基于準(zhǔn)平衡滑翔的解析再入制導(dǎo)方法

王肖， 郭杰， 唐勝景， 祁帥

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院, 北京 100081)

0 引言

高超聲速滑翔飛行器具有速度快、機(jī)動(dòng)能力強(qiáng)、射程遠(yuǎn)、精度高等特點(diǎn)，受到世界各國的持續(xù)關(guān)注[1-2]，再入制導(dǎo)一直是其研究難點(diǎn)。再入制導(dǎo)方法分為標(biāo)準(zhǔn)軌跡制導(dǎo)和預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)兩類：標(biāo)準(zhǔn)軌跡制導(dǎo)需要離線設(shè)計(jì)飛行器的標(biāo)準(zhǔn)軌跡，并在線跟蹤標(biāo)準(zhǔn)軌跡得到制導(dǎo)指令[3]，該方法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、在線計(jì)算量小，但依賴于標(biāo)準(zhǔn)軌跡，易受擾動(dòng)影響，也不利于軌跡的在線規(guī)劃；預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)不依賴于標(biāo)準(zhǔn)軌跡，根據(jù)在線預(yù)測(cè)終端值與期望值的偏差實(shí)時(shí)校正制導(dǎo)指令，預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)對(duì)初始誤差和參數(shù)攝動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性，實(shí)時(shí)性較好。隨著再入任務(wù)對(duì)自主性、魯棒性要求的提高，預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)逐漸成為再入制導(dǎo)發(fā)展的趨勢(shì)[4]。

文獻(xiàn)[5]通過數(shù)值預(yù)測(cè)建立攻角、傾側(cè)角與縱程、橫程之間的線性關(guān)系，進(jìn)而校正控制量。文獻(xiàn)[6-10]將過程約束轉(zhuǎn)化為傾側(cè)角幅值約束，然后利用傾側(cè)角剖面預(yù)測(cè)終端待飛航程，并校正傾側(cè)角指令。文獻(xiàn)[11-12]設(shè)計(jì)了兩種分段預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)算法，利用預(yù)設(shè)航路點(diǎn)將軌跡分段預(yù)測(cè)，提高了計(jì)算效率，但該方法依賴于離線優(yōu)化，并降低了算法的自主性。文獻(xiàn)[4,13-14]設(shè)計(jì)并改進(jìn)了一種適用于各類升阻比飛行器的數(shù)值預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)算法，以航程誤差校正傾側(cè)角剖面作為基準(zhǔn)算法，輔以高度變化率反饋以滿足過程約束。然而，上述方法均屬于數(shù)值預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)，需要不斷在線數(shù)值積分，對(duì)彈載計(jì)算能力的要求較高，無法廣泛應(yīng)用。

相比之下，解析形式的預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)避免了對(duì)彈道的數(shù)值積分，計(jì)算量大幅減少，更有利于彈上實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[15]研究了零攻角條件下動(dòng)能彈頭的解析預(yù)測(cè)制導(dǎo)，但并不適用于高超聲速滑翔飛行器。文獻(xiàn)[16-17]研究了跳躍式再入返回的解析預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)，僅適用于低升阻比飛行器。文獻(xiàn)[18]將升力系數(shù)分為3個(gè)分量，實(shí)現(xiàn)了縱向運(yùn)動(dòng)方程、橫向運(yùn)動(dòng)方程和速度方程的解耦，求得了滑翔軌跡的解析解，但仍需數(shù)值積分。文獻(xiàn)[19]將過程約束轉(zhuǎn)化為高度- 速度平面內(nèi)的統(tǒng)一解析式，并給出了可重復(fù)使用運(yùn)載器的閉環(huán)解析解，但該方法本質(zhì)上屬于標(biāo)準(zhǔn)軌跡生成方法。文獻(xiàn)[20]以常值升阻比得到了傾側(cè)角和待飛航程之間的解析關(guān)系，但不能保證準(zhǔn)平衡滑翔條件，也未對(duì)終端高度進(jìn)行嚴(yán)格約束。

現(xiàn)有的預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)一般考慮終端能量和航程約束，但約束終端能量并不能嚴(yán)格約束終端高度。文獻(xiàn)[21]將攻角、傾側(cè)角作為控制量，每個(gè)制導(dǎo)周期根據(jù)終端航程、高度誤差的加權(quán)函數(shù)更新控制量剖面，有效減小了終端高度誤差，但該方法仍需數(shù)值預(yù)測(cè)軌跡，在線計(jì)算量較大。

