基于反常擴(kuò)散模型的頁巖氣藏壓裂水平井產(chǎn)能研究

李勇明，吳 磊，陳 希

（西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610500）

隨著我國油氣資源形勢的日益嚴(yán)峻，頁巖氣等非常規(guī)天然氣資源的開發(fā)成為熱點(diǎn)，而我國海相頁巖氣儲層分布范圍廣、可采儲量大，已成為我國天然氣工業(yè)增儲上產(chǎn)的關(guān)鍵[1-4]。但頁巖儲層具有低孔、基質(zhì)滲透率低、致密等物性特征，生產(chǎn)過程中往往伴隨著吸附解吸、擴(kuò)散以及多尺度介質(zhì)中的流動[5-6]，常規(guī)的產(chǎn)能模擬方法不能準(zhǔn)確模擬頁巖氣藏生產(chǎn)時壓力、流量的變化動態(tài)。國內(nèi)外學(xué)者針對這個問題展開了大量研究，Al—Ahmadi等[7]建立了三重孔隙雙裂縫模型，模擬天然裂縫性頁巖氣藏的瞬時壓力、流量變化，但并沒有研究擴(kuò)散作用對產(chǎn)能的貢獻(xiàn)；Ezulike等[8]建立了基質(zhì)向天然裂縫和水力裂縫同時供氣的多級壓裂頁巖氣井產(chǎn)能模型，但忽略了氣體的解吸和擴(kuò)散的影響；Tian等[9]完善了Ezulike等建立的產(chǎn)能模型，考慮了基質(zhì)中氣體解吸和擴(kuò)散作用，但只描述了天然微裂縫和水力裂縫間的擴(kuò)散機(jī)理，沒有考慮天然微裂縫在整個生產(chǎn)過程中的影響；Thorstenson等[10]研究了關(guān)于Fick 擴(kuò)散定律描述多孔介質(zhì)中的氣體擴(kuò)散行為；田冷等[11]考慮頁巖氣解吸、擴(kuò)散等滲流機(jī)理，建立了頁巖氣藏多級壓裂水平井產(chǎn)能模型。由于頁巖儲層超低孔、低滲特征，并且天然裂縫多發(fā)育，實(shí)際生產(chǎn)多采用水平井分段壓裂及體積壓裂技術(shù)，達(dá)到溝通天然微裂縫及增加縫網(wǎng)復(fù)雜度的目的[12-13]，這使得天然裂縫性頁巖氣藏表現(xiàn)出多種非均質(zhì)性，使孔隙形狀、結(jié)構(gòu)表面、滲流路徑具有分形的特征，滲流行為復(fù)雜反常，而分形結(jié)構(gòu)復(fù)雜介質(zhì)中的流體滲流不再符合經(jīng)典的達(dá)西規(guī)律[14-17]，常規(guī)多孔介質(zhì)流動模型不再適合天然裂縫性頁巖氣藏。因此，將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)反常擴(kuò)散方程模型引入到頁巖氣壓裂水平井三孔隙三線性流模型，推導(dǎo)出更加符合多級壓裂頁巖氣藏滲流特征的復(fù)合模型，通過拉普拉斯變換求出模型的解，再通過Stehfest 數(shù)值反演得到了多級壓裂頁巖氣水平井無因次產(chǎn)量，根據(jù)產(chǎn)量遞減曲線特征劃分了儲層流動階段，并研究了頁巖氣產(chǎn)能的影響因素。

1 反常擴(kuò)散模型

相比于常規(guī)儲層，頁巖氣藏在氣體賦存狀態(tài)、滲流孔隙及機(jī)理等方面具有較大差異，往往表現(xiàn)出多種非均質(zhì)性，如具有人工裂縫、天然微裂縫、宏觀孔隙、微納米孔隙以及有機(jī)質(zhì)體等，致使均勻介質(zhì)假說在一般條件下是不成立的，而且由于孔隙尺度的突變和基質(zhì)與裂縫性質(zhì)的顯著差異，使頁巖氣藏中速度場表現(xiàn)出急劇的不連續(xù)性和無規(guī)則性，這些非均勻的速度場不能用達(dá)西定律表征，因而采用反常擴(kuò)散模型來表征[18]。

基于分形多孔介質(zhì)中時間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程模型，利用時間分?jǐn)?shù)階達(dá)西方程描述裂縫性頁巖氣藏中流體滲流[19-21]：

