數(shù)列通項公式的幾種求法

■河南省沈丘縣第一高級中學(xué) 王俊義

一、累加法

例1 已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+,求數(shù)列{a}的通n項公式。

解析：由已知得

二、構(gòu)造法

例2 在數(shù)列{an}中,求數(shù)列{an}的通項公式。

解析：由

三、對數(shù)變換法

例3 已知正項數(shù)列{an}滿足：a1=1,如果對任意正整數(shù)m都成立,求λ的最小值。

解析：對于等式兩邊取以10為底的對數(shù)得l gan+l gan+1=,整理得(l gan+

由已知anan+1≠1知

所以數(shù)列{an}是以1為首項,10為公比的等比數(shù)列,an=10n-1。

四、特征根法

例4 用1,2,3三個數(shù)字來構(gòu)造n位數(shù),但不允許有兩個緊挨著的1出現(xiàn)在該n位數(shù)中,問：能構(gòu)造多少個這樣的n位數(shù)?

解析：設(shè)能構(gòu)造an個符合條件的n位數(shù),易知a1=3,a2=8,當(dāng)n≥3時,如果該n位數(shù)第一個數(shù)字是2或3,那么這樣的n位數(shù)有2an-1個,如果該n位數(shù)第一個數(shù)字是1,那么第二個數(shù)字只能是2或3,因而這樣的n位數(shù)只能有2an-2個,于是遞推關(guān)系為an=2an-1+2an-2,n=2,3,4,…

如果規(guī)定a0=1,先解特征方程x2=則可令

再由a0=1,a1=3得α1+α2=1,,解 得α1=故

評注：對于遞推關(guān)系為an+2=c1an+1+c2an(c1,c2為常數(shù),c2≠0)的數(shù)列,它的特征方程為x2=c1x+c2。

定理：設(shè)x1,x2是特征方程x2=c1x+c2的兩個根。①當(dāng)x1≠x2時,an的一般表達式為an=α1xn1+α2xn2;②當(dāng)x1=x2時,an的一般表達式為an=(β1+β2n)xn1,這里的α1,α2,β1,β2都是由初始值確定的常數(shù)。(證明略)

五、不動點法

例5 設(shè)數(shù)列{an}滿足：a0=2,an=,求a。n

解析：令,得x=-2,x=3,12這是函數(shù)的兩個不動點,則有,所以數(shù)列是以為首項,-4為公比的等比數(shù)列,故

六、待定系數(shù)法

例6 如圖1,將一個圓分成n（n≥2）個扇形區(qū)域,現(xiàn)用k（k≥2）種不同顏色對這n個區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域顏色不同,問：有多少種不同的涂色方法?

圖1

解析：有k種不同顏色對n個區(qū)域涂色,記種數(shù)為an(n≥2,k≥2),易知：A1有k種涂法,A2有k-1種涂法,…,An有k-1種涂法(不論是否與A1同色),共有k(k-1)n-1種涂法,但這k(k-1)n-1種涂法分兩類：一類是An與A1不同色;另一類是An與A1同色,可看作An和A1合成一個區(qū)域,即an-1,得遞推關(guān)系an+an-1=k(k-1)n-1,即an=-an-1+k(k-1)n-1。令an+x(k-1)n=-[an-1+x(k-1)n-1],則an=-an-1-k(k-1)n-1x,而an=-an-1+k(k-1)n-1,兩式比較得x=-1。從而an-(k-1)n=-[an-1-(k-1)n-1],故數(shù)列{an-(k-1)n}是公比為-1的等比數(shù)列。又a2=k(k-1),a2-(k-1)2=k-1,故an-(k-1)n=(k-1)(-1)n-2,即an=(k-1)n+(-1)n(k-1)(n為區(qū)域數(shù),k為顏色種數(shù))。

評注：對于形如an+1=k an+f(n)的遞推式,常用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列(不一定是等比數(shù)列)形式的數(shù)列,進而求出通項公式。