基于排隊(duì)論的災(zāi)害時(shí)人員電梯疏散時(shí)間計(jì)算

鄭波濤，毛曉汶，楊萍茹，許 石，郝彧露

(1.重慶城市綜合交通樞紐(集團(tuán))有限公司，重慶 400060;2.西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，四川 成都 611756)

隨著世界經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，在高層、超高層建筑出現(xiàn)的同時(shí)，多層深埋地下建筑的數(shù)量也在逐漸增加，而人員通過樓梯上行過程中需要消耗大量的體力，會(huì)嚴(yán)重影響災(zāi)害時(shí)人員的疏散效率[1]。已有研究表明，電梯協(xié)助疏散有利于縮短人員疏散時(shí)間[2-3]。目前，很多學(xué)者對(duì)災(zāi)害時(shí)人員電梯疏散的疏散時(shí)間進(jìn)行了相關(guān)研究，如在合理調(diào)度電梯以縮短疏散時(shí)間方面，Ma等[4]通過建立電梯疏散網(wǎng)絡(luò)模型，總結(jié)了電梯輔助撤離的原則；Chen等[5]利用Pathfinder制定出不同疏散情景，研究了電梯疏散的策略；王晶等[6]將緊急疏散電梯調(diào)度問題描述為整數(shù)規(guī)劃問題，并給出了一種啟發(fā)式緊急疏散電梯調(diào)度的算法。此外，李釗等[7]研究了不同電梯性能、樓層高度、人員分布等因素對(duì)人員電梯疏散時(shí)間的影響。目前，在計(jì)算人員電梯疏散時(shí)間方面，一些主要電梯公司和制造商開發(fā)了一些計(jì)算人員疏散時(shí)間的仿真模型如BTS[8]、ELEVATE[9]和ELVAC[10]等模型，但對(duì)于管理者或非專業(yè)人員來說，使用這些軟件進(jìn)行計(jì)算時(shí)具有一定的難度。

排隊(duì)論(Queuing Theory)是運(yùn)籌學(xué)中的一個(gè)重要分支，是在各種排隊(duì)系統(tǒng)概率規(guī)律的基礎(chǔ)上，探究擁擠現(xiàn)象(排隊(duì)、等待)的科學(xué)[11]。排隊(duì)論理論已廣泛應(yīng)用到生活中的各個(gè)領(lǐng)域，如體檢、交通等[12-15]。在災(zāi)害時(shí)使用電梯和樓梯協(xié)同疏散的過程中，也存在人員需要排隊(duì)等待的問題，因此本文根據(jù)排隊(duì)論相關(guān)理論推導(dǎo)出電梯總疏散時(shí)間TRSET的計(jì)算公式，以為管理人員或科研工作者計(jì)算人員疏散時(shí)間提供參考。

1 電梯疏散排隊(duì)模型的建立

排隊(duì)模型是20世紀(jì)50年代初由Kendall引入的，它大大簡化了排隊(duì)系統(tǒng)的描述。具體記法如下[10]：

X/Y/Z/N

其中:X表示顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔的分布；Y表示服務(wù)時(shí)間的分布；Z表示服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)；N表示等待空間數(shù)。若N為無窮大時(shí)，即為等待制時(shí)，省去N而只用X/Y/Z記一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)。這種分類方法是以排隊(duì)系統(tǒng)中的主要特征，即顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔的分布、服務(wù)時(shí)間的分布和服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)對(duì)排隊(duì)模型進(jìn)行分類的。

在排隊(duì)論中，一般令M表示負(fù)指數(shù)分布，此時(shí)隨機(jī)排隊(duì)模型稱為馬爾可夫型；D為確定型分布；Ek為k階愛爾蘭(Erlang)分布；G為一般分布；Gl為一般獨(dú)立的分布。

