網(wǎng)絡(luò)化牽引控制系統(tǒng)H∞采樣控制及其應(yīng)用

陳剛，王信，羅昌勝，肖伸平

(1.湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲，412007；2.電傳動(dòng)控制與智能裝備湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 株洲，412007)

網(wǎng)絡(luò)化牽引控制系統(tǒng)(networked traction control system，NTCS)是一種擁有獨(dú)立功能的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，它能實(shí)現(xiàn)交流異步牽引電機(jī)的網(wǎng)絡(luò)化控制功能。網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中各個(gè)節(jié)點(diǎn)信號(hào)和數(shù)據(jù)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行傳輸和交換，可以實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)程操作控制要求，并且維護(hù)方便、易拓展、靈活性強(qiáng)，具有網(wǎng)絡(luò)化、智能化和集成化的功能特點(diǎn)。近年來(lái)，人們對(duì)交流異步電機(jī)的網(wǎng)絡(luò)化控制進(jìn)行了研究，主要是通過(guò)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的形式來(lái)實(shí)現(xiàn)1臺(tái)或多臺(tái)異步電機(jī)組的集群或分散控制，如在動(dòng)車(chē)組中，由于異步牽引電機(jī)空間分布的特殊性，要求牽引電機(jī)必須通過(guò)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。然而，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的引入必將對(duì)列車(chē)牽引控制系統(tǒng)產(chǎn)生影響，如產(chǎn)生網(wǎng)絡(luò)延遲和數(shù)據(jù)丟包等問(wèn)題[1-3]。時(shí)滯的存在往往使實(shí)際工程系統(tǒng)的性能退化，甚至變得不穩(wěn)定。而在網(wǎng)絡(luò)化牽引控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)中，考慮時(shí)滯項(xiàng)也會(huì)使研究過(guò)程變得更復(fù)雜。網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)是一種閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)由傳感器、控制器以及執(zhí)行器通過(guò)無(wú)線網(wǎng)絡(luò)連接而成。對(duì)其H∞性能進(jìn)行控制有多種控制方法，如狀態(tài)觀測(cè)器控制[4]、自適應(yīng)控制[5]、脈沖控制[6]、采樣控制[7]等?？刂撇呗砸髷?shù)字反饋以及數(shù)字控制具有及時(shí)性、小型化、精確性以及低成本。采樣控制作為一種實(shí)用、簡(jiǎn)潔的控制方法，已被廣泛運(yùn)用于實(shí)際工程領(lǐng)域?，F(xiàn)有的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)分析方法都是基于線性控制網(wǎng)絡(luò)[8]實(shí)現(xiàn)的，因此，要實(shí)現(xiàn)交流異步牽引電機(jī)的網(wǎng)絡(luò)化控制，就必須先對(duì)異步電機(jī)進(jìn)行線性化解耦。交流異步牽引電機(jī)是一種復(fù)雜的非線性系統(tǒng)[9]，對(duì)其線性化解耦的主要方法是通過(guò)非線性狀態(tài)反饋或輸出反饋將非線性系統(tǒng)變換為線性系統(tǒng)。張興華等[10-11]提出了一種逆系統(tǒng)方法，其實(shí)質(zhì)是應(yīng)用反饋線性化方法來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)變量、強(qiáng)耦合、非線性系統(tǒng)線性化。因其不依賴(lài)于對(duì)非線性系統(tǒng)的求解以及穩(wěn)定性分析，只需研究系統(tǒng)的反饋?zhàn)儞Q，因此，這種方法更具有一般性，李欣[12]對(duì)此進(jìn)行了深入分析。對(duì)于含有時(shí)滯項(xiàng)的線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究，人們常采用基于 Lyapunov-Krasovskii穩(wěn)定性定理的Lyapunov-Krasovskii泛函方法以及線性矩陣不等式方法，該方法的核心包括 2個(gè)方面：1) Lyapunov-Krasovskii泛函的構(gòu)建；2) 泛函導(dǎo)數(shù)中積分二次型的界定。在對(duì)前者的研究中，為獲得更小保守性條件，KWON 等[13-14]構(gòu)建的增廣泛函以及 TIAN 等[15-16]提出的分時(shí)滯泛函方法都有很好的效果。采樣系統(tǒng)的泛函構(gòu)建中，將更多的采樣信息導(dǎo)入泛函中，有可能獲得更優(yōu)判據(jù)，但一直沒(méi)有找到一種普遍方法來(lái)構(gòu)建泛函，在大多數(shù)情況下都是根據(jù)前人的研究以及經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建。為此，人們致力于對(duì)導(dǎo)數(shù)界定方法進(jìn)行研究，其中最主要的是對(duì)積分項(xiàng)的界定方法進(jìn)行研究，提出了多種方法，如Jensen不等式方法[17]、Writinger不等式方法[18]、自由權(quán)積分不等式方法[19-20]、逆凸不等式方法[21]等，本文采用自由權(quán)積分不等式方法，對(duì)二次型進(jìn)行界定。首先簡(jiǎn)單介紹交流異步牽引電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)逆系統(tǒng)方法得到電機(jī)廣義逆系統(tǒng)狀態(tài)狀態(tài)空間描述。同時(shí)，基于此電機(jī)系統(tǒng)控制對(duì)象，構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)化牽引控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。其次，利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法以及線性矩陣不等式方法對(duì)線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)進(jìn)行研究，得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的充分性條件，并將其拓展到含有外部干擾以及參數(shù)不確定的系統(tǒng)中，得到H∞采樣控制器的設(shè)計(jì)方法。在Lyapunov-Krasovskii泛函構(gòu)建方法中，根據(jù)兩側(cè)閉環(huán)泛函方法[22-23]，得到1個(gè)新的泛函，其關(guān)鍵是充分導(dǎo)入采樣點(diǎn)x(tk)到x(t)以及x(t)到x(tk+1)的信息，并推導(dǎo)出更優(yōu)穩(wěn)定性條件。最后，對(duì)于網(wǎng)絡(luò)化牽引電機(jī)控制模型，設(shè)定具體的數(shù)學(xué)參數(shù)，得到可行H∞采樣控制器，同時(shí)采用狀態(tài)軌跡圖證明控制器的可行性。

