正方光學(xué)超晶格中超冷玻色子系統(tǒng)的量子相變

楊碩,姜穎

(上海大學(xué) 理學(xué)院,上海 200444)

0 引言

人工光晶格超冷原子系統(tǒng),由于其純凈的環(huán)境和精確的可控性[1],近年來成為研究量子多體物理的一個(gè)重要的平臺(tái)[2-4],并且得到了廣泛的關(guān)注和長(zhǎng)足的發(fā)展。對(duì)于該系統(tǒng)中一個(gè)重要的課題,也即量子相變問題[5-7],通常有幾種不同的研究方法。其中最早也是最廣泛被采用的方法是平均場(chǎng)方法[7-8],也即解耦合近似;另一種是強(qiáng)耦合展開法[9]。在與相應(yīng)的蒙特卡洛數(shù)值模擬結(jié)果[10]比較后不難發(fā)現(xiàn),平均場(chǎng)計(jì)算結(jié)果偏低而強(qiáng)耦合展開法計(jì)算結(jié)果偏高。與以上方法不同,近年來基于場(chǎng)論和瑞利-薛定諤微擾論而發(fā)展起來的一種新的解析方法,即有效勢(shì)方法[11],不僅可以用來精確計(jì)算簡(jiǎn)單正方光晶格中超冷玻色系統(tǒng)的超流態(tài)(SF)到莫特絕緣態(tài)(MI)量子相變相圖[11],同時(shí)也適用于具有更為復(fù)雜的晶格結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)。利用此方法,我們精確計(jì)算了三角光晶格、六角光晶格及籠目晶格(Kagomé)上的量子相變相圖[12],所得解析結(jié)果與相應(yīng)蒙特卡洛數(shù)值結(jié)果相比誤差不超過10%。除了高精度外,該有效勢(shì)方法原則上是可以用來進(jìn)行任意高階微擾近似的解析計(jì)算?；诖死碚摵臀_論的加藤(Kato)表示[13]而提出的過程鏈(process chain)技術(shù)[14-15]使得我們可以借助于計(jì)算機(jī)來計(jì)算任意階微擾近似下的相圖,并通過外推法得到與蒙特卡洛數(shù)值結(jié)果幾乎重合的極為精確的量子相變相圖。

隨著人工光晶格冷原子實(shí)驗(yàn)手段的不斷進(jìn)步,越來越多的研究不再局限于簡(jiǎn)單的正方光晶格系統(tǒng),而將精力投放到了具有更加復(fù)雜的晶格幾何結(jié)構(gòu)[16-18]或更加復(fù)雜的相互作用[19-20]或是多組分[21]的光晶格冷原子系統(tǒng)。這其中一個(gè)重要且有趣的問題就是人工光學(xué)超晶格超冷玻色系統(tǒng)[22-28]量子相變問題。人工光學(xué)超晶格可以使用多波長(zhǎng)激光束實(shí)現(xiàn)[29],對(duì)于正方光學(xué)超晶格玻色超冷原子系統(tǒng),它可由以下這個(gè)推廣了的Bose-Hubbard哈密頓量來刻畫[30-31],

(1)

Fig.1 Illustration of square optical superlattice.The potential barrier between sublattice A and B is Δμ圖1 正方光學(xué)超晶格示意圖,兩個(gè)子晶格A和B的勢(shì)阱差為Δμ