電梯疏散的問題，可以利用排隊(duì)論理論進(jìn)行研究。電梯疏散中待疏散的人員為乘客，電梯為服務(wù)設(shè)施，Barney[16]的統(tǒng)計(jì)分析證明，乘客到達(dá)電梯服從泊松分布，即乘客到達(dá)的時(shí)間間隔X服從負(fù)指數(shù)分布(M)；電梯的服務(wù)時(shí)間指電梯運(yùn)送乘客后往返一次的時(shí)間，一般假設(shè)電梯服務(wù)時(shí)間Y也服從負(fù)指數(shù)分布(M)[10]；同時(shí)假設(shè)有n部電梯，電梯排隊(duì)規(guī)則為先到先服務(wù)、后到后服務(wù)。因此，電梯疏散排隊(duì)模型可描述如下：

M/M/n

2 基于排隊(duì)論的電梯疏散時(shí)間計(jì)算公式推導(dǎo)

2. 1 電梯往返時(shí)間的計(jì)算

任一部電梯的往返時(shí)間tr指電梯從大廳層出發(fā)接送乘客后再次返回大廳層往返一次的運(yùn)行時(shí)間。根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)[9],電梯往返時(shí)間tr包括三個(gè)部分，其表達(dá)式為

tr=tm+ts+tp

(1)

式中：tm為電梯空載情況下往返一次的運(yùn)行時(shí)間(s)；ts為電梯往返一次?？繒r(shí)開關(guān)門和預(yù)啟動(dòng)的時(shí)間(s)；tp為乘客進(jìn)出電梯的時(shí)間(s)。

電梯往返一次可能在多個(gè)樓層?？咳ソ铀统丝?，設(shè)電梯往返一次到達(dá)的最高樓層為第h層，為了方便計(jì)算，本文將地面大廳層認(rèn)定為第0層，則空載情況下電梯往返一次的運(yùn)行時(shí)間tm可近似用下式表示：

tm=2ht1

(2)

式中：h為電梯往返一次運(yùn)行的樓層數(shù)(層)；t1為電梯勻速運(yùn)行一層樓層距離所需的時(shí)間(s)。

由于電梯往返一次的過程中必定會(huì)在大廳層停靠一次，設(shè)s為除大廳層外電梯往返一次停靠的次數(shù)，則電梯停靠的總次數(shù)為(s+1)次，t2為電梯每次停靠時(shí)開關(guān)門的時(shí)間和電梯加減速延誤的時(shí)間，則電梯往返一次?？繒r(shí)開關(guān)門和預(yù)啟動(dòng)的時(shí)間ts可以描述為

ts=(s+1)t2

(3)

式中：(s+1)為電梯?？康目偞螖?shù)(次)；t2為電梯每次?？繒r(shí)開關(guān)門的時(shí)間和電梯加減速延誤的時(shí)間(s)。

乘客進(jìn)出電梯的時(shí)間tp可以表示為

tp=2Nit3

(4)

式中：Ni為該次往返電梯運(yùn)送的人數(shù)(人)；t3為單個(gè)乘客進(jìn)入電梯或走出電梯轎廂的時(shí)間(s)，假設(shè)乘客走進(jìn)或走出電梯轎廂的時(shí)間相同。

因此，電梯往返時(shí)間tr的計(jì)算公式為：

tr=2ht1+(s+1)t2+2Nit3

(5)

2.2 基于乘客到達(dá)率的電梯往返一次運(yùn)行時(shí)間期望值計(jì)算

設(shè)Tr、H、S、N分別為tr、h、s、Ni的期望值，為了得到Tr與乘客到達(dá)率λ之間的關(guān)系，需將變量H、S和N用乘客到達(dá)率λ表示。那么，電梯往返一次運(yùn)行時(shí)間的期望值Tr為

Tr=2Ht1+(S+1)t2+2Nt3

(6)

上式中，t1、t2和t3均為常數(shù)，變量為H、S和N。由于乘客到達(dá)電梯服從泊松分布，通過極大似然估計(jì)可以得出乘客到達(dá)率λ的極大似然估計(jì)量為乘客的平均到達(dá)率。因此可以將變量H、S和N用乘客到達(dá)率λ表示，從而得到電梯往返一次運(yùn)行時(shí)間的期望值Tr與乘客到達(dá)率λ之間的關(guān)系。