1 問(wèn)題描述

采用如下標(biāo)號(hào)：矩陣上標(biāo)“T”和“-1”分別表示轉(zhuǎn)置矩陣以及逆矩陣；Rn和Rn×n分別代表n維向量和n×n維矩陣；矩陣P＞0表示矩陣P是正定的；diag{b1,…,bn}表示塊對(duì)角矩陣；0和I分別表示1個(gè)合適維度的零矩陣以及合適維度的單位矩陣；sym{P}代表矩陣PT+P；標(biāo)記“*”表示塊對(duì)陣矩陣中的對(duì)稱(chēng)項(xiàng)。

1.1 交流異步牽引電機(jī)模型

目前，在交流傳動(dòng)電力機(jī)車(chē)以及動(dòng)車(chē)組上，普遍采用三項(xiàng)交流異步電機(jī)作為實(shí)現(xiàn)電能量轉(zhuǎn)換的裝置。因?yàn)榻涣鳟惒诫姍C(jī)在模型上是1個(gè)極為復(fù)雜、非線性、強(qiáng)耦合且多變量的控制對(duì)象，要實(shí)現(xiàn)其可行的網(wǎng)絡(luò)化控制策略，必先進(jìn)行線性網(wǎng)絡(luò)化處理。進(jìn)行如下假設(shè)：1) 異步電機(jī)中定子、轉(zhuǎn)子繞組是空間對(duì)稱(chēng)分布的，且所生成的磁勢(shì)沿氣隙空間正弦分布；2) 不考慮電機(jī)鐵心的磨耗以及磁路飽和影響，繞組互感、自感為恒定值；3)忽略頻率和溫度變化對(duì)電阻的干擾。

圖1 3項(xiàng)交流異步電機(jī)物理模型Fig.1 Three physical models of AC asynchronous motor

基于上述假設(shè)，三相交流異步電機(jī)物理模型見(jiàn)圖1。圖1中，A，B和C表示定子三相繞組軸線；a，b和c表示轉(zhuǎn)子繞組軸線；θ表示轉(zhuǎn)子a軸與定子A軸間的電角度，ω為轉(zhuǎn)子a的轉(zhuǎn)動(dòng)單速度；ia，ib和ic為轉(zhuǎn)子三軸電流；ua，ub和uc為轉(zhuǎn)子三相電壓；iA，iB和iC為定子三相電流；uA，uB和uC為定子三相電壓。

對(duì)于該交流異步電機(jī)非線性系統(tǒng)，其狀態(tài)方程在任意時(shí)刻的解可寫(xiě)成

其中：x為系統(tǒng)n維狀態(tài)向量；u為系統(tǒng)n維控制向量；y為系統(tǒng)n維輸出向量。

根據(jù)李欣[12]提出的異步牽引電機(jī)動(dòng)態(tài)等效電路圖以及數(shù)學(xué)模型，可以獲得以下交流異步電機(jī)狀態(tài)方程：

