其對于模型誤差，特別是粗差具有較強的抵抗能力。穩(wěn)健估計方法可以分為三大類，即M估計、L估計、R估計。本文結合了穩(wěn)健估計與總體最小二乘擬合法，將二者應用于地鐵監(jiān)測數(shù)據(jù)的模型構建上，得到了一種穩(wěn)健的總體最小二乘多項式擬合的方法，該算法的實現(xiàn)過程如下：

(1)利用2.2節(jié)介紹的原理進行一次總體最小二乘曲線擬合，得到參數(shù)的初始值；

(2)計算每個實際觀測值與擬合值差的絕對值di；

(3)利用式(9)計算距離 的標準偏差；

(9)

(10)

(4)本文采用的穩(wěn)健估計方法是由Huber在1964年提出的M-估計法，其基本思想是根據(jù)觀測值殘差的大小，對觀測值賦予不同的權值，從而區(qū)分觀測值中的粗差與正常值。根據(jù)M-估計法的準則，本文對每一個觀測值的殘差di進行判斷，若第i個點到擬合曲線的距離di>2σ，則認為該點是異常點，應予以剔除，否則保留該點，計算式如下[21]：

(11)

(5)對經過篩選得到的觀測數(shù)據(jù)再次進行總體最小二乘擬合，得到新的多項式擬合參數(shù)，完成穩(wěn)健總體最小二乘擬合模型的構建。

2 實驗與分析

2.1 實驗方案

為驗證本文提出方法的可行性，現(xiàn)以福州市地鐵某在建工點的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)作為實驗對象。鑒于文章篇幅的限制，本文只截取其中一個沉降監(jiān)測點近百日的數(shù)據(jù)進行分析，對其余各點的分析結果也基本相同。本文數(shù)據(jù)是由Trimble DINI03數(shù)字水準儀采集得到的，總共28期，具體的監(jiān)測數(shù)據(jù)如表1所示。利用數(shù)據(jù)中的前20期數(shù)據(jù)進行模型擬合，并對最后1期數(shù)據(jù)進行預測，將預測得到的結果與實際數(shù)據(jù)進行比較，判斷模型的預測精度。

表1 原始沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)

2.2 實驗分析

2.2.1最小二乘法和總體最小二乘法的比較

利用本文第二節(jié)提出的方法，對表1中數(shù)據(jù)進行最小二乘法、總體最小二乘法(SVD法,此處記為TLS1)和總體最小二乘法(正交法,此處記為TLS2)曲線擬合。根據(jù)對原始觀測數(shù)據(jù)的分析，選取多項式的次數(shù)為3次。為更好地體現(xiàn)總體最小二乘擬合法的擬合效果，現(xiàn)將其與最小二乘擬合的結果進行對比分析得到的擬合結果如表2所示，第21個值最為預測檢驗值，計算結果如表3所示。

表2 模型擬合結果對比表

表3 模型預測結果對比表

圖1 LS、TLS1、TLS2擬合曲線圖

由表2～表3和圖1可以看出TLS所得的擬合曲線單位權中誤差明顯小于LS。進一步分析2種TLS的參數(shù)估計結果及精度發(fā)現(xiàn)，奇異值分解的TLS過多地考慮矩陣B中不存在誤差的部分，致使精度明顯優(yōu)于其他方法，但擬合參數(shù)卻已經發(fā)生變異，造成虛假的擬合誤差最小現(xiàn)象。正交TLS考慮的是所有觀測點到擬合直線距離的平方和最小，且合理地考慮了自變量和因變量誤差，因此，其估計的參數(shù)更加接近實際值。綜合考慮各種解的算法所得的參數(shù)及精度，可以看出正交TLS的擬合結果最優(yōu)[20]。

2.2.2穩(wěn)健總體最小二乘法的效果比較

根據(jù)M-估計法的準則，由Huber函數(shù)，對于殘差計算出點列對應的P值如表4所示。

為更好地體現(xiàn)穩(wěn)健總體最小二乘擬合法的擬合效果，根據(jù)表4的P值，現(xiàn)將在LS中去掉第1個、第5個、第10個、第19個異常點，在TLS1中去掉第1個、第2個，在TLS2中去掉第1個、第5個異常點，分別進行穩(wěn)健總體二乘法，得到結果如表5所示。

表4 三種擬合P值表

表5 模型擬合結果對比表

表6 模型預測結果對比表

圖2 穩(wěn)健加權后的 LS、TLS1、TLS2擬合曲線圖擬合曲線圖

將由表4～表5和圖2與表2～表3和圖1相比較，明顯穩(wěn)健加權總體最小二乘法比總體最小二乘法和最小二乘法效果好得多。最小二乘擬合模型的驗后單位權中誤差為0.9 939mm，本文模型的驗后單位權中誤差分別為為0.21mm和0.49mm，3種方法的擬合曲線圖如圖2所示。從圖2中可以發(fā)現(xiàn)，3種方法基本都能擬合原始觀測數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢，本文提出方法的擬合效果相比最小二乘擬合法會更佳，特別是正交法更佳。由表6可以發(fā)現(xiàn)，穩(wěn)健總體最小二乘擬合法的預測結果，其平均絕對誤差和平均相對誤差都小于最小二乘擬合法的預測結果，預測結果與實際值的誤差分別為0.4mm和 0.15mm，都在1mm以內，能夠滿足地鐵監(jiān)測的要求。因此，穩(wěn)健總體最小二乘擬合法，特別是使用正交法的穩(wěn)健總體最小二乘擬合法，較一般的最小二乘曲線擬合法而言，具有相對高的擬合、預測精度，預測結果穩(wěn)定可靠，比較適用于地鐵的施工監(jiān)測過程中。

3 結論

本文利用穩(wěn)健估計結合總體最小二乘的方法，對福州地鐵某工程沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)進行了多項式曲線擬合，并對實測數(shù)據(jù)進行預測。結果顯示，穩(wěn)健總體最小二乘擬合法能較好地擬合監(jiān)測數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢，其預測結果相比一般的最小二乘擬合法而言，絕對誤差和相對誤差都較小，預測結果能控制在1mm以內，能夠滿足地鐵施工監(jiān)測的要求，因而對短期預測施工監(jiān)測數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢有較大的幫助，有一定的實際應用價值。