式中：α 為反常擴(kuò)散指數(shù)，且0 ≤α ≤1。

當(dāng)α=1時，式（1）變?yōu)榻?jīng)典的達(dá)西方程：

根據(jù)Caputo等人[22]的研究，時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的計算利用下式進(jìn)行：

式中：n表示時間階數(shù)。

2 頁巖氣藏壓裂水平井產(chǎn)能模型

2.1 物理模型及假設(shè)條件

假設(shè)有一封閉矩形頁巖氣藏，氣藏厚度為h，氣藏寬度為2wF，氣藏長度與水平井段長度相同且都為L，一水平井位于矩形氣藏中心位置且定壓生產(chǎn)。圖1所示為多級壓裂頁巖氣水平井物理模型，模型考慮了三種介質(zhì)：人工裂縫、天然裂縫和基質(zhì)，人工裂縫的間距為LF，天然裂縫的間距為Lf。為了便于求解，對模型做出如下的假設(shè)：①氣體流動是三線性流，首先從基質(zhì)流向天然裂縫，再由天然裂縫流向人工裂縫，最后由人工裂縫流向水平井筒直至被采出；②頁巖基質(zhì)中同時存在自由氣與吸附氣，氣體的解吸用Langmuir 等溫吸附方程描述；③氣體流動過程中不考慮滑脫效應(yīng)；④水平井壓裂后水力裂縫方向與水平井筒垂直，且等間距、等長度分布。

圖1 頁巖氣藏壓裂水平井物理模型Fig.1 Physical model of fractured horizontal well in shale gas reservoir

2.2 產(chǎn)能公式推導(dǎo)

為了方便推導(dǎo)和獲得無因次產(chǎn)量，定義各無因次變量如下：

2.2.1 基質(zhì)滲流數(shù)學(xué)模型

在基質(zhì)區(qū)利用時間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程表征頁巖氣的產(chǎn)出，氣體解吸附采用Langmuir 等溫吸附方程表征，并考慮頁巖基質(zhì)的壓縮性，根據(jù)上述特征，建立頁巖基質(zhì)滲流微分方程如下所示：

定義氣體擬壓力：

式（6）中：

將基本微分方程、初始條件和邊界條件無因次化，然后進(jìn)行拉普拉斯變換得：

式（7）中：

2.2.2 天然裂縫滲流數(shù)學(xué)模型

假設(shè)在相鄰兩條水力主裂縫中間存在著一個不滲透邊界，天然裂縫中的氣體滲流用時間分?jǐn)?shù)階達(dá)西方程表征，則建立天然裂縫中流動連續(xù)性方程為：

式中：qmf是頁巖基質(zhì)向天然裂縫系統(tǒng)的竄流量，且

再將基本微分方程、初始條件和邊界條件無因次化，然后進(jìn)行拉普拉斯變換得：

式中：

2.2.3 人工裂縫滲流模型

人工裂縫中氣體滲流用時間分?jǐn)?shù)階滲流方程表征，建立連續(xù)性微分方程為：

式中：qFf是天然裂縫向人工裂縫系統(tǒng)的竄流量，且

再將擬壓力形式基本微分方程、初始條件和邊界條件無因次化，然后進(jìn)行拉普拉斯變換得：

2.3 產(chǎn)能模型求解

首先，由頁巖基質(zhì)的微分方程和邊界、初始條件進(jìn)行求解，可得頁巖基質(zhì)擬壓力拉氏空間解：

然后，由天然裂縫的滲流微分方程和邊界、初始條件，結(jié)合式（14），求出天然裂縫擬壓力拉氏空間解：

式中：

最后再將天然裂縫的擬壓力拉氏空間解代入到人工裂縫的滲流方程中，結(jié)合初始、邊界條件，得到人工裂縫擬壓力拉氏空間解為：

式中：

基于時間分?jǐn)?shù)階的達(dá)西方程，可得到井筒流量為：

將上式進(jìn)行無因次化得：

式中：

再將無因次化的井筒流量變換到拉普拉斯空間，并結(jié)合人工裂縫擬壓力拉氏空間的解，得到井筒流量在拉普拉斯空間的解為：

將拉氏空間的井筒流量轉(zhuǎn)換為指數(shù)形式為：

根據(jù)式（22）計算可以得到拉氏空間中的井筒無因次流量，然后再通過Stehfest 數(shù)值反演[23-24]，得到實(shí)時域空間的無因次產(chǎn)量。