2.2.1 電梯往返一次運(yùn)行的樓層數(shù)期望值H的計(jì)算

定義電梯相繼到達(dá)大廳層的時(shí)間間隔t為電梯往返時(shí)間T除以建筑內(nèi)的電梯數(shù)量L，即t=T/L，設(shè)單部電梯各個(gè)樓層的乘客到達(dá)率為λ，在t這段時(shí)間內(nèi)有N(t)=k個(gè)乘客來到某個(gè)樓層某部電梯前的概率Pk(N(t))服從參數(shù)為λ的泊松分布，即：

Pk(N(t)=k)=(λt)ke-λt/k! (k=0,1,2,…)

(7)

假設(shè)電梯在某個(gè)樓層不停留的概率為q，則停留的概率為p=1-q，當(dāng)k=0時(shí)說明這個(gè)樓層沒有乘客，則電梯在該樓層不停留的概率q=e-λt，那么停留的概率p=1-q=1-e-λt。

考慮地下疏散電梯需向上運(yùn)行的情形，設(shè)電梯服務(wù)的地下樓層有n層，電梯運(yùn)行1層相當(dāng)于電梯最低下到-1層，沒有繼續(xù)往下運(yùn)行，即-1層以下樓層乘客數(shù)k均為0，則電梯到達(dá)-1層的概率為P1{H=1}=pqn-1。電梯運(yùn)行樓層數(shù)為2層相當(dāng)于電梯最低下到-2層，沒有繼續(xù)往下運(yùn)行，則電梯到達(dá)-2層的概率為P2{H=2}=pqn-2。以此類推，則得到電梯到達(dá)的最低樓層為m的概率為Pm{H=m}=pqn-m(m=1，2,…,n)。那么電梯運(yùn)行的樓層數(shù)期望值H可表示為

(8)

式中：n為樓層數(shù)；m為電梯到達(dá)的最低樓層；Pm為電梯到達(dá)的最低樓層為m的概率。

同理，可以推導(dǎo)出電梯在地面上運(yùn)行時(shí)，電梯運(yùn)行的樓層數(shù)期望值H的計(jì)算公式與上式一致。本文將地面大廳層假定為第0層，因此在描述地面上的樓層時(shí)，第m層實(shí)際為日常樓層中的第m+1層。

2.2.2 除大廳層外電梯往返一次?？看螖?shù)期望值S的計(jì)算

電梯往返一次運(yùn)行時(shí)間內(nèi)?？康拇螖?shù)可以用樓層數(shù)乘以電梯在某一層停留的概率Pt來表示，即有：

S=nPt=n(1-e-λt)

(9)

式中：n為樓層數(shù)；Pt為電梯在某一層停留的概率。

2.2.3 電梯往返一次運(yùn)送的人數(shù)期望值N的計(jì)算

假設(shè)到達(dá)電梯的乘客較少，電梯往返一次運(yùn)送的人數(shù)期望值N為時(shí)間間隔t內(nèi)所有到達(dá)電梯的乘客，由于每層的乘客到達(dá)率為λ，那么n層的乘客到達(dá)率為nλ，即有：

N=E(n)t=nλt

(10)

式中：N為電梯往返一次運(yùn)送的人數(shù)期望值，且1≤N≤R(R為電梯的荷載，N大于或等于1說明電梯運(yùn)行時(shí)不能空載，N小于或等于R說明電梯不能過載運(yùn)行)；E(n)為乘客在單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)電梯的人數(shù)n的期望值。

將公式(8)、(9)和(10)代入公式(6)中，可得到電梯往返一次的平均運(yùn)行時(shí)間期望值Tr，即

[n(1-e-λt)+1]t2+2nλtt3

(11)

2. 3 電梯總疏散時(shí)間的計(jì)算

電梯總疏散時(shí)間為

TRSET=TA+TR+Te

式中TA為探測(cè)報(bào)警時(shí)間，保守設(shè)為60 s；TR為人員響應(yīng)準(zhǔn)備時(shí)間，保守設(shè)為120 s。

則電梯總疏散時(shí)間為

n(e-λt)mt1+[n(1-e-λt)+1]t2+2nλtt3}

(12)

2. 4 電梯疏散時(shí)間計(jì)算公式的簡化和求解

(13)