其中：

Rs和Rr分別為定子電阻和轉(zhuǎn)子電阻；Ls，Lr和Lm分別為定子自感、轉(zhuǎn)子自感和定轉(zhuǎn)子互感；ωr為電機(jī)轉(zhuǎn)子角速度；pn為電機(jī)的極對(duì)數(shù)；TL為電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩；為狀態(tài)分量；u為控制輸入；y為輸出變量。

采用廣義逆系統(tǒng)方法對(duì)交流異步牽引電機(jī)進(jìn)行線性化解耦，便可以得到以下廣義逆系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式：

其中：a10，a11，a12，a20，a21和a22為廣義逆系統(tǒng)中不同的參數(shù)。對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)，并配置偽線性系統(tǒng)的極點(diǎn)，便可獲得系統(tǒng)性能。

1.2 網(wǎng)絡(luò)化牽引控制系統(tǒng)模型

由于網(wǎng)絡(luò)的引入，牽引控制系統(tǒng)中的信號(hào)傳輸必將產(chǎn)生延時(shí)。在一般情況下，主要存在2種形式的時(shí)延：一種是傳感器到網(wǎng)絡(luò)控制器的時(shí)延，另一種是網(wǎng)絡(luò)控制器到牽引控制單元的時(shí)延。網(wǎng)絡(luò)化牽引控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖2。

圖2 網(wǎng)絡(luò)化牽引控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of networked traction control system

假設(shè)：1) 傳感器以時(shí)間驅(qū)動(dòng)，以采樣周期T對(duì)控制對(duì)象的輸出進(jìn)行周期采樣；2) 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)以事件驅(qū)動(dòng)，并由外部事件中斷機(jī)制實(shí)施；3) 執(zhí)行器以事件驅(qū)動(dòng)；4) 網(wǎng)絡(luò)中存在不確定時(shí)延，且不能超過(guò)T∞同時(shí)不考慮數(shù)據(jù)包丟失。當(dāng)控制率一定時(shí)，系統(tǒng)中的 2種時(shí)延可以合并為閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)時(shí)延h(t)，其值在 0到T之間任意變化。

基于前面得到的牽引電機(jī)系統(tǒng)線性化模型，網(wǎng)絡(luò)化牽引控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述可以寫(xiě)成

其中：x(t)，u(t)，y和φ(t)分別為控制對(duì)象狀態(tài)、控制輸入、控制輸出以及控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)；A，B和C為具有適當(dāng)維度的矩陣。

假定系統(tǒng)的狀態(tài)是完全可測(cè)的，則有

其中：K為狀態(tài)反饋輸入器；h(t) ∈[0,T]，表示時(shí)延，且其變化是隨機(jī)的。

綜合式(4)和(5)，網(wǎng)絡(luò)化牽引控制系統(tǒng)的裝填空間模型為

在利用采樣方法對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行控制時(shí)，首先設(shè) 2個(gè)采樣點(diǎn)(tk,tk+1)之間滿(mǎn)足

其中：h1和h2為正標(biāo)量，表示最大采樣間隔。

假設(shè)1系統(tǒng)時(shí)滯h(t)總是小于或等于h，且將狀態(tài)量中的時(shí)滯看成采樣間隔量，即h(t) =t-tk，于是，系統(tǒng)(6)可寫(xiě)成

本文基于此系統(tǒng)展開(kāi)研究。

1.3 引理介紹

引理1[20]對(duì)于任意正定對(duì)稱(chēng)矩陣Y，2個(gè)標(biāo)量α和β滿(mǎn)足β＞α＞0，任意向量ξ1，ξ2∈Rm，以及任意矩陣N1，N2，N3∈Rn×m，則有下面不等式成立：

其中：

引理2[24]對(duì)于任意合適維度矩陣Y1和Y2，以及1個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣Y3＜0，函數(shù)h(t) ∈[0,h]，滿(mǎn)足

當(dāng)且僅當(dāng)hY1+Y3＜0和hY2+Y3＜0同時(shí)成立。

引理3[25]存在合適維度的矩陣Ω1，Ω2和Ω3，其中Ω1是對(duì)稱(chēng)矩陣，Ω2是對(duì)稱(chēng)正定矩陣，則有

引理4[26]存在E，F(xiàn)以及w(t)為合適維度的矩陣，且w(t) 滿(mǎn)足wT(t)w(t) ≤In。對(duì)于任意標(biāo)量ε＞0，有下面不等式成立：