此外，如何保證過程約束也一直是預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)的難點(diǎn)，傳統(tǒng)方法一般利用準(zhǔn)平衡滑翔條件將過程約束轉(zhuǎn)化為傾側(cè)角走廊[6,22]。然而，再入過程中準(zhǔn)平衡滑翔條件不一定嚴(yán)格成立，且實(shí)際飛行中的大氣環(huán)境擾動(dòng)和飛行器參數(shù)的不確定性也使得這種傾側(cè)角走廊的可靠性難以保證[23-24]。

基于上述分析，本文提出了一種基于準(zhǔn)平衡滑翔的解析制導(dǎo)方法。首先基于常值升阻比假設(shè)建立了再入航程與傾側(cè)角的解析關(guān)系，得到了傾側(cè)角指令。然后針對(duì)終端高度約束，利用常值航跡角假設(shè)建立了終端高度與航跡角的解析關(guān)系，得到了航跡角指令，進(jìn)而通過設(shè)計(jì)反饋控制律求得攻角指令。對(duì)于過程約束，提出了一種在線約束控制方法，將過程約束問題轉(zhuǎn)化為航跡角指令跟蹤問題。最后，通過數(shù)值仿真表明該方法計(jì)算速度快、精度較高，且較好地滿足各種約束。

1 制導(dǎo)問題描述

1.1 運(yùn)動(dòng)方程

高超聲速滑翔飛行器的三自由度運(yùn)動(dòng)方程一般以時(shí)間為自變量[3]，但由于飛行時(shí)間無法事先確定，給彈道積分造成一定困難。為此，本文引入如下能量形式的無量綱變量：

(1)

(2)

(3)

式中：λ和φ分別為地球經(jīng)度和緯度；θ為航跡角；ψ為航向角；σ為傾側(cè)角；L為無量綱升力加速度。L和D的計(jì)算公式可表示為

(4)

式中：m為飛行器質(zhì)量；S為飛行器特征面積；CL和CD分別為升力和阻力系數(shù)，且是攻角α和速度v的函數(shù)；ρ為大氣密度，

ρ(h)=ρ0e-h/hs，

(5)

ρ0為海平面大氣密度，h為無量綱高度，hs=7 110/R0為高度系數(shù)。

1.2 再入約束

再入約束一般可分為過程約束和終端約束。典型的過程約束包括熱流密度約束、過載約束和動(dòng)壓約束，其計(jì)算公式分別為

(6)

(7)

(8)

終端約束一般包括終端高度約束、速度約束及經(jīng)度、緯度約束。由于運(yùn)動(dòng)方程以能量為自變量，于是終端約束可表示為

(9)

s(ef)=sf，

(10)

式中：s(ef)為無量綱終端再入航程；sf為再入航程的實(shí)際值。s(ef)與sf計(jì)算公式分別如(11)式和(12)式所示：

(11)

sf=arccos (sinφ0sinφf+cosφ0cosφfcos(λf-λ0))，

(12)

式中：λ0、φ0為飛行器初始經(jīng)度和緯度。

2 制導(dǎo)算法

2.1 傾側(cè)角解析解

初始下降段飛行高度較高，氣動(dòng)力作用較弱，通常通過迭代得到常值傾側(cè)角進(jìn)行開環(huán)制導(dǎo)，并當(dāng)滿足一定條件后轉(zhuǎn)入滑翔段[6,22]。

對(duì)于滑翔段制導(dǎo)，考慮終端航程約束及(11)式，再入過程中，特別是滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件(QEGC)時(shí)，航跡角很小，有cosθ≈1，于是有

(13)

利用準(zhǔn)平衡滑翔條件：

(14)

可得

(15)

代入(13)式得

(16)

假設(shè)再入過程中升阻比已知且為常數(shù), 則以常值傾側(cè)角積分(16)式得

(17)

利用(17)式和終端能量及航程約束可求得常值傾側(cè)角幅值:

(18)

以上求取傾側(cè)角的解析方法是基于再入過程滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件推導(dǎo)得到的，然而實(shí)際飛行可能不滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件，于是該方法的準(zhǔn)確性不能得到保證。為了保證該解析解的精度，同時(shí)抑制再入過程中的軌跡振蕩問題，本文在傾側(cè)角指令中反饋高度變化率，使升力更快地平衡重力，從而抑制高度振蕩問題，使軌跡滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件[4]，即

(19)

(20)

由于滑翔初始段軌跡振蕩幅值較大，此時(shí)傾側(cè)角應(yīng)側(cè)重于振蕩的抑制；而滑翔末段振蕩較輕，此時(shí)傾側(cè)角應(yīng)側(cè)重于航程的校正。故反饋系數(shù)k可取為能量的函數(shù)：

(21)

式中：k0=30；kf=10；e0為滑翔段初始能量值；et=0.99ef.

