高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)變換之我見

摘 要：三角函數(shù)知識是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，相關(guān)的題目求解讓很多學(xué)生如墜霧中，極大地削弱了我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信。筆者在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，對此類問題進(jìn)行了粗淺的總結(jié)，現(xiàn)和大家分享。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；變換策略

三角函數(shù)屬于高中數(shù)學(xué)中的關(guān)鍵內(nèi)容，因三角變換靈活多樣、種類繁多，學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握起來較為困難，很多學(xué)生面對此類題目一籌莫展。不過三角變換并非無規(guī)律可循，我們在學(xué)習(xí)此類知識的過程中，要不斷總結(jié)方法，掌握變換的基本規(guī)律，遇到難度較大的題目時(shí)，能夠采用恰當(dāng)?shù)慕忸}方式與基本公式，將復(fù)雜的高難度問題轉(zhuǎn)變成簡單的基礎(chǔ)性題型，從而實(shí)現(xiàn)合理變換，提高解題效率。

一、 函數(shù)名稱相互變換，簡化明確解題思路

例如，已知2sin2α+sin2α1+tanα=k，（π4<α<π2），嘗試用k表示sinα-cosα的值。分析：該題目中出現(xiàn)不同名稱的三角函數(shù)，這就需要將不同名稱的三角函數(shù)化為相同名稱的三角函數(shù)，將已知條件中的“切函數(shù)”變換成“弦函數(shù)”，即為tanα轉(zhuǎn)換成sinα、cosα的等式。解答：根據(jù)2sin2α+sin2α1+tanα=2sinα（sinα+cosα）1+sinαcosα=2sinαcosα=k；由于π4<α<π2，得到sinα>cosα，那么sinα-cosα=（sinαcosα）2=1-2sinαcosα=1-k。再如：已知tanx=2，求sinx和cosx的值。分析：這是一道典型的函數(shù)名稱變換題，題目中的已知條件是切函數(shù)，未知條件是弦函數(shù)，只有將切函數(shù)變換成弦函數(shù)，實(shí)現(xiàn)函數(shù)名稱的統(tǒng)一，才能夠找準(zhǔn)解題切入點(diǎn)，解題思路先變換，再結(jié)合三角函數(shù)公式建立方程組進(jìn)行求解。解答：由于tanx=sinxcosx=2①，又因?yàn)閟in2x+cos2x=1②，將兩者聯(lián)立起來形成一個(gè)方程組，解得sinx=255cosx=55，sinx=-255cosx=-55。

函數(shù)名稱的變換主要依據(jù)是同角三角函數(shù)關(guān)系式或誘導(dǎo)公式，通過轉(zhuǎn)換將題目中的條件變成名稱相同的函數(shù)，達(dá)到輕松求解問題的目的。

二、 角度之間等量變換，借助拼角拆角解題

在高中數(shù)學(xué)課程中，三角函數(shù)既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，在計(jì)算相關(guān)問題時(shí)，我們一定要理清題目中已知角與未知角之間的相互關(guān)系，利用角度之間的等量關(guān)系進(jìn)行變換，從而形成正確的解題思路。因此，在平常學(xué)習(xí)中，應(yīng)當(dāng)結(jié)合實(shí)際題目根據(jù)角度之間的等量關(guān)系來變換，在不斷實(shí)踐中靈活運(yùn)用拼角、拆角的方式來分析題目，找到新的解題切入點(diǎn)，弄清題目中各個(gè)角度之間的關(guān)系，最終有效解決三角函數(shù)問題，增強(qiáng)解題自信，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。

例如，已知α是第三象限的角，cos2α=-35，那么tan（π4+2α）是值是多少？解析：本題主要考查同角三角函數(shù)的關(guān)系。解答：因?yàn)棣潦堑谌笙薜慕?，得?kπ+π<α<2kπ+32π，4kπ+2π<2α<4kπ+3π（k∈Z）。又因?yàn)閏os2α=-35<0，則sin2α=45，tan2α=sin2αcos2α=-35÷45=-43。tan（π4+2α）=tanπ4+tan2α1-tanπ4×tan2α=1-431+43=-1373=-17。又如：若函數(shù)y=Asin（αx+β）（α>0，β>0）的圖像一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，2），它到其相鄰的最低點(diǎn)之間的圖像與x軸交于點(diǎn)（6，0），求該函數(shù)的解析式。解答：根據(jù)最高點(diǎn)的坐標(biāo)（2，2），得到A=2，最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間隔是半個(gè)周期，從而與x軸交點(diǎn)的間隔是14個(gè)周期，從而求得T4=4，則T=16，所以α=π8，根據(jù)2=2sin（π8×2+β），得到β=π4，那么函數(shù)解析式為y=2sin（π8x+π4）。

雖然上述案例中的兩道題目所考察的側(cè)重點(diǎn)不同，不過都需要靈活運(yùn)用二倍角公式，只要我們掌握角度之間的等量變換關(guān)系就能夠輕松解題，再通過拼角或拆角快速求出答案，可謂事半功倍，便捷快速。

三、 公式之間逆用變用，讓求解過程變得簡單

在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，大家要將常用的三角函數(shù)公式整合起來開展專題訓(xùn)練，在訓(xùn)練中學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用公式進(jìn)行求值、化簡、證明等，像2cos2x=1+cos2x、2sin2x=1-cos2x等，促使自己不斷發(fā)現(xiàn)新的突破口。

比如，求（3tan12°-3）cos12°4cos212°-2的值。分析：先觀看題目中的各個(gè)角，發(fā)現(xiàn)都是12°，載再觀察函數(shù)名，需要先切割化弦，然后再化簡過程中再思考怎么變換。解答：原式通過切割化弦變換成（3sin12°cos12°-3）×112°4cos12°-2=3sin12°-3cos12°2sin12°cos12°（2cos212°-1），此時(shí)逆用二倍角公式，原式=23（12sin12°-32cos12°）sin24°cos24°，利用常數(shù)變換為23（sin12°cos60°-cos12°sin60°）sin24°cos24°，逆用差角公式變換成43sin（12°-60°）2sin24°cos24°，繼續(xù)逆用二倍角公式得到43sin（-48°）sin48°=-43。再如：化簡下列各式：（1）32cos15°-12cos75°；（2）tan19°+tan41°+3tan219°tan41°。分析：（1）考慮到題目中32、12所對應(yīng)的角是特殊角，需逆用差角的正弦公式；（2）對tan（19°+41°）變形即可化簡。解答：（1）原式=sin260°cos15°-cos260°sin15°=sin（60°-15°）=sin45°=22；（2）由于tan（19°+41°）=tan19°+tan41°1-tan19°tan41°，得到33=（1-tan219°tan41°）=tan19°+tan41°，原式=3。

逆用公式有時(shí)可以極大地簡化問題的求解，但公式逆用起來較為困難，我們要有逆用公式的意識，通過變通形式開拓解題思路，優(yōu)化解題過程。

總之，對于高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)變換，無論解題方式還是題目都需要遵循由難到易、由繁到簡的基本原則。我們要在教師的指導(dǎo)下掌握牢固三角函數(shù)中的公式、原理、概念等，根據(jù)題目隨機(jī)應(yīng)變，選擇合適的變換方式，最終快速、正確地求得答案，真正提升我們的解題效率。

作者簡介：

周睿，江蘇省宿遷市，江蘇省沭陽高級中學(xué)高二（302）班。