3 實(shí)例計算與分析

某頁巖氣藏的基本參數(shù)如表1所示，應(yīng)用建立的產(chǎn)能模型進(jìn)行求解，得到無因次產(chǎn)量和無因次時間雙對數(shù)特征曲線（圖2）。

根據(jù)表1 參數(shù)計算并繪制出多級壓裂頁巖氣藏的無因次產(chǎn)能特征曲線，如圖2所示。

表1 某頁巖氣藏基本參數(shù)Table 1 Parameters of shale gas reservoir

圖2 頁巖氣藏壓裂水平井無因次產(chǎn)能曲線及流動階段劃分Fig.2 Dimensionless gas productivity curve of fractured horizontal well in shale gas reservoir and different flow phases

從圖2可得出，根據(jù)不同時段對產(chǎn)能占主導(dǎo)地位的儲層滲流特征，頁巖氣藏壓裂水平井無因次產(chǎn)能曲線可以劃分為五個階段：

Ⅰ：第一階段主要為人工水力裂縫的線性流階段，持續(xù)時間較長；

Ⅱ：第二階段主要為人工裂縫和天然裂縫的雙線性流階段，天然裂縫開始向水力裂縫供氣，出現(xiàn)天然裂縫向水力裂縫的竄流作用；

Ⅲ：第三階段主要為天然裂縫的線性流階段，持續(xù)時間較短；

Ⅳ：第四階段為天然裂縫和基質(zhì)的雙線性流階段，頁巖基質(zhì)開始向天然裂縫供氣，出現(xiàn)基質(zhì)向天然裂縫的竄流作用；

Ⅴ：第五階段主要為頁巖基質(zhì)的線性流階段，持續(xù)時間最長，對氣藏生產(chǎn)后期的貢獻(xiàn)很大。

3.1 反常擴(kuò)散指數(shù)的影響

對頁巖基質(zhì)的反常擴(kuò)散指數(shù)αm分別取0.3，0.6，1，得到如圖3 所示的多級壓裂頁巖氣藏?zé)o因次產(chǎn)能特征曲線。

圖3 頁巖基質(zhì)的擴(kuò)散指數(shù)對產(chǎn)能的影響Fig.3 Effect of shale matrix diffusion exponent on the gas productivity

從圖3 可得出：頁巖基質(zhì)的反常擴(kuò)散指數(shù)αm對產(chǎn)能曲線有顯著的影響，主要影響基質(zhì)的線性流階段，擴(kuò)散指數(shù)越大，曲線的斜率越小，頁巖氣藏的產(chǎn)能降低幅度顯著減小。這是由于αm=1 時，儲層滲流為達(dá)西流動，當(dāng)αm＜1 時，頁巖基質(zhì)非均質(zhì)性越強(qiáng)，流體滲流不連續(xù)性和不規(guī)則性越強(qiáng)，流體流動越偏離達(dá)西流動，導(dǎo)致氣藏產(chǎn)量遞減顯著。

3.2 擬滲透率的影響

當(dāng)反常擴(kuò)散指數(shù)值都為0.9時，分別取天然裂縫的擬滲透率kαf為0.01×10-3μm2·d0.1、0.1×10-3μm2·d0.1、1×10-3μm2·d0.1；人工裂縫的擬滲透率kαF為50×10-3μm2·d0.1、500×10-3μm2·d0.1、5 000×10-3μm2·d0.1，得到如圖4、圖5所示的頁巖氣藏?zé)o因次產(chǎn)能曲線。

從圖4 可得出：天然裂縫的擬滲透率kαf主要影響天然裂縫線性流時期和基質(zhì)與天然裂縫雙線性流時期的產(chǎn)能，kαf越大，天然裂縫線性流持續(xù)時間顯著減少，基質(zhì)向天然裂縫供氣階段會提前發(fā)生，而且基質(zhì)線性流持續(xù)時間增加；由此可見，天然裂縫對頁巖產(chǎn)能有顯著的貢獻(xiàn)。

圖4 天然裂縫的擬滲透率對產(chǎn)能的影響Fig.4 Effect of natural fracture pseudo-permeability on the gas productivity