以上傾側(cè)角解析解的精確程度不僅取決于軌跡是否滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件，也與常值升阻比假設(shè)有關(guān)。為此，每個(gè)制導(dǎo)周期內(nèi)需實(shí)時(shí)更新方程(18)式中的升阻比信息。由于攻角尚未確定，可按上一周期的攻角計(jì)算升阻比。隨著飛行器距離目標(biāo)點(diǎn)越來越近，剩余航程越來越小，升阻比的變化范圍更小，更加接近于常值，傾側(cè)角解析解的精度會(huì)不斷提高。

2.2 攻角解析解

以終端能量為積分終止條件，根據(jù)傾側(cè)角解析解可保證終端航程約束和能量約束。傳統(tǒng)預(yù)測(cè)校正算法一般將終端高度和速度約束轉(zhuǎn)化為終端能量約束，但保證終端能量并不能嚴(yán)格約束終端高度。

進(jìn)一步考慮準(zhǔn)平衡滑翔條件(14)式，再入過程中無量綱地心距r≈1，于是有

Lcosσ+(v2-1)=0.

(22)

觀察(22)式，對(duì)于給定終端速度，由于升力加速度L隨高度的增大而減小，此時(shí)的傾側(cè)角應(yīng)減小才能滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件。即終端高度約束對(duì)應(yīng)了一個(gè)傾側(cè)角。也就是說根據(jù)終端航程約束可確定一個(gè)傾側(cè)角，根據(jù)終端高度約束也可確定一個(gè)傾側(cè)角。當(dāng)航程約束與高度約束不匹配時(shí)，很難通過一個(gè)傾側(cè)角指令同時(shí)滿足終端航程約束和高度約束。然而，(22)式中還隱含另一個(gè)控制量攻角，可利用攻角滿足終端高度約束。

首先，由(3)式和(11)式可求得航程對(duì)高度的微分：

(23)

(24)

于是可求得滿足高度與航程約束的期望航跡角：

(25)

(25)式得到的是航跡角期望值，與實(shí)際值并不相符，需要設(shè)計(jì)控制律對(duì)其跟蹤：

(26)

于是得到了期望的航跡角變化率，然后利用航跡角動(dòng)力學(xué)方程：

(27)

求出升力系數(shù)：

(28)

進(jìn)而根據(jù)升力系數(shù)反插值求出攻角指令。

以上攻角解析解的精確程度主要取決于常值航跡角假設(shè)是否合理?；璩跏级魏桔E角變化較大，利用上述方法求得的攻角指令可能偏差很大，甚至不在攻角的實(shí)際可取范圍內(nèi)。由于滑翔初始段不需考慮終端高度，正常飛行即可，同時(shí)考慮到初始段的熱保護(hù)要求和后續(xù)的航程要求，采用分段函數(shù)形式的攻角方案：

(29)

式中：αm為一個(gè)較大的攻角；αL/D為最大升阻比攻角；vm和vL/D為預(yù)先設(shè)定的速度值。

當(dāng)滿足e>ep時(shí)(ep為預(yù)先設(shè)定的能量值)，攻角指令由方案(29)式切換至由(28)式得到的解析解：

(30)

滑翔后段基本滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件，軌跡比較平直，常值航跡角假設(shè)合理，利用攻角解析解可保證終端高度約束。

此外，為了減小攻角指令由攻角方案切換至解析指令時(shí)的突變并保證終端航跡角跟蹤精度，將誤差系數(shù)γ設(shè)計(jì)為

式中：γ0=1；γf=0.75；ep=0.9ef；et=0.99ef.

