基于均一化模型的MFC懸臂梁靜態(tài)變形分析

盛賢君，周少征

(大連理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院,遼寧 大連 116023)

0 引言

壓電纖維復(fù)合材料致動(dòng)器由于兼有壓電系數(shù)高和柔韌性好的優(yōu)點(diǎn)已逐漸在機(jī)翼變形與振動(dòng)控制等領(lǐng)域取代了單純材料的壓電致動(dòng)器[1-2]。為了準(zhǔn)確獲取壓電纖維復(fù)合材料的宏觀性質(zhì)，需要對(duì)其細(xì)觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究[3]。粗壓電纖維復(fù)合材料(MFC)是一種由鋯鈦酸鉛壓電陶瓷(PZT)纖維、集成電極、環(huán)氧樹脂和聚酰亞胺構(gòu)成的二維周期性壓電纖維復(fù)合材料，而均一化技術(shù)是根據(jù)復(fù)合材料的細(xì)觀結(jié)構(gòu)分析其宏觀性質(zhì)的有效方法。為了分析MFC的宏觀性質(zhì)，DERAEMAEKER A等提出了一種基于平面應(yīng)力假設(shè)和二維周期性位移場(chǎng)假設(shè)的MFC均一化模型[4]。在實(shí)際應(yīng)用中，由于MFC與被驅(qū)動(dòng)的結(jié)構(gòu)之間存在力學(xué)耦合作用，難以完全且嚴(yán)格地滿足上述假設(shè)條件。為了研究該均一化模型在實(shí)際應(yīng)用中的精確性，以MFC致動(dòng)器驅(qū)動(dòng)懸臂梁靜態(tài)變形為例，在ANSYS中分析了采用該均一化模型與不采用均一化模型下梁的撓度對(duì)比。在該均一化模型中，P1型MFC僅有e32和e33兩個(gè)非零的壓電應(yīng)力常數(shù)，為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化該模型，提高分析效率，研究了忽略該模型中的e32效應(yīng)對(duì)于分析MFC懸臂梁靜態(tài)變形撓度精確性的影響。

1 MFC致動(dòng)器的結(jié)構(gòu)

由美國(guó)蘭利研究中心研發(fā)的MFC致動(dòng)器是一種高效且柔韌的壓電致動(dòng)器，目前由Smart Material 公司生產(chǎn)和銷售。P1型MFC致動(dòng)器的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 P1型MFC致動(dòng)器的結(jié)構(gòu)

其中，聚酰亞胺層為MFC致動(dòng)器的表皮；銅電極為交替排列的正負(fù)電極，中間由環(huán)氧樹脂填充；PZT為并列的長(zhǎng)方體粗纖維，型號(hào)為PZT-5A1，中間由環(huán)氧樹脂填充。PZT與銅電極的長(zhǎng)度方向相互垂直，各層之間緊密相接。圖1中，MFC致動(dòng)器各組成部分的幾何、力學(xué)和電學(xué)參數(shù)分別如表1～4所示。

表1 聚酰亞胺的幾何和力學(xué)參數(shù)

表2 環(huán)氧樹脂的力學(xué)和電學(xué)參數(shù)

表3 銅電極的幾何和力學(xué)參數(shù)

表4 PZT粗纖維的幾何、力學(xué)和電學(xué)參數(shù)

表4中，下標(biāo)1、2和3表示的方向如圖1所示，超過3的下標(biāo)按IEEE標(biāo)準(zhǔn)定義。

2 MFC的均一化模型

采用均一化模型分析MFC懸臂梁的靜態(tài)變形需要先利用MFC的典型體積單元(RVE)獲得其均一化的宏觀性質(zhì)參數(shù)。P1型MFC的RVE的結(jié)構(gòu)如圖2所示，其均一化模型如圖3所示。

圖2 P1型MFC的RVE的結(jié)構(gòu)

圖3 P1型MFC的均一化模型

圖3中，E為MFC的均一化電場(chǎng)強(qiáng)度大小，U為施加在MFC相鄰銅電極上的電壓大小。采用平面應(yīng)力假設(shè)：MFC在1方向上的正應(yīng)力(T1)為0，則MFC的均一化壓電方程[4-5]為

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：VRVE為RVE的體積；Ti(i=2,…,6)和Si(i=2,…,6)分別為RVE中對(duì)應(yīng)的應(yīng)力和應(yīng)變分量；D3為RVE中電位移矢量的方向3分量。

圖4 RVE在6種周期性邊界條件下的應(yīng)力和電位移矢量

3 MFC懸臂梁靜態(tài)變形分析

為了研究基于平面應(yīng)力假設(shè)和二維周期性位移場(chǎng)假設(shè)的均一化模型在MFC懸臂梁靜態(tài)變形分析中的適用性，在ANSYS中建立了一個(gè)利用MFC致動(dòng)器驅(qū)動(dòng)一個(gè)同等面積的厚為1 mm的鋁懸臂梁仿真模型，此MFC致動(dòng)器在圖1中的2和3方向上分別包含5和20個(gè)RVE。仿真中考慮了MFC致動(dòng)器的聚酰亞胺層和銅電極層，并且MFC致動(dòng)器與鋁懸臂梁由一層厚為18 μm的環(huán)氧樹脂粘接。

MFC的均一化參數(shù)是基于平面應(yīng)力假設(shè)的，不同于常規(guī)的三維模型參數(shù)，因此在使用MFC的均一化模型進(jìn)行ANSYS仿真時(shí)進(jìn)行了一些特殊的設(shè)置，具體包括：

2) 利用結(jié)點(diǎn)約束方程使MFC的均一化壓電材料區(qū)域的S1為0。

以上設(shè)置考慮了MFC的均一化模型中電場(chǎng)只有方向3上的分量和平面應(yīng)力假設(shè)，且能夠保證材料剛度矩陣和介電常數(shù)矩陣的正定型。

圖5 MFC懸臂梁在3種情況下的撓度

圖6 MFC懸臂梁3種情況下的撓度曲線對(duì)比

4 結(jié)論

采用基于平面應(yīng)力假設(shè)和周期性位移場(chǎng)假設(shè)的均一化模型分析了P1型MFC的宏觀性質(zhì)，給出了計(jì)算該均一化模型材料參數(shù)的方法和利用該均一化模型進(jìn)行MFC懸臂梁ANSYS仿真的設(shè)置方法。分析了采用該均一化模型、不采用均一化模型及在采用該均一化模型基礎(chǔ)上忽略e32效應(yīng)3種情況下MFC懸臂梁的撓度。根據(jù)以上仿真分析結(jié)果可得如下結(jié)論：

1) 采用基于平面應(yīng)力假設(shè)和二維周期性位移場(chǎng)假設(shè)的均一化模型分析MFC懸臂梁靜態(tài)變形是可行的，采用該均一化模型仿真與不采用均一化模型仿真的MFC懸臂梁靜態(tài)變形的撓度的相對(duì)誤差不超過5.77%。

2) 在精度允許范圍內(nèi)，使用均一化模型分析P1型MFC懸臂梁靜態(tài)變形撓度時(shí)可忽略其e32效應(yīng)，從而進(jìn)一步簡(jiǎn)化模型，提高分析效率。采用均一化模型且忽略其e32效應(yīng)與采用原均一化模型相比，粱撓度的相對(duì)誤差不超過1.36%。