有意思的是上述有效勢(shì)方法不僅適用于均勻系統(tǒng),并可進(jìn)行推廣而適用于多子晶格結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的解析研究[30,32-34]。利用推廣的有效勢(shì)理論,借助于過程鏈技術(shù),我們已給出了Δμ=0.5 U情形下正方光學(xué)超晶格玻色冷原子系統(tǒng)的高精度的量子相變相圖[32]。然而,對(duì)于任意勢(shì)阱深度差的情形下的全域相圖,還需要進(jìn)一步研究。之前,研究人員基于平均場(chǎng)理論已詳細(xì)探討了光學(xué)超晶格玻色冷原子系統(tǒng)的量子相變[24],并給出了平均場(chǎng)下的全域相圖。在本文中,借助于推廣的有效勢(shì)理論和過程鏈技術(shù),我們將細(xì)致計(jì)算高階近似下光學(xué)超晶格超冷玻色系統(tǒng)的全域量子相變相圖,并進(jìn)一步通過外推法給出無窮階的結(jié)果。我們的計(jì)算結(jié)果可以為后續(xù)的蒙特卡洛數(shù)值模擬和相關(guān)實(shí)驗(yàn)提供參考。

1 非微擾哈密頓量基態(tài)分布

研究表明,對(duì)于Bose-Hubbard模型,在Bogoliubov近似下,即將相互作用項(xiàng)當(dāng)作微擾進(jìn)行計(jì)算,并不能得到Bose-Hubbard系統(tǒng)中的量子相變[35]。為了研究系統(tǒng)的量子相變,我們需把躍遷項(xiàng)當(dāng)作微擾項(xiàng)來進(jìn)行處理。為了后續(xù)的討論,首先對(duì)(1)式中哈密頓量的非微擾部分,即

(2)

所對(duì)應(yīng)的基態(tài)特性進(jìn)行分析。式中U和Δμ的競(jìng)爭(zhēng)將導(dǎo)致非微擾基態(tài)在μ,Δμ不同區(qū)域呈現(xiàn)不同的量子相。我們用A、B兩個(gè)子晶格上的填充數(shù)來表示相應(yīng)的本征態(tài)|nA,nB〉,不難看出,相應(yīng)的本征能量為

(3)

其中

(4)

本征態(tài)|nA,nB〉能成為基態(tài)的條件是

(5)

于是,我們就有

(6)

這就給出了如圖2所示的非微擾基態(tài)相圖。當(dāng)nA=nB時(shí)該區(qū)域即為莫特絕緣態(tài),而當(dāng)nA≠nB時(shí)該區(qū)域即為密度波態(tài)(DW)。

Fig.2 Phase diagram of spinless bosons in a square superlattice described by the Hamiltonian (2)實(shí)線表示相界,(nA,nB)表示子晶格A、B中玻色子的占據(jù)數(shù)圖2 正方光學(xué)超晶格中玻色子體系非微擾哈密頓量基態(tài)分布圖

2 有效勢(shì)方法及相界方程

當(dāng)加入躍遷項(xiàng)后,由于躍遷項(xiàng)和相互作用項(xiàng)不對(duì)易,這將導(dǎo)致量子漲落,并隨著躍遷振幅的增強(qiáng)最終導(dǎo)致由局域態(tài)(MI/DW)到超流態(tài)的量子相變的發(fā)生。與之前的工作類似,為了探究光學(xué)超晶格中玻色系統(tǒng)的量子相變并且解析地確定相應(yīng)的相界邊界,我們將在光學(xué)超晶格Bose-Hubbard哈密頓量中加入外源項(xiàng)J=(JA,JB)T[30]以破壞其U(1)對(duì)稱性,即

(7)

并將躍遷項(xiàng)和外源項(xiàng)同時(shí)視作微擾[11]。很顯然,系統(tǒng)基態(tài)的能量必可寫成躍遷振幅t和外源強(qiáng)度J(J?)的泰勒級(jí)數(shù)展開。由于系統(tǒng)的基態(tài)的局域性,系統(tǒng)自由能表達(dá)式中的J,J?必須成對(duì)出現(xiàn)?；谝陨系姆治?我們就可以寫出自由能的展開表達(dá)式為

F(J?,J,t)=Ns[F0(t)+J?C2(t)J+J?J?C4(t)JJ+…],

(8)

其中

(9)

且

(10)

Ns表示總格點(diǎn)數(shù)。定義超流序參量為[30,36-37]

(11)

不難看出,序參量Ψ和外源J之間滿足以下關(guān)系式

(12)

其中i∈A,B。據(jù)此對(duì)式(8)中的自由能做Legendre變換

Γ(Ψ,Ψ?,t)=F/Ns-Ψ?J-ΨJ?+…,

(13)

就得到了系統(tǒng)的有效勢(shì)

Γ(Ψ,Ψ?,t)=F0(t)-Ψ?A2(t)Ψ+… .

