利用非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)研究混沌現(xiàn)象

李明達(dá) 董喬南 楊亞利 李 鑫 羅鍛斌

(華東理工大學(xué)物理系，上海 200237)

混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的看似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)。一個(gè)確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性、不可重復(fù)、不可預(yù)測(cè)，這就是混沌現(xiàn)象[1]?；煦缡欠蔷€性系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。目前，混沌動(dòng)力學(xué)已經(jīng)成為復(fù)雜性科學(xué)的一個(gè)重要分支，混沌運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性已經(jīng)被證明在描述和量化大量的復(fù)雜現(xiàn)象中非常有用[2]。但是，由于混沌系統(tǒng)所固有的系統(tǒng)輸出對(duì)狀態(tài)初值的敏感性以及混沌系統(tǒng)和混沌現(xiàn)象的復(fù)雜性和奇異性，使得混沌控制理論的研究更具有挑戰(zhàn)性，也使得這一領(lǐng)域的研究和發(fā)展成為當(dāng)代非線性科學(xué)的研究熱點(diǎn)[2]。天然存在的系統(tǒng)(物理系統(tǒng)、化學(xué)系統(tǒng)或生物系統(tǒng))能呈現(xiàn)混沌，這一點(diǎn)目前已得到普遍共識(shí)，并引起了許多學(xué)者在實(shí)驗(yàn)室里或在自然狀況下對(duì)混沌識(shí)別進(jìn)行嘗試[3-9]。

我們?cè)趯?shí)驗(yàn)室里搭建了一種具有非線性動(dòng)力學(xué)特性的混沌擺系統(tǒng)，研究了該系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)力頻率等相關(guān)參數(shù)對(duì)該混沌擺系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響。同時(shí)，我們通過(guò)數(shù)值計(jì)算模擬不同條件下的混沌擺運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 實(shí)驗(yàn)裝置與理論

圖1 (a) 混沌擺實(shí)驗(yàn)裝置; (b) 鋁質(zhì)圓盤側(cè)視圖

混沌擺實(shí)驗(yàn)裝置主要包括擺輪部分和驅(qū)動(dòng)力部分，如圖1所示。其中擺輪部分由半徑為4.75cm的鋁質(zhì)圓盤和安裝在其邊緣的一個(gè)質(zhì)塊構(gòu)成，圓盤安裝在轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器上，并在圓盤后側(cè)安裝一個(gè)磁阻，來(lái)改變圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的阻力。圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的恢復(fù)力由兩根彈簧提供，彈簧通過(guò)細(xì)線纏繞在圓盤后側(cè)的聯(lián)動(dòng)桿上。兩根彈簧下端，一根固定，另一根系在轉(zhuǎn)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)臂上，這樣圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)就受到驅(qū)動(dòng)電機(jī)周期外力的作用。同時(shí)在電機(jī)轉(zhuǎn)臂的一側(cè)加裝光電門，來(lái)記錄電機(jī)的轉(zhuǎn)速。轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器、光電門及驅(qū)動(dòng)力電機(jī)通過(guò)850通用接口連接計(jì)算機(jī)，實(shí)驗(yàn)時(shí)打開(kāi)PASCO Capstone數(shù)據(jù)采集及分析軟件，可控制驅(qū)動(dòng)力電機(jī)轉(zhuǎn)速，并實(shí)時(shí)顯示轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器的角度和角速度的數(shù)據(jù)，同時(shí)利用光電門采集到的驅(qū)動(dòng)力周期信息在實(shí)時(shí)相圖上繪制龐加萊點(diǎn)。

(1)

(2)

(3)

用Matlab計(jì)算模擬出微分方程組的解，可得到圓盤擺動(dòng)的角度和角速度，并繪制出圓盤受迫擺動(dòng)的相軌跡。

2 實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果分析

2.1 混沌擺相圖隨驅(qū)動(dòng)力周期的變化

非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是否會(huì)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，取決于系統(tǒng)中參數(shù)的設(shè)置，包括磁阻、驅(qū)動(dòng)力周期和振幅、擺輪和質(zhì)塊質(zhì)量等。根據(jù)實(shí)驗(yàn)操作的便利性，我們主要討論了驅(qū)動(dòng)力頻率對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響，并將仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，來(lái)驗(yàn)證驅(qū)動(dòng)力頻率的影響規(guī)律。

圖2 不同驅(qū)動(dòng)電機(jī)電壓(驅(qū)動(dòng)頻率)下混沌擺輸出相圖的變化情況，(a)(c)(e)(g)(i)(k)(m)(o)為不同驅(qū)動(dòng)頻率下的模擬相圖，(b)(d)(f)(h)(j)(l)(n)(p)則為相對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)相圖。