從圖5可得出：人工裂縫擬滲透率kαF主要影響產(chǎn)能曲線的中后期，其中對天然裂縫線性流期和基質(zhì)線性流期影響較大，當(dāng)kαF較小，在人工裂縫和天然裂縫雙線性流時期，頁巖氣藏產(chǎn)能降低幅度減小，且天然裂縫線性流持續(xù)時間顯著減少，基質(zhì)向天然裂縫供氣提前發(fā)生，而且后期頁巖基質(zhì)能夠維持較長時間的線性流階段。人工裂縫的擬滲透率對多級壓裂頁巖氣藏的產(chǎn)能具有重要的作用。

3.3 儲容比的影響

圖5 人工裂縫的擬滲透率對產(chǎn)能的影響Fig.5 Effect of hydraulic fracture pseudo-permeability on the gas productivity

模型中考慮了人工水力裂縫、天然裂縫，為了能夠直觀分析兩種介質(zhì)的彈性儲容比對產(chǎn)能的影響，分別對水力裂縫的彈性儲容比ωF取0.01，0.03，0.07；天然裂縫的彈性儲容比ωF取0.01，0.03，0.07，得到如圖6a、圖6b所示頁巖氣儲層無因次產(chǎn)能特征曲線。

從圖6a可以看出：水力裂縫彈性儲容比ωF主要影響頁巖氣藏生產(chǎn)過程的早期，且儲容比越大，頁巖氣藏的無因次產(chǎn)量越高，早期水力裂縫的線性流時間也越長，天然裂縫向水力裂縫竄流到來的時間也越晚；但水力裂縫的彈性儲容比增大到一定程度時，頁巖氣藏產(chǎn)量增加幅度減小。

從圖6b可以看出：天然裂縫的彈性儲容比ωf主要影響頁巖氣藏生產(chǎn)過程的中期，即天然裂縫線性流期和頁巖基質(zhì)向天然裂縫的竄流期，當(dāng)天然裂縫的彈性儲容比ωf較大時，氣藏的產(chǎn)量越高，天然裂縫線性流持續(xù)的時間也越長，基質(zhì)向天然裂縫竄流發(fā)生的時間也越晚，這說明了頁巖氣藏壓裂過程中應(yīng)該形成復(fù)雜的裂縫系統(tǒng)，打開天然裂縫，增加天然裂縫的儲容比，提高天然裂縫線性流時間，增加頁巖氣井的產(chǎn)量。

圖6 儲容比對產(chǎn)能的影響Fig.6 Effect of storability ratio on the gas productivity

3.4 竄流作用的影響

氣藏在生產(chǎn)過程中會發(fā)生氣體從天然裂縫向人工裂縫的竄流階段，為了分析竄流作用對產(chǎn)能的影響，取天然裂縫向人工裂縫的竄流系數(shù)λFf為0.1，1，10；得到圖7所示的頁巖氣無因次產(chǎn)能特征曲線。

圖7 天然裂縫—人工裂縫竄流對產(chǎn)能的影響Fig.7 Effect of fluid channeling between natural fracture and hydraulic fracture on the gas productivity

從圖7可得出：天然裂縫向人工裂縫竄流作用的影響主要集中在人工裂縫和天然裂縫雙線性流時期和天然裂縫線性流時期，當(dāng)竄流系數(shù)較大時，無明顯雙線性流期，直接過渡到天然裂縫線性流時期，且天然裂縫線性流期持續(xù)時間顯著減少，基質(zhì)向天然裂縫竄流階段會明顯提前，這說明頁巖儲層中天然微裂縫通過溝通基質(zhì)與水力裂縫對產(chǎn)能產(chǎn)生很大影響。

3.5 裂縫間距的影響

為了判斷裂縫間距的大小對壓裂井產(chǎn)量的影響，分別選取15 m，30 m，45 m 三種間距進(jìn)行計算。計算結(jié)果如下圖8所示。

從圖8可以得出：水力裂縫間距主要影響生產(chǎn)的中期，在水平井筒長度一定時，裂縫間距越小，對應(yīng)的裂縫條數(shù)越多，產(chǎn)能也越大；但隨著壓力的傳播，裂縫間距越小，縫間發(fā)生壓力干擾越早，產(chǎn)量遞減也越早。所以進(jìn)行增產(chǎn)改造時，應(yīng)該優(yōu)化裂縫間距，使儲層最有效的開發(fā)。