(14)

我們看到,這個(gè)有效勢(shì)的形式正是朗道φ4-理論的形式。

從以上Legendre變換式,我們看到

(15)

這說明沒有外源的實(shí)際體系中的超流序參量對(duì)應(yīng)于上面有效勢(shì)的極小值點(diǎn)。當(dāng)有效勢(shì)極小值點(diǎn)出現(xiàn)在超流序參量Ψ=0處,則體系處于局域態(tài)(MI/DW),而當(dāng)有效勢(shì)極小值點(diǎn)出現(xiàn)在非零超流序參量處時(shí),體系則處于超流態(tài)。根據(jù)朗道的二級(jí)相變理論,其間的相變點(diǎn)就發(fā)生在DetA2(t)=0處。由上面的計(jì)算可知A2和C2互為逆矩陣,也即體系量子相變相界由1/Det|C2(t)|=0來確定。我們知道,

(16)

因此,尋求相變點(diǎn)就是在尋求以上冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。于是我們就得到了相界方程的n-階微擾計(jì)算結(jié)果

(17)

3 過程鏈算法及相圖計(jì)算

(18)

而

(19)

將體系的能量修正改寫成

(20)

對(duì)于αl的限制條件為

(21)

式中

(22)

由于本征態(tài)間的正交性,所以

(23)

從上面可以知道{αl}中至少有兩個(gè)值為0,考慮到求跡中算符的輪轉(zhuǎn)對(duì)易性,把其中的一個(gè)α為0的Sα移到式(20)的最左邊,此時(shí)當(dāng)αn+1≠0時(shí),可以證明能量的修正為0,所以我們總是可以得到一個(gè)兩端α均為0的加藤表示形式

(24)

將S0的表達(dá)式代入,有

(25)

(26)

觀察上式可以發(fā)現(xiàn)每一種{αl}的組合都代表著一個(gè)從基態(tài)|m〉出發(fā),經(jīng)過若干不同的中間態(tài)然后回到基態(tài)的過程,為了表示方便,我們用{αl}的序列來代替上式求和中的項(xiàng)

(α1α2…αn-1)=〈m|VSα1VSα2…Sαn-1V|m〉,

(27)

這些項(xiàng)稱為加藤項(xiàng),不同的數(shù)字序列的排列對(duì)應(yīng)著不同的加藤項(xiàng)[14]。

式(27)中每一個(gè)αl都可以取0～(n-1)中的任意值,遍歷所有可能的αl的取值我們就能得到所有的加藤表示?？紤]到式(23)的限制,其實(shí)可以在遍歷的時(shí)候增加下面的條件,去掉對(duì)能量修正無貢獻(xiàn)的部分:①若數(shù)字序列的兩端一端為零一端不為零,則根據(jù)式(23),這一項(xiàng)的能量修正為零,可以舍棄;②若數(shù)字序列的兩端均為零,這一項(xiàng)的能量可以直接保留;③若數(shù)字序列的兩端均不為零,根據(jù)式(23),利用輪轉(zhuǎn)對(duì)易性對(duì)數(shù)字序列進(jìn)行整理,若在整理過程中出現(xiàn)一端為零的情況,則把含零的項(xiàng)按(22)式進(jìn)行展開。這樣我們就最終得到了首尾兩端均為零的數(shù)字序列,分別用左括號(hào)和右括號(hào)代替首尾兩端的零得到了所有能量修正不為零的加藤項(xiàng)。當(dāng)然,為了簡(jiǎn)化計(jì)算,我們需要將相同能量修正的加藤項(xiàng)進(jìn)行合并,最后保留不同能量修正的加藤項(xiàng)以及它的權(quán)重。