根據(jù)前述實(shí)驗(yàn)原理中得到的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，參數(shù)ω包含系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)力頻率的影響因素，在Matlab仿真程序中改變?chǔ)氐娜≈?，可以得到不同相圖，其結(jié)果如圖2 中(a,c,e,g,i,k,m,o)所示。在程序中設(shè)置參數(shù)δ=0.78，f=1。在利用混沌擺實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置磁阻到鋁質(zhì)圓盤的距離為0.22cm，驅(qū)動(dòng)力振幅為6cm，改變驅(qū)動(dòng)電機(jī)的直流電壓，從而改變電機(jī)的轉(zhuǎn)速，即改變驅(qū)動(dòng)力頻率，得到不同驅(qū)動(dòng)力頻率時(shí)圓盤運(yùn)動(dòng)的相圖如圖2中(b,d,f,h,j,l,n,p)所示。

圖2 (續(xù))

圖2 (續(xù))

圖3 混沌擺在驅(qū)動(dòng)頻率為ω=0.827(a)和ω=0.8271(b)的相圖比較

從上面仿真和實(shí)驗(yàn)的結(jié)果圖中可以看出，在驅(qū)動(dòng)力頻率較低時(shí)(如圖2(a)、(b))，圓盤和質(zhì)塊組成的擺動(dòng)系統(tǒng)會(huì)在初始位置兩側(cè)來(lái)回?cái)[動(dòng)，且擺動(dòng)是周期的；當(dāng)頻率逐漸增加時(shí)，系統(tǒng)的擺動(dòng)會(huì)變得越來(lái)越復(fù)雜，除了會(huì)在兩側(cè)擺動(dòng)以外，還會(huì)隨機(jī)的在一側(cè)停留擺動(dòng)幾次，之后再擺動(dòng)到另一側(cè)(如圖2(c)、(d))，這種擺動(dòng)是非周期的，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖中龐加萊點(diǎn)的分布情況可以看出，擺動(dòng)出現(xiàn)了混沌狀態(tài)；驅(qū)動(dòng)力頻率繼續(xù)升高，出現(xiàn)了如圖2(e)、(f)的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這種周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不是很穩(wěn)定，驅(qū)動(dòng)力頻率稍有變化，周期運(yùn)動(dòng)的軌跡就會(huì)發(fā)生變化。這是由于在數(shù)值計(jì)算中，參數(shù)值可以精確設(shè)置，所以仿真結(jié)果圖中可以看到清晰的運(yùn)動(dòng)軌跡。但在具體實(shí)驗(yàn)操作中，由于電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)容易引起兩根彈簧的晃動(dòng)，從而使得實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)穩(wěn)定性難以絕對(duì)保證，就會(huì)出現(xiàn)各種周期運(yùn)動(dòng)相混疊而其中一條周期運(yùn)動(dòng)軌跡相對(duì)清晰的結(jié)果。頻率再增加時(shí)，系統(tǒng)會(huì)再次出現(xiàn)混沌狀態(tài)(如圖2(g)、(h))，這種混沌狀態(tài)會(huì)在一定的驅(qū)動(dòng)力頻率范圍內(nèi)持續(xù)出現(xiàn)；驅(qū)動(dòng)力頻率再增加，出現(xiàn)圖2(i)、(j)所示的周期運(yùn)動(dòng)，這種周期運(yùn)動(dòng)較穩(wěn)定，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的周期軌跡也很清晰；驅(qū)動(dòng)力頻率繼續(xù)增加時(shí)，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)選擇一側(cè)開(kāi)始單邊的擺動(dòng)，如圖2(k)、(l)；頻率再升高之后，系統(tǒng)單邊的擺動(dòng)趨于周期運(yùn)動(dòng)(如圖2(m)、(n))；當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到圖2(o)、(p)的單邊周期擺動(dòng)之后，再增加頻率時(shí)，擺動(dòng)狀態(tài)沒(méi)有再發(fā)生明顯的變化。

2.2 混沌擺運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)參數(shù)的敏感性

上述的仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相互印證，反映了混沌擺系統(tǒng)隨驅(qū)動(dòng)力頻率的復(fù)雜變化情況，也從另一個(gè)方面說(shuō)明了模擬仿真結(jié)果的合理性。由于在實(shí)驗(yàn)中每改變一次系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)，如驅(qū)動(dòng)頻率，到采集獲取一個(gè)比較穩(wěn)定相圖所需要的時(shí)間比較長(zhǎng)。因此，在本節(jié)我們利用數(shù)值模擬，從參數(shù)可以精確設(shè)置且不存在系統(tǒng)穩(wěn)定性影響因素的仿真結(jié)果中，觀察混沌擺運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)參數(shù)的敏感性。