圖8 裂縫間距對產(chǎn)能的影響Fig.8 Effect of fracture spacing on the gas productivity

4 結(jié)論

1）運(yùn)用分形多孔介質(zhì)的反常擴(kuò)散模型，推導(dǎo)了考慮天然裂縫存在的頁巖氣藏壓裂水平井產(chǎn)能模型，并利用拉氏變換和Stehfest 數(shù)值反演方法對產(chǎn)能模型進(jìn)行了求解，繪制出頁巖氣藏壓裂水平井產(chǎn)能特征曲線，并進(jìn)行了實(shí)例計算與分析。

2）根據(jù)無因次產(chǎn)能特征曲線，劃分頁巖氣藏壓裂水平井的流動階段，結(jié)果表明：考慮反常擴(kuò)散模型時，儲層有人工裂縫線性流、天然裂縫和人工裂縫雙線性流、天然裂縫線性流、基質(zhì)和天然裂縫雙線性流、基質(zhì)線性流五個流動階段。

3）反常擴(kuò)散指數(shù)越小，頁巖基質(zhì)非均質(zhì)性越強(qiáng)，滲流越偏離達(dá)西流動，產(chǎn)量遞減幅度越大；天然裂縫擬滲透率通過縮短天然裂縫線性流期持續(xù)時間，使基質(zhì)向天然裂縫供氣提前發(fā)生，對氣藏產(chǎn)能產(chǎn)生較大影響；人工裂縫擬滲透率越大，天然裂縫線性流持續(xù)時間顯著增加，基質(zhì)向天然裂縫供氣發(fā)生時間越晚。

4）人工裂縫、天然裂縫的彈性儲容比分別影響產(chǎn)能曲線的早期、中期，且儲容比越大，產(chǎn)能的增幅顯著；竄流系數(shù)越大，天然裂縫線性流期持續(xù)的時間越短，基質(zhì)向天然裂縫供氣階段越早出現(xiàn)；水力裂縫間距主要影響生產(chǎn)的中期，裂縫間距越小，水力裂縫間干擾越早出現(xiàn)，中期產(chǎn)量遞減越快。

符號說明

υi為氣體滲流速度，m/s；αi為反常擴(kuò)散指數(shù)；kαi為擬滲透率，10-3μm2·s1-α；μ為頁巖氣黏度，mPa·s；s為拉氏變量，無因次；pi為儲層壓力，MPa；t 表示時間，s；Γ 為伽馬函數(shù)；ρi為氣體密度，kg/m3；ρgsc為標(biāo)準(zhǔn)狀況下氣體密度，kg/m3；ci為壓縮系數(shù)，MPa-1；n 為時間階數(shù)；β 為有效壓縮系數(shù)，無因次；VE為氣體解吸量，m3/kg；?i為孔隙度；ψi為氣體擬壓力，MPa/s；Z 為氣體的壓縮因子，無因次；M 為頁巖氣摩爾質(zhì)量，kg/mol；R 為理想氣體常數(shù)，8.314 J/（mol·K）；T為儲層溫度，K；pL為Langmuir壓力，MPa；VL為Langmuir體積，m3/kg；ωi為彈性儲容比；?T為儲層總孔隙度；λ 為竄流系數(shù)；A為井筒泄流面積，m2；Lf為天然裂縫間距，m；cti為綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；cg為氣體壓縮系數(shù)，MPa-1；為拉氏空間無因次擬壓力；h為儲層厚度，m；L為水平井筒長度，m；cT為儲層總壓縮系數(shù)，MPa-1；tD為無因次時間；qmf為基質(zhì)向天然裂縫的竄流量，kg/（m3·s）；LF為水力裂縫間距，m；qFf為天然裂縫向水力裂縫的竄流量，kg/（m3·s）；y 為垂直于水平井筒方向的流動距離，m；wF為儲層半寬度，m；xD,yD,zD為無因次距離；Bg為氣體體積系數(shù)；psc為標(biāo)準(zhǔn)狀況下氣體壓力，MPa；Tsc為標(biāo)準(zhǔn)狀況下氣體溫度，K；q為井筒流量，m3/s；ψwf為井底擬壓力，MPa/s；qD為無因次井筒流量；為拉氏空間的無因次井筒流量。

下角標(biāo)：m代表頁巖基質(zhì)；f代表天然裂縫；F代表水力裂縫；o代表原始條件；D代表無因次屬性。