如何找出能量修正相同的加藤項(xiàng)并對(duì)他們進(jìn)行合并?首先找到加藤項(xiàng)中所有的0,將0變?yōu)椤?)(”,這樣每一個(gè)括號(hào)內(nèi)的部分就變成了所謂的基本矩陣元[14],將這些基本矩陣元按包含元素?cái)?shù)目從小到大進(jìn)行排序,然后比較相等元素?cái)?shù)目的基本矩陣元的每一個(gè)元素的數(shù)值大小,同樣按從小到大進(jìn)行排序,這樣我們就在不改變其對(duì)應(yīng)的能量修正的前提下對(duì)加藤項(xiàng)的形式做了轉(zhuǎn)換,從而有助于我們能尋找相同能量修正的加藤項(xiàng)。以加藤項(xiàng)(02031021)和(20021031)為例來展示這種變換:

(0,2,0,3,1,0,2,1)=-()(2)(3,1)(2,1)=-()(2)(2,1)(3,1)=(02021031),

(28)

(2,0,0,2,1,0,3,1)=-(2)()(2,1)(3,1)=-()(2)(2,1)(3,1)=(02021031).

(29)

保留完每個(gè)加藤項(xiàng)的最簡(jiǎn)形式,接下來對(duì)相同形式的加藤項(xiàng)進(jìn)行合并計(jì)算權(quán)重。所有的計(jì)算過程均可以數(shù)值化進(jìn)行計(jì)算,而且由于我們并沒有對(duì)體系的性質(zhì)做過多的限制,所以最簡(jiǎn)的加藤項(xiàng)一旦生成,可以適用所有的微擾計(jì)算。我們以四階微擾為例再來完整地演示整個(gè)加藤項(xiàng)的生成及化簡(jiǎn)過程,見表1。

加藤項(xiàng)其實(shí)就是從基態(tài)出發(fā)經(jīng)過一系列中間態(tài)然后又回到基態(tài)的過程。具體地來說,對(duì)于我們的問題,加藤項(xiàng)包含在任一格點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)粒子、一個(gè)格點(diǎn)上消滅一個(gè)粒子以及連接這兩格點(diǎn)間的最近鄰躍遷。這些步驟的排列并不唯一，但要保證最后一步結(jié)束后系統(tǒng)恢復(fù)到原初非微擾態(tài)。每一個(gè)算符排列就代表一個(gè)微擾過程,稱為過程鏈(process chain)[14],而加藤項(xiàng)就是這些相應(yīng)的過程鏈的和。

過程鏈算法的基本思路是:將相關(guān)過程數(shù)字化以方便我們利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行編程,然后考慮系統(tǒng)的對(duì)稱性對(duì)躍遷圖進(jìn)行簡(jiǎn)化,保留剩余的躍遷圖及其相應(yīng)的權(quán)重。對(duì)于一個(gè)確定的躍遷圖,需要考慮其包含的所有算符的排列,不同算符的排列對(duì)應(yīng)著不同的加藤項(xiàng),將算符的排列與加藤項(xiàng)一一對(duì)應(yīng)然后對(duì)所有的排列求和就得到了該躍遷圖相應(yīng)的能量修正。