圖4 混沌擺在驅(qū)動(dòng)頻率為ω=0.827(a)和ω=0.8271(b)的角度-時(shí)間關(guān)系比較

首先，系統(tǒng)的擺動(dòng)在周期和非周期之間的變化近乎是突變的。如圖3和圖4所示，驅(qū)動(dòng)力頻率參數(shù)有微小的變化，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)就從周期突變?yōu)榉侵芷诘男问?。圖4的角度-時(shí)間圖為混沌擺運(yùn)行了一段時(shí)間后的位移變化情況，可以看出ω=0.827時(shí)系統(tǒng)為周期運(yùn)動(dòng)，ω=0.8271時(shí)系統(tǒng)為非周期運(yùn)動(dòng)。這說(shuō)明了非線性系統(tǒng)對(duì)參數(shù)的變化十分敏感。

圖5 不同驅(qū)動(dòng)力頻率參數(shù)的仿真結(jié)果相圖

其次，隨著驅(qū)動(dòng)力頻率參數(shù)的增大，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為從周期變?yōu)榛煦?，再突變?yōu)橹芷?，再變?yōu)榛煦绲默F(xiàn)象，即系統(tǒng)隨著參數(shù)的變化會(huì)交替地出現(xiàn)周期和混沌的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，且這種變化多為突變的。如圖5(a)～(h)所示，仿真結(jié)果反映了這種相圖隨驅(qū)動(dòng)力頻率交替出現(xiàn)周期和混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的現(xiàn)象。

圖5 (續(xù))

上面所闡述的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化，與混沌現(xiàn)象的分岔圖[2]描述的行為是一致的。

2.3 混沌擺運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的頻譜特性

為了進(jìn)一步分析混沌擺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，我們對(duì)比較有代表性的實(shí)驗(yàn)相圖進(jìn)行了頻譜分析，從頻譜的角度，也可以直觀地發(fā)現(xiàn)不同驅(qū)動(dòng)電壓(即不同驅(qū)動(dòng)頻率)下混沌擺運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的頻率特性。從圖6可以看出，隨著驅(qū)動(dòng)電壓的改變，不同驅(qū)動(dòng)頻率下，混沌狀態(tài)下的相圖包含復(fù)雜無(wú)序的頻譜，如圖6(a)所示；隨著準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的出現(xiàn)，頻譜中的特征頻率開(kāi)始出現(xiàn)，如圖6(b)和圖6(c)所示。

圖6 不同驅(qū)動(dòng)電壓下混沌擺運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的頻率特性

(a) 驅(qū)動(dòng)電壓U=4.7V，相圖圖2(h)對(duì)應(yīng)的頻譜圖； (b) 驅(qū)動(dòng)電壓U=4.898V，相圖圖2(j)對(duì)應(yīng)的頻譜圖； (c) 驅(qū)動(dòng)電壓U=4.95V，相圖圖2(n)對(duì)應(yīng)的頻譜圖

3 結(jié)語(yǔ)

本文基于實(shí)驗(yàn)室搭建的混沌擺實(shí)驗(yàn)裝置，針對(duì)非線性擺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨參數(shù)變化過(guò)程進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)和仿真研究，得到了驅(qū)動(dòng)力頻率這一參數(shù)對(duì)混 沌擺運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響結(jié)果。實(shí)驗(yàn)和仿真結(jié)果均表明，隨著驅(qū)動(dòng)力頻率的增加，混沌擺會(huì)有周期和混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)交替出現(xiàn)的情況，且這種變化近乎為突變的。同時(shí)，也從數(shù)值仿真結(jié)果中觀察到了混沌擺運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)驅(qū)動(dòng)力頻率這一參數(shù)的敏感性。

混沌擺實(shí)驗(yàn)作為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的拓展內(nèi)容，讓同學(xué)們利用傳感器及相關(guān)數(shù)據(jù)處理軟件對(duì)混沌現(xiàn)象有了更深入的認(rèn)識(shí)。本文討論了驅(qū)動(dòng)力頻率這一影響因素，還可以在后續(xù)的拓展實(shí)驗(yàn)中展開(kāi)對(duì)驅(qū)動(dòng)力振幅、磁阻力等影響因素的研究，并利用混沌擺裝置進(jìn)行驗(yàn)證。