雨滴下落的形狀和收尾速度

高德文 趙 昶

(北京石油化工學(xué)院數(shù)理系，北京 102617)

關(guān)于雨滴收尾速度的計(jì)算，文獻(xiàn)[1]給出了在大雷諾數(shù)情況下，雨滴的收尾速度；文獻(xiàn)[2]給出了雨滴下落過(guò)程中質(zhì)量變化時(shí)的收尾速度。兩個(gè)文獻(xiàn)在討論雨滴下落時(shí)，都假設(shè)雨滴呈球型，并且設(shè)定阻力系數(shù)為常數(shù)。

雨滴在重力、浮力和阻力的共同作用下，其運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

雨滴的收尾速度為

(2)

式中，ρ=1.00×103kg·m-3；ρ0=1.293kg·m-3，η=17.1×10-6kg·m-1；Cd=0.4。

筆者按照式(2)對(duì)球模型雨滴進(jìn)行了收尾速度計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表1所示，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖1所示。

由圖1可以看出，由文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]得出的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有較大差別。筆者認(rèn)為，問(wèn)題出現(xiàn)的原因包括兩個(gè)方面：一是空氣阻力系數(shù)選取問(wèn)題；二是雨滴模型問(wèn)題。

1 本文解決辦法

由文獻(xiàn)[3，4]，本文采取空氣阻力系數(shù)的Park公式和Wallis公式，并嘗試用球型、近似橢球模型(以下簡(jiǎn)稱PP模型)以及漢堡模型(即半球形)進(jìn)行計(jì)算對(duì)比，找出最佳雨滴模型，并給出雨滴收尾速度的計(jì)算方法。

1.1 預(yù)備知識(shí)

1) 橢球知識(shí)[5]

如圖2所示，設(shè)橢球x、y、z軸的長(zhǎng)度分別為a、b、c；

(2)r表示同樣體積的球形半徑(以下稱等效半徑)，由橢球PP[4]模型得:

(3)

2) 雷諾數(shù)

(4)

3) 常見(jiàn)的空氣阻力系數(shù)公式[6]：

Park公式：

表1 球模型，Cd=0.4時(shí)雨滴收尾速度計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[8]對(duì)比表

圖1 雨滴球模型C=0.4時(shí)收尾速度與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

圖2 旋轉(zhuǎn)橢球(設(shè)a=b)

Wallis公式：

1.2 雨滴模型

由文獻(xiàn)[7]知，當(dāng)雨滴等效半徑r≤0.05mm：雨滴呈球型下落，空氣阻力遵守斯托克斯公式，此部分內(nèi)容本文不再討論，本文將討論雨滴等效半徑在0.05mm

(9)

1) 球模型

由圖1可知，當(dāng)Cd=0.4時(shí)計(jì)算結(jié)果誤差較大，所以球模型的空氣阻力系數(shù)本文采取Park公式進(jìn)行計(jì)算。

(1) 當(dāng)Re≤1000時(shí)，將式(4)、式(5)代入式(9)得：

(10)

式中，ρ=1.00×103kg·m-3，ρ0=1.293kg·m-3，g=9.8m·s-2，η=17.1×10-6kg·m-1。

當(dāng)Re≤1000，解得：r≤0.982849mm，取r=0.15,0.20,0.25,0.30,0.35,0.40,0.45,0.50,0.60,0.70,0.80,0.90mm，將r值(SI制)代入式(10)計(jì)算雷諾數(shù)Re，進(jìn)而由式(11)計(jì)算雨滴收尾速度v，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

(11)

(2) 當(dāng)Re>1000時(shí)，將式(4)、式(6)代入式(9)得：

(12)

當(dāng)Re>1000，解得：r>0.9826mm

取r=1.0，1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9,2.0, 1.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9mm。

將r(SI制)值代入式(12)計(jì)算雷諾數(shù)Re，進(jìn)而由式(11)雷諾數(shù)公式計(jì)算收尾速度v，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

2) 橢球PP模型[4]

空氣阻力系數(shù)采取Park公式和Wallis公式進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于雨滴的PP模型，由體積相等，即：

將式(3)代入上式，得

(13)

(1) 當(dāng)Re≤1000時(shí)，Park公式和Wallis公式的空氣阻力系數(shù)相同，將式(4)、式(5)代入 式(9)得：

當(dāng)Re≤1000，解得r≤0.982849mm，取r=0.15,0.20,0.25,0.30,0.35,0.40,0.45,0.50, 0.60,0.70,0.80,0.90mm，將r值(SI制)代入 式(10)計(jì)算雷諾數(shù)Re，進(jìn)而由式(13)、式(14)計(jì)算雨滴收尾速度v，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

(14)

(2) 當(dāng)Re>1000時(shí),

Park公式：將式(4)、式(6)代入式(9)得：

此式與式(12)相同.