由公式(13)求出乘客平均到達(dá)率λ后，再根據(jù)不同建筑的具體情況對(duì)t1、t2、t3、n和L進(jìn)行賦值，則可由公式(11)求出電梯往返時(shí)間Tr。但由于公式(11)存在指數(shù)項(xiàng)，直接求得相應(yīng)的解具有一定的難度，因此可根據(jù)牛頓迭代法，將其轉(zhuǎn)化為求解下列線性方程的根，并通過Matlab編程求解。其線性方程為

[n(1-e-λt)+1]t2+2nλtt3

(14)

式中：t、n、λ、L為變量，m的數(shù)值隨n的變化而變化;其余為常數(shù)。

為了得到t與λ的關(guān)系式，需將n和L的值固定，則可以得到特定條件下t與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系式。

為了得到某建筑物電梯疏散時(shí)間的通用計(jì)算公式，利用Matlab編程獲得了一組{λi，ti|i=1,2,…,n}的測(cè)量數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，可得到簡化后的λ與t的擬合關(guān)系曲線和關(guān)系式，進(jìn)而得到電梯往返時(shí)間簡化后的表達(dá)式。在不同的建筑中，只要改變?cè)闯绦蛑械膖1、t2、t3、n和L的值，并對(duì)得到的{λi,ti}測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，即可得到λ與t的擬合關(guān)系曲線和關(guān)系式，進(jìn)而得到適用于該建筑電梯總疏散時(shí)間TRSET的計(jì)算公式。

3 實(shí)例應(yīng)用與分析

本文以重慶沙坪壩地下大型綜合交通樞紐為實(shí)例，利用上述得到的電梯疏散時(shí)間計(jì)算公式對(duì)該建筑電梯總疏散時(shí)間進(jìn)行了計(jì)算與分析，以驗(yàn)證該計(jì)算公式的有效性。

該地下建筑共負(fù)七層(n=7)，共有34個(gè)載客電梯(L=34)；每層高5 m，電梯運(yùn)行額定速度v取2.5 m/s，在相鄰的兩個(gè)樓層運(yùn)行所需的時(shí)間t1取3 s；電梯為中分自動(dòng)門，每次開關(guān)門的時(shí)間為4 s，考慮到電梯每次?？繒r(shí)加減速造成的時(shí)間延誤，電梯停靠一次的時(shí)間t2取5 s；經(jīng)統(tǒng)計(jì)得出單個(gè)乘客進(jìn)入或走出電梯轎廂的平均時(shí)間t3為2 s，具體參數(shù)詳見表3。

表1 重慶沙坪壩地下大型綜合交通樞紐的參數(shù)設(shè)置

本文利用Matlab編程，將建筑物參數(shù)代入到Matlab程序中，可得到簡化后的λ與t的擬合關(guān)系方程為

t=0.000 415λ3-0.040 176λ2+1.215 564λ-9.637 067

根據(jù)公式(12)可計(jì)算得到，沙坪壩地下綜合交通樞紐電梯總疏散時(shí)間TRSET為

(15)

本文選取某種工況來進(jìn)行模擬驗(yàn)證，該工況為：負(fù)六到負(fù)一層的人員走樓梯，負(fù)七層的人員坐電梯。由模擬結(jié)果可知，該建筑電梯總疏散時(shí)間為1 740.5 s，約為29 min。負(fù)七層中乘坐電梯的總?cè)藬?shù)為3 659人，計(jì)算得乘客平均到達(dá)率λ為126 人/min，將λ的數(shù)值代入公式(15)求解，可計(jì)算得到電梯總疏散時(shí)間為27.43 min。該計(jì)算結(jié)果與模擬結(jié)果29 min相差 1.57 min，相對(duì)誤差為5.4%，證明電梯疏散時(shí)間的計(jì)算公式是有效的。

4 結(jié) 論

(2) 以重慶沙坪壩地下大型綜合交通樞紐為例，通過模擬得到的電梯疏散時(shí)間與通過本文公式計(jì)算得到的電梯疏散時(shí)間之間的相對(duì)誤差為5.4%，誤差較小， 證明了本文提出的電梯疏散時(shí)間計(jì)算公式的有效性。利用本文的計(jì)算公式可以在較短時(shí)間內(nèi)計(jì)算出建筑物電梯疏散時(shí)間，可為緊急疏散情況下管理人員的決策提供幫助。