基于Prandtl破壞模式的吸力式沉箱基礎抗拔承載力極限分析上限解

朱文波，戴國亮,，龔維明,，趙學亮,

(1.東南大學 土木工程學院，江蘇 南京，210096；2.東南大學 混凝土及預應力混凝土結構教育重點實驗室，江蘇 南京，210096)

吸力式沉箱基礎作為海上漂浮式平臺的一種錨固基礎，常受到豎向抗拔荷載作用，對豎向荷載作用下圓形基礎極限承載力與極限分析上限解有不少研究成果，如：TERZAGHI[1]考慮基礎形狀、荷載形式、地面形狀等因素，對條形基礎地基承載力的計算公式進行了修正，使其可用于圓形基礎地基承載力計算；CHAKRAHORTY 等[2]分析了圓形基礎地基計算公式系數Nγ和基礎寬度B的關系；CLAUSEN[3]基于Hoek-Brown準則研究了圓形基礎的地基承載力；LAVASAN等[4-5]針對改良地基研究了圓形基礎的地基承載力；李亮等[6]根據極限分析中的上限定理，選擇合適的機動位移速度場，推導出圓形淺基礎受壓作用下地基承載力的上限；張國祥等[7]考慮了單元土體所受的側向土壓力對地基極限承載力的影響，推導出理論上更為合理的三維圓形淺基礎地基極限承載力上限解；劉拴奇等[8]利用臨界滑動場法計算了淺埋圓形基礎的地基承載力，通過建立土體條塊極限平衡方程，推導了計算地基承載力的遞推關系式；陳飛等[9]構建圓形基礎多塊體離散破壞模式，同時考慮土體自重、黏聚力及邊載因素，求得豎向極限承載力上限解；陳中流[10]采用多切線和多剛塊法在非線性破壞準則下，利用極限分析上限理論對圓形基礎地基極限承載力進行了求解；王志云[11]基于Prandtl機構采用“反向地基承載力”的觀點，推導了吸力式沉箱基礎三維抗拔承載力極限分析上限解。由于Prandtl機構是受壓破壞模式，吸力式沉箱基礎是抗拔破壞而不是受壓破壞，王志云[11]完全采用Prandtl破壞機構，破壞模式不理想。目前，對吸力式沉箱基礎豎向抗拔極限分析研究較少。為了研究吸力式沉箱基礎豎向抗拔荷載作用下極限承載力上限解，本文作者引入“反向地基承載力”觀點，基于Prandtl破壞機構，從空間問題著手，選擇合適的地基破壞模式及機動位移速度場，同時考慮土體自重、黏聚力及土壓力因素，推導理論上更為合理的吸力式沉箱基礎抗拔承載力極限分析上限解，并與相關文獻解進行對比，分析其合理性，為吸力式沉箱基礎抗拔極限分析提供參考。

1 機動許可速度場的建立

虛功原理表明[12]，對于任意一組靜力容許的應力場和任意一組機動容許的速度場，外力虛功率等于物體內能消散功率。根據上述原理可推導出上限定理：在所有機動容許的塑性變形速度場相對應的荷載中，極限荷載為最小。根據極限分析上限定理，對直徑為D、埋深為L的吸力式沉箱基礎，建立機動許可速度場如圖1所示，并假定：1) 圓形基礎為剛性體，且底面與地基光滑接觸，接觸面為最小主應力面；2) 地基為理想剛塑性體，滿足相關流動法則；3) 地基破壞區(qū)分為3部分：剛性體ABC為Ⅰ區(qū)，Prandtl破壞模式中Ⅰ區(qū)為主動破壞區(qū)，文中Ⅰ區(qū)為被動破壞區(qū)、ACD為過渡變形區(qū)、剛性體ADE為主動破壞區(qū)；4) 假設作用AE圓環(huán)面上土壓力等效為q。

圖1 反向Prandtl破壞模式Fig.1 Reverse Prandtl failure mode

Ⅰ區(qū)位移速度場的分布如圖2所示。假設基礎的向上的速度為vp，則ABC剛體與沉箱向上垂直運動，其速度也為vp。由圖2所示速度分布圖可以推導出AC，CD及DE間斷面上的速度。

1)AC間斷面上的速度為

式中：vp為基礎向上運動速度；φ為地基土內摩擦角；v0為AC間斷面速度。

圖2 相容速度圖Fig.2 Compatible speed chart

2)CD間斷面上的速度為

式中：θ為v0與v之間夾角。

3)DE間斷面上的速度為

通過幾何關系可以得到

式中：R為沉箱半徑。

2 上限分析與能量耗散率計算

內能耗散率包括速度間斷面上的能量耗散率、變形區(qū)能量耗散率、重力作用下的能量耗散率，外功率為極限荷載作用下的虛功率與等效土壓力下的虛功率[12]。間斷面的單位面積的能量耗散率可以通過黏聚力c與跨層的切向速度變化v的簡單乘積表示。

2.1 圓錐體ACB區(qū)

1) 如圖1所示，以AC為母線的圓錐間斷面ACB上的能量消散率為

式中：c為地基土黏聚力；R為沉箱半徑。

2) 圓錐體ACB區(qū)所受重力做功功率為

式中：γ為地基土重度。

3) 圓錐體AB面上能量消散率為0。

2.2 對數螺線ADCFB變形區(qū)

1) 旋轉間斷面DCF上能量消散率為

其中：

2) 變形區(qū)ADCFB內部能量消散率為

3) 對數螺旋線變形區(qū)速度示意圖如圖3所示，變形區(qū)DCF內所重力做功功率為

其中：

圖3 變形區(qū)速度示意圖Fig.3 Velocity of deformation zone diagram

2.3 三角形AED和BFG區(qū)