表1 四階加藤項(xiàng)的生成和簡(jiǎn)化

我們可以如下進(jìn)行過程的數(shù)字化:用0,1,2,3四個(gè)數(shù)字來標(biāo)記右,上,左,下四個(gè)躍遷過程。任意選擇躍遷的起始點(diǎn)表示外源的流入,因?yàn)橄到y(tǒng)最終要恢復(fù)到初始狀態(tài),所以躍遷箭頭的終點(diǎn)即為外源的流出點(diǎn),這樣我們只需考慮中間的躍遷過程并將每一步躍遷過程用相應(yīng)的數(shù)字標(biāo)出,即完成了對(duì)一個(gè)過程的數(shù)字化描述。(注意,這里的數(shù)字序列與之前所講的加藤項(xiàng)的數(shù)字表示毫不相干,請(qǐng)注意不要造成混淆。)例如,如圖3所示的過程就可由(03120)來表示。觀察該數(shù)字序列不難發(fā)現(xiàn),為了生成所有的數(shù)字序列,我們可以按照數(shù)值從小到大,一位位地向上遞增的方式得到所有可能的躍遷圖,然而不同的數(shù)字序列可能會(huì)表示相同的躍遷圖(這里是指不考慮算符的排列,單單從形式來看)。對(duì)于圖3,我們既可以用(03120)來表示,也可以用(02031)來表示,而我們最終只需要其中的一個(gè),不然將會(huì)造成重復(fù)計(jì)算,所以當(dāng)如上得到所有躍遷圖的數(shù)字序列之后,還需對(duì)這些表示做篩選處理,保留每一個(gè)圖對(duì)應(yīng)的其最小表示。

Fig.3 Different number order represent the same hopping graph圖3 不同數(shù)字序列(03120或02031)代表相同的躍遷圖

何謂最小表示[14]?仍以圖3為例,可以看到從初始點(diǎn)出發(fā),只有一種選擇向右(標(biāo)記為0),然后就要面臨兩種選擇:向上(標(biāo)記為3)或者向左(標(biāo)記為2),人為地,我們選取數(shù)值小的路徑,向左移動(dòng)回到初始點(diǎn)(標(biāo)記為2),然后向右移動(dòng)(標(biāo)記為0),之后向上(標(biāo)記為3),最后向下(標(biāo)記為1)。這樣就得到了這個(gè)圖所謂的最小表示(02031),而(03120)這一項(xiàng)將會(huì)被扔掉。

然而,即使去掉了所有重復(fù)的躍遷圖,留下的最小表示的躍遷圖的數(shù)目依然十分龐大,計(jì)算的效率依然很低,需要我們進(jìn)一步從這些躍遷圖中找出對(duì)能量修正貢獻(xiàn)相同的部分進(jìn)行合并,保留其中的一項(xiàng)并統(tǒng)計(jì)相同圖的數(shù)目作為該圖的權(quán)重予以保留。首先我們考慮躍遷圖的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,從任一躍遷圖出發(fā),利用點(diǎn)群的D4對(duì)稱性對(duì)其進(jìn)行操作,將操作之后的結(jié)果做最小表示后與剩下的躍遷圖進(jìn)行比對(duì),若是發(fā)現(xiàn)相同的圖,則在剩余的結(jié)果中去掉這一圖,原圖的單圖重復(fù)次數(shù)增加一,在完成所有的變換后,根據(jù)群論中的拉格朗日定理,得到我們權(quán)重的計(jì)算公式:權(quán)重=變換次數(shù)/單圖重復(fù)次數(shù),可以證明這一權(quán)重必為整數(shù)。

進(jìn)一步的研究中我們發(fā)現(xiàn),還存在著這樣的一些躍遷圖:它們的數(shù)字序列并不相同,旋轉(zhuǎn)對(duì)稱也不重復(fù),但是卻對(duì)能量修正有著同樣的貢獻(xiàn),如圖4所示。

Fig.4 Topological invariance of hopping graph括號(hào)表示格點(diǎn)坐標(biāo),數(shù)字代表拓?fù)湫蛄?兩個(gè)躍遷的拓?fù)湫蛄芯鶠?2345圖4 躍遷圖的拓?fù)洳蛔冃?/p>