2.3 過程約束管理

過程約束控制一直是預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)的難點(diǎn)之一。傳統(tǒng)方法一般利用準(zhǔn)平衡滑翔條件將過程約束轉(zhuǎn)化為傾側(cè)角走廊，然而，再入過程中準(zhǔn)平衡滑翔條件不一定嚴(yán)格成立，并且實(shí)際飛行中的大氣環(huán)境擾動(dòng)和飛行器參數(shù)不確定性也使得這種傾側(cè)角走廊的可靠性難以保證。文獻(xiàn)[4]基于時(shí)標(biāo)分離原則提出了一種在線預(yù)測(cè)約束管理方法。在此基礎(chǔ)上，本文設(shè)計(jì)了一種基于航跡角指令的在線約束控制方法。

以動(dòng)壓約束為例，當(dāng)實(shí)際動(dòng)壓接近最大動(dòng)壓值即q≥μqmax時(shí)，其中μ為接近于1但小于1的常數(shù)，可取為0.98，于是設(shè)計(jì)反饋控制律：

(31)

式中：kq=0.1為動(dòng)壓反饋系數(shù)。于是實(shí)際動(dòng)壓可跟蹤一個(gè)給定的期望值，該期望值比最大動(dòng)壓略小，從而滿足動(dòng)壓約束。然后對(duì)(8)式求微分得

(32)

(33)

(34)

類似地，可求得滿足熱流約束和過載約束的航跡角指令值：

(35)

(36)

(37)

當(dāng)實(shí)際飛行中的過程約束接近或超過最大值時(shí)，根據(jù)(37)式求出航跡角指令θc，然后利用(30)式求出相應(yīng)的攻角指令以滿足過程約束。此過程中產(chǎn)生的終端誤差可在后續(xù)的制導(dǎo)周期中得到彌補(bǔ)，從而不影響最終精度。

實(shí)際仿真中發(fā)現(xiàn)，上述獲得的攻角指令可能存在抖振和不連續(xù)問題。為使攻角指令平滑易于跟蹤，將指令進(jìn)行1階低通濾波：

α(i)=χαd(i)+(1-χ)α(i-1)，

(38)

式中：0<χ<1為濾波系數(shù)，可取為0.1；α(i)為當(dāng)前的實(shí)際攻角指令；α(i-1)為上一時(shí)刻的實(shí)際攻角指令；αd(i)為當(dāng)前由(30)式計(jì)算得到的攻角指令。

2.4 側(cè)向制導(dǎo)

對(duì)于側(cè)向制導(dǎo)，本文采用經(jīng)典的航向角走廊方法確定傾側(cè)角符號(hào)。設(shè)ψLOS為飛行器當(dāng)前點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的視線角，其計(jì)算公式為

(39)

則當(dāng)前航向角誤差為ψ-ψLOS. 當(dāng)航向角誤差超過預(yù)設(shè)的誤差走廊時(shí)，改變傾側(cè)角符號(hào)使其重新回到走廊內(nèi)，當(dāng)航向角誤差未超過誤差走廊時(shí)，保持傾側(cè)角符號(hào)不變，即

(40)

式中：σi-1為上一時(shí)刻的傾側(cè)角；σi為當(dāng)前時(shí)刻的傾側(cè)角；δψ為航向角誤差門限。

3 仿真分析

本文以通用航空器CAV-H為仿真對(duì)象[26]。該飛行器質(zhì)量907 kg，參考面積0.483 9 m2. 攻角方案參數(shù)αm=20°，αL/D=10°，vm=6 500 m/s，vL/D=5 000 m/s，誤差門限δψ=15°，過程約束設(shè)置[27]為

(41)

再入任務(wù)初始和終端狀態(tài)設(shè)置如表1所示。

表1 再入任務(wù)初始和終端狀態(tài)

仿真環(huán)境為Windows10操作系統(tǒng)，仿真計(jì)算機(jī)CPU主頻3.2 GHz，內(nèi)存4 GB，制導(dǎo)周期為10-4無量綱能量。

3.1 標(biāo)準(zhǔn)條件下制導(dǎo)方法仿真

為了驗(yàn)證所提出解析制導(dǎo)方法(簡(jiǎn)稱方法1)的有效性與優(yōu)越性，本節(jié)將其與文獻(xiàn)[6]中常值傾側(cè)角數(shù)值預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)方法(簡(jiǎn)稱方法2)在標(biāo)準(zhǔn)條件下以相同仿真環(huán)境和制導(dǎo)周期作對(duì)比。方法2以終端能量為約束，不能嚴(yán)格保證終端高度，且未考慮軌跡振蕩問題。仿真結(jié)果如表2和圖1所示。

