核心素養(yǎng)視角下用問(wèn)題引領(lǐng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)課——以數(shù)學(xué)活動(dòng)“正方形紙片的折疊”為例

江蘇省徐州市第三十一中學(xué) 胡子揚(yáng)

一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/h2>

設(shè)計(jì)以問(wèn)題——“用正方形紙片折出含有30°角的直角三角形”為背景的折紙實(shí)驗(yàn)。經(jīng)歷“操作——觀察——思考——交流——推理——操作”的過(guò)程，探究正方形紙片在翻折前后對(duì)應(yīng)邊、角的數(shù)量和位置關(guān)系，探究圖形性質(zhì)，感悟“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”，借助實(shí)驗(yàn)助推數(shù)學(xué)思維生長(zhǎng)。

二、實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

10cm×10cm 的正方形紙片3 個(gè)。

三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟

第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD 折疊，使點(diǎn)A 和點(diǎn)B，點(diǎn)D 和點(diǎn)C 重合，將正方形紙片展開(kāi)后，得折痕MN，如圖2。

問(wèn)題1：折痕MN 和正方形ABCD 的各邊有何特殊的數(shù)量、位置關(guān)系？

問(wèn)題2：你能在圖1 中用尺規(guī)作出折痕MN 嗎？

圖1

圖2

圖3

圖4

設(shè)計(jì)意圖：從簡(jiǎn)單的折紙動(dòng)作入手，由折紙現(xiàn)象聯(lián)系軸對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，得折痕MN 垂直平分邊AB、CD ，折痕MN 平行AD、BC；鍛煉用尺規(guī)作線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的基本數(shù)學(xué)技能。

第二步：如圖3，在邊AD 上取一點(diǎn)E，將正方形ABCD 沿BE 折疊，使點(diǎn)A 落在MN 上的點(diǎn)A'處，將正方形紙片展開(kāi)后，設(shè)BE 與折痕MN 相交于點(diǎn)F。

問(wèn)題3：試用尺規(guī)在圖2 中作出點(diǎn)A'和點(diǎn)E。

國(guó)家要盡快制定一些相關(guān)的法律法規(guī)，為低碳經(jīng)濟(jì)的發(fā)展構(gòu)建一個(gè)積極、完善、客觀的外部環(huán)境，替低碳營(yíng)銷(xiāo)模式提供良好的氛圍?，F(xiàn)今，世界各國(guó)都在相繼制定、出臺(tái)與低碳經(jīng)濟(jì)相關(guān)的法律、法規(guī)。例如美國(guó)制定的《低碳經(jīng)濟(jì)法案》、英國(guó)出臺(tái)的《可再生能源義務(wù)》、丹麥的綠色能源的發(fā)展模式和意大利的“白色證書(shū)”“綠色證書(shū)”、能源計(jì)劃等等。我國(guó)也應(yīng)該著手這方面立法的研究。在制定相關(guān)的法律法規(guī)時(shí)，添加應(yīng)對(duì)氣候變化的相關(guān)條款，在規(guī)劃、批報(bào)項(xiàng)目和戰(zhàn)略環(huán)評(píng)的規(guī)則中增加氣候影響評(píng)價(jià)的規(guī)定，逐漸建立健全應(yīng)對(duì)氣候變化的體系。

問(wèn)題4：在圖3 中，連接AA'，你認(rèn)為△ABA'是何三角形？你還能找到圖中與之類(lèi)似的三角形嗎？

問(wèn)題5：圖3 中哪些角的度數(shù)為30°？

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)：用數(shù)學(xué)的眼光觀察折紙操作，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

①聯(lián)系軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，折痕MN 上的點(diǎn)A'有A'B=AB 的特征，故用圓規(guī)以點(diǎn)B 為圓心，BA 為半徑截取即得。同時(shí)關(guān)注用尺規(guī)作角的角平分線(xiàn)的基本數(shù)學(xué)技能。

②關(guān)注一、二兩步操作產(chǎn)生的折痕，即對(duì)稱(chēng)軸，由對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端的距離相等，得AB=A'B=AA'，從而△ABA'是等邊三角形，類(lèi)似的，可以發(fā)現(xiàn)△AEF 也是等邊三角形。

③對(duì)比折疊前后的線(xiàn)段和角，落實(shí)到邊角的數(shù)量關(guān)系上，不難發(fā)現(xiàn)∠CBA'，∠EBA'，∠ABE，∠BA'N，∠AA'N 等均為30°的角。

第三步：將圖3 中的正方形再次折疊，使BC 和BA'所在的直線(xiàn)重合；EA 和EB 所在的直線(xiàn)重合，展開(kāi)后得折痕分別為BG、EH。

問(wèn)題6：試用尺規(guī)在圖3 中作出折痕BG、EH。

問(wèn)題7：?jiǎn)栴}2 和問(wèn)題6 中折痕的畫(huà)法有何異同之處？能把你的經(jīng)驗(yàn)和方法與同學(xué)分享嗎？

問(wèn)題8：觀察圖4，折疊后點(diǎn)C 和點(diǎn)A'重合嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：同為折疊產(chǎn)生的折痕作圖，但對(duì)應(yīng)點(diǎn)重合產(chǎn)生的折痕與對(duì)應(yīng)邊重合產(chǎn)生的折痕落實(shí)在作圖上是有所區(qū)別的，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考自己的作圖操作，并及時(shí)總結(jié)。同時(shí)關(guān)注點(diǎn)、線(xiàn)、角的重合前后的對(duì)比，落實(shí)到線(xiàn)段和角的大小關(guān)系和位置關(guān)系上，不難證明折疊后點(diǎn)C 和點(diǎn)A'是重合的。

第四步：在第三步折疊的基礎(chǔ)上，將紙片再次沿BE、BA'和A'折疊，使其都與△A'BE 重合，則△A'BE 即為所求。

問(wèn)題9：試說(shuō)明△A'BE 是含有30°角的直角三角形。

問(wèn)題10：觀察折疊后的紙片，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生由前面的操作過(guò)程聯(lián)系數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)推理，用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言規(guī)范表達(dá)自己的證明過(guò)程，將操作的過(guò)程、思維可視化；進(jìn)一步觀察、交流、操作，我們可以發(fā)現(xiàn)△A'BE 在折疊后的紙片上的內(nèi)心和斜邊上的中線(xiàn)等結(jié)論。開(kāi)放的問(wèn)題讓相異的學(xué)生能從不同的角度觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象，聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)，拓展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

四、實(shí)驗(yàn)指南

本實(shí)驗(yàn)是為初中高年級(jí)學(xué)生設(shè)計(jì)的一節(jié)數(shù)學(xué)綜合活動(dòng)課.通過(guò)折疊正方形紙片，不僅再次從軸對(duì)稱(chēng)的角度對(duì)正方形的圖形性質(zhì)進(jìn)行認(rèn)識(shí)，而且在操作過(guò)程中逐步經(jīng)歷運(yùn)算推理，發(fā)展空間想象能力及邏輯推理能力。

在折紙操作的過(guò)程中回歸數(shù)學(xué)本真，對(duì)于生活中的簡(jiǎn)單紙質(zhì)現(xiàn)象，能用數(shù)學(xué)的眼光審視其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理；用數(shù)學(xué)的思維思考在折紙過(guò)程中產(chǎn)生的數(shù)量和位置關(guān)系等數(shù)學(xué)問(wèn)題；能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述折紙的現(xiàn)象和數(shù)學(xué)思想方法。