2 主要結(jié)果

為了使表達(dá)更加簡(jiǎn)潔，首先給出下列定義：

2.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

定理 1給定正常數(shù)h1和h2，若存在正定對(duì)稱(chēng)矩陣P∈Rn×n，以及任意矩陣Q∈Rn×n，Z∈Rn×n，Xi∈Rn×n(i=1,2)，Ti∈Rn×n(i=1,2)，U12∈Rn×n，U22∈Rn×n，Mi∈Rn×n(i=1,2,3)，Ni∈Rn×n(i=1,2,3)，任意對(duì)稱(chēng)矩陣U11∈Rn×n，U13∈Rn×n，U21∈Rn×n，U23∈Rn×n，任意矩陣F∈Rn×n，則對(duì)于h∈[h1，h2]，有下面不等式成立：

其中：

系統(tǒng)(9)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證明構(gòu)建如下增廣泛函：

其中：

顯然，當(dāng)tk≤t＜tk+1，V(t)是正定的。對(duì)函數(shù)V(t)求導(dǎo)得

其中：

對(duì)此導(dǎo)數(shù)線性化，關(guān)鍵在于對(duì)其中2個(gè)積分項(xiàng)進(jìn)行處理。根據(jù)引理1，可以得到下列不等式：

其中：N1，N2，N3，M1，M2和M3為任意合適維度的矩陣。

引入1個(gè)零項(xiàng)等式：

其中：F為任意合適維度的矩陣。

由式(16)～(19)，當(dāng)tk≤t＜tk+1，可以得到下列不等式：

據(jù)引理2以及引理3，當(dāng)式(13)和式(14)成立時(shí)，(t)為負(fù)定，V(t)正定，故系統(tǒng)(9)是穩(wěn)定的。

推論1在定理1中，因自由矩陣F存在，使得其保守性大大降低。從定理1的推導(dǎo)過(guò)程中可以看到：在式(19)中，F(xiàn)出現(xiàn)了3次，為此，不妨可以設(shè)3個(gè)不同的自由矩陣F1，F(xiàn)2和F2來(lái)分別替代其中的F，由此得到的系統(tǒng)(9)穩(wěn)定性條件能夠獲得更小的保守性。

2.2 H∞控制器設(shè)計(jì)

定理1可以拓展到含有時(shí)變參數(shù)不確定以及外部干擾的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)之中，構(gòu)建有如下系統(tǒng)狀態(tài)方程：

其中：x(t)，u(t)，y，φ(t)和w(t)分別表示控制對(duì)象狀態(tài)、控制輸入、控制輸出、控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)以及系統(tǒng)的外部干擾；A，B，C和D為具有適當(dāng)維度的矩陣；ΔA表示時(shí)變參數(shù)不確定，且滿(mǎn)足

其中：H和E為已知常矩陣；g(t)為未知時(shí)變矩陣函數(shù)，且滿(mǎn)足gT(t)g(t)≤I。

在給出結(jié)論之前，先給出如下定義。

定義1當(dāng)滿(mǎn)足以下2個(gè)條件：

1) 閉環(huán)系統(tǒng)(21)在沒(méi)有外部干擾的情況下即w(t)=0時(shí)，是穩(wěn)定的；

2) 對(duì)于存在外部干擾的系統(tǒng)(21)，存在標(biāo)量γ，控制輸出y(t)滿(mǎn)足

時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)(21)是關(guān)于H∞范數(shù)界為γ穩(wěn)定的。

為滿(mǎn)足定義中條件1)，假定系統(tǒng)(21)無(wú)外部干擾，則系統(tǒng)狀態(tài)方程為

于是，根據(jù)定理1，可以得到如下定理。

定理2給定正常數(shù)h1和h2以及矩陣H和E，若存在正定對(duì)稱(chēng)矩陣P∈Rn×n，以及任意矩陣Q∈Rn×n，Z∈Rn×n，Xi∈Rn×n(i=1,2)，Ti∈Rn×n(i=1,2)，U12∈Rn×n，U22∈Rn×n，Mi∈Rn×n(i=1,2,3)，Ni∈Rn×n(i=1,2,3)，任意對(duì)稱(chēng)矩陣U11∈Rn×n，U13∈Rn×n，U21∈Rn×n，U23∈Rn×n，任意矩陣F∈Rn×n，任意標(biāo)量ε＞0，則對(duì)于h∈[h1，h2]，有下列不等式成立：

