擂題(119)的修正

重慶市長壽龍溪中學(xué) (郵編：401249)

擂題(119) 已知正數(shù)x,y,z滿足x≤y≤z，又△ABC的三個內(nèi)角A,B,C滿足A≥B≥C．求證：

xcosA+ycosB+zcosC

這個命題并不正確.我們將給出一個修正后的結(jié)論.

解答由二倍角公式易知待證的兩個不等式均等價于：

但這個不等式存在反例，比如：

顯然上述x,y,z,A,B,C滿足題設(shè)條件.

現(xiàn)在令ε，δ，α，β→0，可知：

xcosA+ycosB+zcosC→0+0+1=1.

這表明：此時待證式不成立.

不過有如下修正結(jié)論.

命題在擂題(119)條件下，有

證明在三角形嵌入不等式

x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC中作代換

可知第一個不等號成立.

由題設(shè)知：x≤y≤z，cosA≤cosB≤cosC. 則可由Chebyshev不等式得：

結(jié)合三角形中熟知的不等式

即知第二個不等號成立.證畢.

評注(評注人：郭要紅;時間:2019.01.19)本擂題收到攻擂稿件7份，其中3份是對擂題(119)的否定，依時間順序，作者分別是吳波(重慶市長壽龍溪中學(xué) 401249，2018年11月11日)，李文明(福州華僑中學(xué) 350004,2018年11月19日)，楊志明(廣東廣雅中學(xué) 510160，2018年11月24日).吳波老師是本擂題的獲獎?wù)?