表2 終端誤差

表2為兩種方法的終端誤差。兩種方法的航程誤差均較小，具有一定精度。方法2的終端高度誤差較大，這是因?yàn)樵摲椒▋H以終端能量為約束，不能嚴(yán)格約束終端高度。而本文所提出的方法根據(jù)終端高度約束得到攻角指令，終端速度、高度誤差均很小，滿足終端高度約束。圖1為標(biāo)準(zhǔn)條件下的高度- 速度曲線。相比方法2，方法1中由于添加了高度變化率反饋，軌跡更加平滑，無明顯振蕩，基本滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件，更加適用于高升阻比的高超聲速滑翔飛行器。

圖2為標(biāo)準(zhǔn)條件下的地面軌跡，圖3、圖4分別為標(biāo)準(zhǔn)條件下的傾側(cè)角和攻角。方法1的傾側(cè)角初始階段變化較大，這是因?yàn)闉榱吮M快滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件，在控制指令中加入高度變化率反饋造成的。相比之下，方法2的傾側(cè)角幅值近似為常值。方法2的攻角指令完全按照攻角方案給出。而方法1在滑翔末端為滿足終端高度約束，根據(jù)航跡角指令設(shè)計(jì)攻角指令，使攻角逐漸增大以抬高終端高度滿足終端高度約束。

圖5～圖7分別為標(biāo)準(zhǔn)條件下的各過程約束曲線。兩種方法均可滿足各過程約束，相比方法2，方法1的過程約束變化更加平滑，無周期性振蕩現(xiàn)象且峰值較小，更易于飛行器承受。

圖8為方法1在標(biāo)準(zhǔn)條件下的升阻比和航跡角曲線。由圖8可知，再入過程中，升阻比變化平緩且變化范圍較小，可近似于常值；滑翔段航跡角變化不大，也可認(rèn)為是常值。隨著飛行器距離目標(biāo)點(diǎn)越來越近，剩余航程越來越小，升阻比和航跡角的變化范圍更小，更接近于常值，解析解的精度會(huì)不斷提高。

此外，在相同的仿真環(huán)境和制導(dǎo)周期下，方法1的計(jì)算時(shí)間比方法2的計(jì)算時(shí)間小兩個(gè)數(shù)量級(jí)以上，這顯示出解析制導(dǎo)相比數(shù)值預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)在計(jì)算效率上的優(yōu)越性。

3.2 擾動(dòng)條件下制導(dǎo)方法仿真

為了驗(yàn)證所提出的方法在擾動(dòng)條件下的精度和魯棒性，進(jìn)行200次蒙特卡洛仿真。仿真中各初始狀態(tài)偏差和參數(shù)偏差假設(shè)符合正態(tài)分布，其偏差限如表3所示。

表3 參數(shù)偏差

圖9為擾動(dòng)條件下的高度- 速度曲線。由圖9可見，擾動(dòng)條件下的軌跡仍比較平滑，基本滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件。軌跡末端分布較寬，這是調(diào)整終端高度造成的。圖10為擾動(dòng)條件下的終端高度- 速度誤差散布。由圖10可見，終端高度誤差基本在200 m以內(nèi)，速度誤差在1 m/s以內(nèi)，仍具有較高的精度。圖11為擾動(dòng)條件下的落點(diǎn)散布，可見落點(diǎn)基本散布在10 km以內(nèi)，滿足再入制導(dǎo)要求。

圖12～圖14分別為擾動(dòng)條件下的各過程約束曲線。本文提出的方法在擾動(dòng)條件下仍可滿足各過程約束。特別是對(duì)于動(dòng)壓約束，利用本文所提出的在線約束控制方法，實(shí)際動(dòng)壓可嚴(yán)格約束在最大動(dòng)壓150 kPa以內(nèi)。

4 結(jié)論

本文針對(duì)高超聲速滑翔飛行器再入制導(dǎo)問題，提出了一種基于準(zhǔn)平衡滑翔的解析制導(dǎo)方法。理論分析和仿真結(jié)果表明：

1)利用基于準(zhǔn)平衡滑翔條件得到的近似解析關(guān)系求得的傾側(cè)角指令和攻角指令可保證終端航程約束和高度約束，避免了傳統(tǒng)預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)中的數(shù)值計(jì)算，可為在線制導(dǎo)提供一定參考。

2)反饋高度變化率修正傾側(cè)角指令可使軌跡平滑，并滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件。

3)基于航跡角指令的在線約束控制方法可保證滿足過程約束。

4)該方法在擾動(dòng)條件下具有一定精度和魯棒性。