將這一情況定義為躍遷圖的拓?fù)洳蛔冃?我們可以根據(jù)這一特性對(duì)躍遷圖的數(shù)目做進(jìn)一步的化簡(jiǎn)。需要說明的是,這一部分所有的簡(jiǎn)化操作都是為了提高我們的計(jì)算效率,并不要求最為精簡(jiǎn)的算法,也不會(huì)對(duì)我們的能量修正的值造成任何影響?？紤]到拓?fù)洳僮鞯奶厥庑?我們對(duì)躍遷過程中經(jīng)過的格點(diǎn)按從小到大的數(shù)字進(jìn)行標(biāo)記,重復(fù)的格點(diǎn)不賦予新的標(biāo)記值。我們可以看到這兩個(gè)對(duì)能量修正具有相同貢獻(xiàn)的躍遷圖擁有完全相同的拓?fù)湫蛄小?/p>

通過以上操作,我們就能夠挑出所有不同的躍遷圖像并確定出它們的權(quán)重值,接下來只需將躍遷圖與加藤項(xiàng)相對(duì)應(yīng)便可以得到數(shù)值解。需要說明的是,每一個(gè)躍遷圖中都包含著若干的算符,而這些算符的作用順序可以是任意的,這就要求我們?cè)诰唧w的計(jì)算中要對(duì)所有的算符進(jìn)行全排列,針對(duì)每一種全排列的結(jié)果,找出與之相匹配的加藤項(xiàng),然后將這些結(jié)果全部相加才是一副躍遷圖完整的能量修正結(jié)果。

Fig.5 Full-size 2nd-6th order phase transition diagram of an ultracold Bose system in a square superlattice(綠色、黃色、藍(lán)色分別表示2、4、6階的計(jì)算結(jié)果),相界之下區(qū)域表示不同的MI態(tài)/DW態(tài),之上為超流態(tài)圖5 正方光學(xué)超晶格中超冷玻色系統(tǒng)的全尺寸2～6階相變圖像

Fig.6 (a)Logarithm of versus the order n in different cases;(b)Extrapolation scheme for determining the phase boundary:tc are plotted versus 1/n,and extrapolated linearly to 1/n=0圖關(guān)于階數(shù)n的線性關(guān)系曲線;(b)相界tc關(guān)于1/n的線性擬合結(jié)果,將曲線外推到1/n=0處得到無窮階時(shí)的相界值

Fig.7 Full-size infinite order phase transition diagram of an ultracold Bose system in a square superlattice相界之下區(qū)域表示不同的MI態(tài)/DW態(tài),之上為超流態(tài)圖7 外推到無窮階微擾極限下正方光學(xué)超晶格中超冷玻色系統(tǒng)的全域相圖

4 結(jié)論

文章通過分析正方光學(xué)超晶格中超冷玻色子體系的非微擾哈密頓量基態(tài)分布圖像,很直觀地得到了不同參數(shù)區(qū)間下玻色子體系所處的相,該體系在μ和Δμ的不同區(qū)域分別處于莫特絕緣態(tài)或密度波態(tài)。在此基礎(chǔ)上,利用推廣的有效勢(shì)方法,得到了體系從莫特絕緣態(tài)/密度波態(tài)到超流態(tài)的相界曲線方程,并利用瑞利-薛定諤微擾論的加藤表示,借助于過程鏈的計(jì)算方法,得到了體系超出平均場(chǎng)的高階微擾下的全域相圖?；谒玫降母唠A微擾結(jié)果,利用線性擬合外推技術(shù),我們進(jìn)一步得到了無窮階微擾下的系統(tǒng)全域相圖。雖然目前還沒有相關(guān)的蒙特卡洛數(shù)值結(jié)果可以對(duì)比,但從過往對(duì)其他系統(tǒng)研究的結(jié)果以及上述的整個(gè)計(jì)算過程看,我們有理由相信,我們的結(jié)果有相當(dāng)?shù)木_度，可為后續(xù)的對(duì)該系統(tǒng)的蒙特卡洛數(shù)值研究及相關(guān)實(shí)驗(yàn)提供參考。