證明將不等式(13)和(14)中的A用A+Hg(t)E1替代，并根據(jù)引理 3以及引理 4，便可得到不等式(25)和(26)，其證明過(guò)程與定理1的證明過(guò)程相同。

注釋1因定理1中的3個(gè)自由矩陣F相同，故可以將它提出來(lái)，在定理2的Φ1和Φ2中已經(jīng)體現(xiàn)出來(lái)。這種處理方法有利于后面控制器的求解。

對(duì)于系統(tǒng)(21)，其H∞控制器的求解方法如下。

定理3給定正常數(shù)h1，h2和γ，以及矩陣H和E，若存在正定對(duì)稱(chēng)矩陣P∈Rn×n，以及任意矩陣Q∈Rn×n，Z∈Rn×n，Xi∈Rn×n(i=1,2)，Ti∈Rn×n(i=1,2)，U12∈Rn×n，U22∈Rn×n，Mi∈Rn×n(i=1,2,3)，Ni∈Rn×n(i=1,2,3)，任意對(duì)稱(chēng)矩陣U11∈Rn×n，U13∈Rn×n，U21∈Rn×n，U23∈Rn×n，任意矩陣F=F-1∈Rn×n，G∈Rn×n，任意標(biāo)量ε＞0，則對(duì)于h∈[h1，h2]，有下面不等式成立：

閉環(huán)系統(tǒng)(21)是關(guān)于H∞范數(shù)界為γ穩(wěn)定的，其控制器。

證明在定理1的推導(dǎo)基礎(chǔ)上，設(shè)

對(duì)于系統(tǒng)(24)，有如下零項(xiàng)等式：

對(duì)式(30)進(jìn)行分解，有

設(shè)可逆矩陣F，對(duì)式(31)中間項(xiàng)兩邊同時(shí)乘以 1個(gè)可逆矩陣：

根據(jù)定義1中的條件2)，有

即

故

在定理2中，證明了定理3是系統(tǒng)(21)在無(wú)外部輸入穩(wěn)定的充分條件，同時(shí)滿(mǎn)足定義1中的條件1)。設(shè)可逆矩陣=F-1，類(lèi)似定理1中的推導(dǎo)過(guò)程，若不等式(27)和(28)同時(shí)成立，則式(35)成立，此時(shí)，將滿(mǎn)足定義1中的條件2)，則閉環(huán)系統(tǒng)(21)是關(guān)于H∞范數(shù)界為γ穩(wěn)定的。證畢。

注釋2在定理2中，存在非線性項(xiàng)FBK，控制器K不能直接通過(guò)Matlab工具箱求解。在定理3的證明中，通過(guò)在零項(xiàng)等式中間兩側(cè)同乘-1F，可以解決這一問(wèn)題。

3 仿真實(shí)例

針對(duì)于1.1節(jié)得到的網(wǎng)絡(luò)化牽引控制控制系統(tǒng)模型，選取a10=1，a11=3，a12=1，a20=1，a21=5，a22=1，可得：

假設(shè)初始狀態(tài)γ=0.9，h1=10-5，h2=0.4，g(t)=diag{sin(0.1t)，sin(0.3t)，sin(0.1t)，sin(0.3t)}，w(t) =[0.1，0.1，0.1，0.1]T。利用定理 3，可以得到H∞控制器參數(shù)為

當(dāng)初始狀態(tài)為φ(t)=[3，-4，1，-2]T時(shí)，仿真結(jié)果見(jiàn)圖3和圖4。從圖3和圖4可知此控制器是可行的。

圖3 系統(tǒng)(21)的控制輸入u(t)Fig.3 Control inputu(t) of system (21)

圖4 系統(tǒng)(21)的狀態(tài)軌跡Fig.4 State trajectories of system (21)

4 結(jié)論

1) 基于采樣控制系統(tǒng)，利用閉環(huán)泛函方法，構(gòu)建了1個(gè)新的含有更多時(shí)滯以及采樣點(diǎn)信息的Lyapunov泛函，獲得了新的穩(wěn)定性條件，并通過(guò)Matlab工具箱獲得了可行控制器參數(shù)。

2) 交流異步電動(dòng)機(jī)在電氣工程中的應(yīng)用非常廣泛，基于交流異步電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型并結(jié)合采樣控制策略，得到保證H∞性能的采樣控制器設(shè)計(jì)方法。