當(dāng)Re>1000，解得：r>0.9826mm，取r=1.0，1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0, 1.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9mm。

將r值(SI制)代入式(12)計(jì)算雷諾數(shù)Re，進(jìn)而由式(13)、式(14)計(jì)算收尾速度v，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

Wallis公式：將式(8)代入式(9)得：

計(jì)算結(jié)果如表2所示。

雨滴的球模型、PP模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[8]對(duì)比如表2及圖3所示。

由圖3可以看出，當(dāng)雨滴等效半徑r<0.8mm時(shí)，球模型、PP模型(Park公式)計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果都比較吻合，當(dāng)雨滴等效半徑r>0.8mm開(kāi)始與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不吻合；而對(duì)于PP模型(Wallis公式)當(dāng)雨滴等效半徑r<2.2mm，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，而當(dāng)雨滴等效半徑r>2.2mm開(kāi)始與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不吻合。

那么，當(dāng)雨滴等效半徑r>2.2mm時(shí)，雨滴呈什么形狀下落呢？收尾速度又該如何計(jì)算呢？

3) 漢堡模型

參考文獻(xiàn)[3]，我們假設(shè)雨滴等效半徑r>2.2mm時(shí)以漢堡模型(即半球模型)下落，如圖4所示，由體積相等，即：

得

(15)

由

采用Wallis公式：Cd=0.44

表2 雨滴下落時(shí)收尾速度的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[8]對(duì)比

圖3 球模型、PP模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比圖

圖4 漢堡模型

計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖5所示。

由圖5可見(jiàn)，空氣阻力系數(shù)采用Wallis公式的漢堡模型，雨滴等效半徑r越大，收尾速度v越趨近于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，當(dāng)r=2.9mm時(shí)，收尾速度v的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本吻合。

這說(shuō)明，當(dāng)雨滴等效半徑r=2.2～3.0mm時(shí)，雨滴模型逐漸由PP模型向漢堡模型過(guò)渡，模型下表面逐漸趨于平坦，同時(shí)半長(zhǎng)軸A逐漸變長(zhǎng)，如圖6所示。在雨滴等效半徑r=3.0mm附近，雨滴收尾速度的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值吻合得比較好，此結(jié)果與文獻(xiàn)[3]相一致。

由雨滴收尾速度的實(shí)驗(yàn)值(見(jiàn)表2)，空氣阻力系數(shù)取Cd=0.44(Wallis公式)反算出雨滴由PP模型向漢堡模型過(guò)渡時(shí)的半長(zhǎng)軸A，A與雨滴等效半徑r的變化關(guān)系如表4及圖7所示。

半長(zhǎng)軸長(zhǎng)度A與雨滴等效半徑r關(guān)系為

A=1.28613+1.69617r

(16)

這樣，對(duì)等效半徑r>2.2mm的雨滴，通過(guò)式(16)求出A值，并代入下式：

表3 漢堡模型Re>1000時(shí)，雨滴收尾速度(Wallis公式：Cd=0.44)

表4 PP模型向漢堡模型過(guò)渡時(shí)半長(zhǎng)軸長(zhǎng)度A與雨滴等效半徑r關(guān)系

圖5 漢堡模型Wallis公式收尾速度計(jì)算結(jié)果以及實(shí)驗(yàn)結(jié)果與雨滴等效半徑r的關(guān)系

圖6 雨滴由PP模型向漢堡模型過(guò)渡

圖7 PP模型向漢堡模型過(guò)渡時(shí)半長(zhǎng)軸長(zhǎng)度與雨滴等效半徑r關(guān)系曲線

式中阻力系數(shù)采用Wallis公式：Cd=0.44

整理得：

(17)

由式(17)即可以求出雨滴由PP模型向漢堡模型過(guò)渡時(shí)的收尾速度。

2 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，可以得出結(jié)論：當(dāng)雨滴等效半徑r<0.1mm時(shí)，雨滴呈球型下落；當(dāng)雨滴等效半徑r=0.15～2.2mm區(qū)間時(shí)，雨滴呈近似橢球模型(PP模型)下落，并且空氣阻力系數(shù)遵循Wallis公式；當(dāng)雨滴等效半徑在r=2.2～3.0mm區(qū)間時(shí)，雨滴模型由PP模型向漢堡模型過(guò)渡，此時(shí)可以采用通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的關(guān)系式求出雨滴的收尾速度。