1) 主動區(qū)EDFG間斷面上的能量耗散率為

2) 主動區(qū)EDFG的重力做功為

3)ADBF面上能量消散率為0。

沉箱外壁與黏附土體界面上的能量耗散率為

其中：a為沉箱與土體間的摩擦因數。

重力做功功率為

作用在AEBG圓環(huán)面上等效土壓力q做功功率為

外荷載做功功率為

2.4 極限分析上限解

根據系統(tǒng)的虛功率方程，豎直上拔荷載做功功率與等效土壓力做功功率之和等于體系內部內能耗散率，從而得到

化簡得上限解F為

其中：

3 計算結果對比分析

吸力式沉箱基礎抗拔承載力極限分析上限解主要由外力做功的能量耗散率、速度間斷面上及變形區(qū)能量耗散率和重力做功的能量耗散率3部分組成，這3部分對吸力式沉箱基礎的抗拔承載力上限解貢獻有所不同，F為抗拔極限承載力上限解，q為AEBG面上的等效土壓力，這2部分為外力，外力之和的能量耗散率等于內能的耗散率，可以得出各部分能量耗散率對上限解的貢獻。為分析不同耗散區(qū)對上限解的貢獻，取重度γ=20 kN/m3，沉箱基礎半徑R=3 m，沉箱高L=10 m，沉箱與土體界面采用完全粗糙(a=1)，分析不同參數對上限解的影響，結果如圖4～6所示。

由圖4可以看出：當q=0 kPa時，上限解隨內摩擦角的增大而減??；當q=200 kPa時，上限解隨內摩擦角的增大而增加；當內摩擦角大于 23°時上限解幾乎不再增加；黏聚力越大，上限解越大；等效土壓力越大，上限解越小。

由圖5可以看出：黏聚力隨內摩擦角與土壓力的不同對上限解影響也有所差異；當q=0 kPa時，黏聚力對上限解影響不大，上限解隨黏聚力的增加而增大；當q=100 kPa時，黏聚力對上限解影響不大，上限解隨黏聚力的增大而增大；當q=200 kPa時，內摩擦角對上限解影響較大；當內摩擦角c較小時，上限解較低，同時上限解隨黏聚力的增加而增大；等效土壓力越小，上限解越大。

圖4 上限解與內摩擦角的關系曲線Fig.4 Relationship between upper bound solution andφ

圖5 上限解與黏聚力關系曲線Fig.5 Relationship between upper bound solution andc

圖6 上限解與等效土壓力關系曲線Fig.6 Relationship between upper bound solution andq

由圖6可以看出：上限解隨著等效土壓力的增大而減小，這是因為等效土壓力與上拔力同為外力，其他參數不變的情況下內部能量耗散率等于外部能量耗散率，所以，AE面上等效土壓力q越小，上限解就越大。

表1所示為隨不同參數的變化各部能量耗散區(qū)提供的承載力與上限解的比例關系。由表1可以看出：沉箱及沉箱內土體所提供的承載力不隨q，c和φ的變化而變化；上限解隨黏聚力的增大而增大，隨土壓力的增大而減小。

圖7所示為摩擦因數對上限解的影響，計算中取沉箱長為10 m，半徑為3 m，土體重度為20 kN/m3。圖7中a=0表示沉箱與土體界面完全光滑的計算結果，a=1.0表示沉箱與土體界面完全粗糙計算結果。從圖7可見：沉箱與土體界面完全光滑上限解小于沉箱與土體界面完全粗糙上限解，且黏聚力越大，摩擦因數對上限解影響越明顯。

采用文獻[13-15]中試驗數據以及文獻[11]中的吸力式沉箱基礎抗拔承載力上限解，用Matlab編制相應計算程序，將式(23)所計算的上限解與其進行對比分析，結果如表2所示。試驗數據中均采用吸力式沉箱基礎快速上拔的極限承載力，由式(23)計算得沉箱與土體界面完全粗糙時上限解與試驗值相對誤差個別值有些偏大，但基本上均控制在40%以內，最大相對誤差為 44%，最小相對誤差為 3%。由于反向地基破壞模式選取不同，本文采用的上限解要小于文獻[11]中完全采用Prandtl破壞模式上限解，更接近試驗值。說明文中選取的破壞機構較合理，文中采取上限解是一個更接近極限承載力的上限解。

表1 不同能量耗散區(qū)對比分析Table 1 Comparison of different energy dissipation zones

圖7 摩擦因數對上限解影響分析Fig.7 Influence of friction coefficient on upper limit solution

表2 上限解與其他方法對比分析Table 2 Comparison upper bound solution with other methods

4 結論

1) 為了研究吸力式沉箱基礎豎向抗拔荷載作用下承載力上限解，引入了“反向地基承載力”觀點，基于Prandtl破壞機構，將Prandtl破壞機構中的主動區(qū)變?yōu)楸粍訁^(qū)，對數螺旋線方向相反，推導了理論上更合理的三維圓形基礎抗拔地基極限承載力上限解。

2) 黏聚力越大，上限解越大；等效土壓力越大，上限解越?。怀料渑c土體界面完全光滑上限解小于沉箱與土體界面完全粗糙上限解，且黏聚力越大，摩擦因數對上限解影響越明顯。

3) 由文中上限解推導出的反向地基極限承載力上限解與試驗值誤差基本上控制在40%以內，最大相對誤差為 44%，最小相對誤差為 3%。由于反向地基破壞模式選取的不同，本文采用的上限解要小于完全采用Prandtl破壞模式上限解，更接近試驗值。說明文中選取的破壞機構較為合理。文中采取上限解是一個更接近極限承載力的上限解。可為吸力式沉箱基礎抗拔極限分析提供參考。