三重混合范數(shù)的L型嵌套陣列二維角度估計

陳 璐， 畢大平,2, 潘繼飛(.國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院,合肥 230037；

2. 安徽省電子制約技術(shù)重點實驗室，合肥 230037)

0 引 言

角度估計(Direction of arrival，DOA)是陣列信號處理中一個基本問題，廣泛應(yīng)用于雷達、聲吶、無線通信等領(lǐng)域。為了克服一維DOA估計在實際應(yīng)用中的局限性，二維(Two-dimensional，2D)角度估計受到廣泛關(guān)注和研究[1]。嵌套陣列是近來提出的一種新型陣列結(jié)構(gòu)[2-3]，通過對陣元位置的合理分配，可以達到擴展參數(shù)估計自由度的目的[4-5]，而對于嵌套陣列二維角度估計的研究較少[6]，本文主要針對這一問題進行研究。

可用于二維DOA估計的常規(guī)陣列有：面陣[7]、平行陣[8]、L型陣[9]。文獻[10]證明L型陣的DOA估計性能要優(yōu)于其它幾種陣型，因此關(guān)于2-D DOA估計的許多研究均基于L型陣。

二維角度估計算法中，主要分為三類：第一類為基于子空間類空間譜估計算法，例如:MUSIC，ESPRIT，PM等算法；對于L型陣2-D DOA估計問題，文獻[11]提出一種有效的傳播算子方法(Propagator method, PM)，但這種方法無法實現(xiàn)俯仰角和方向角的自動匹配，造成兩個維度角度的配對容易出現(xiàn)錯誤。為解決L型陣2-D角度的自動配對問題，文獻[12]利用互協(xié)方差矩陣實現(xiàn)2-D DOA估計和角度自動配對，但在低信噪比和小快拍數(shù)條件下，容易出現(xiàn)虛假角度，影響了DOA估計的性能。為減少DOA估計算法受信噪比的影響，文獻[13]提出了一種基于互協(xié)方差矩陣的聯(lián)合奇異值分解算法(Joint singular value decomposition，JSVD)，該算法在信噪比較低的條件下，仍然具有較好的測向性能，并且能夠?qū)崿F(xiàn)2-D角度的自動配對，然而，算法需要進行大量的矩陣SVD運算和空間譜搜索運算，計算復(fù)雜度較高。文獻[14]提出了一種基于PM算法和旋轉(zhuǎn)不變子空間技術(shù)(Estimating signal parameters via rotational invariance techniques, ESPRIT)的2-D DOA估計算法，該算法利用L型陣上兩個均勻陣的共軛對稱性，有效擴展了陣列孔徑，避免了繁瑣的峰值搜索過程，算法角度估計精度高且計算復(fù)雜度低。

第二類是基于參數(shù)化的空間譜估計方法，例如最大似然估計算法、加權(quán)子空間擬合算法，高階累積量算法。文獻[15]提出了一種基于信號協(xié)方差矩陣的2-D角度配對算法，該算法構(gòu)造了一個基于兩個信號協(xié)方差矩陣的目標函數(shù)，通過引入一個置換矩陣達到2-D角度的最優(yōu)配對。文獻[16]將L型陣的單個維度上的均勻陣列劃分成兩個重疊子陣，計算兩子陣的互協(xié)方差矩陣，通過將協(xié)方差矩陣和它的轉(zhuǎn)置相加，對得到的矩陣進行分割和線性運算，分別估計出兩個維度的角度，算法的缺點是兩個維度角度無法自動配對。文獻[17]提出了一種基于高階累積量的2-D L型嵌套陣列DOA估計算法，使用2維平滑方法,恢復(fù)其偶數(shù)(2q)階累積量矩陣的秩，采用2維MUSIC算法，進行方位角和俯仰角的估計。算法具有更好的測向精度，但需要信號采樣數(shù)較多，當采樣數(shù)不足時，將影響算法的測向數(shù)度。

針對2-D DOA估計中的互耦問題，文獻[18]提出了一種互耦系數(shù)估計的2-D矩形陣DOA估計算法，算法建立了矩形陣互耦測向模型，利用秩縮減方法同時估計互耦系數(shù)矩陣和2-D角度，在存在陣元互耦效應(yīng)的條件下，比傳統(tǒng)2-D DOA估計算法精度更高。

第三類為基于壓縮感知類空間譜估計算法。近年來，壓縮感知理論被用于角度估計，但在二維測向中存在計算復(fù)雜度高的問題，特別是嵌套陣列對應(yīng)的差分共陣虛擬陣元數(shù)較多，導(dǎo)致壓縮感知理論中的字典矩陣維數(shù)較高，計算復(fù)雜度大。文獻[19]提出一種解決互耦條件下的二維角度估計算法，算法通過連續(xù)網(wǎng)格細化技術(shù)減小壓縮感知求解過程的計算量，算法通過構(gòu)造兩個稀疏字典，順序估計兩個維度角，但是由于二個維度角估計是一個聯(lián)合估計的耦合問題，因此算法的角度估計為有偏估計[20]。文獻[21]提出一種分離稀疏表示DOA算法，該算法構(gòu)造了兩個稀疏字典，通過交替最小化算法求解該凸優(yōu)化問題，但算法僅適用于單測量矢量情況，當存在多矢量情況時，算法復(fù)雜度較高[22]。

為降低L型嵌套陣利用壓縮感知算法時的計算復(fù)雜度，本文提出了一種三重混合范數(shù)稀疏重構(gòu)算法，首先建立了俯仰角和方位角可分離的2-D測向模型，然后將兩個維度的嵌套陣數(shù)據(jù)分塊，建立基于聯(lián)合協(xié)方差矩陣稀疏的二維角度估計模型，為減小計算復(fù)雜度，將模型轉(zhuǎn)化為三重混合范數(shù)塊稀疏模型，利用交叉迭代的方法計算最優(yōu)解，得到二維角度估計值，并且兩個維度可以自動配對。仿真顯示，本文算法具有良好的估計精度和角度分辨率。

1 L型嵌套陣二維測向模型

嵌套陣列是由若干個間隔不同的均勻陣列組合而成的非均勻線陣，通過數(shù)據(jù)處理能夠有效地提高陣列自由度。M級嵌套陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示，M級子陣的陣元數(shù)目分別為N1,N2,…,NM，陣元間隔分別為d1,d2,…,dM，滿足dm+1=(Nm+1)dm，其陣列自由度為可表示為：

(1)

其中，Ni為第i級嵌套子陣的陣元數(shù)。可以看出，嵌套陣列能夠估計的輻射源角度數(shù)目遠遠大于其物理陣元數(shù)。

圖1 一維和二維嵌套陣列模型Fig.1 One and two dimensional nested array model

(2)

(3)

Y=AY(φ)S+NY

(4)

Z=AZ(θ)S+NZ

(5)

其中，Y=[y(t1),y(t2),…,y(tT)]，Z=[z(t1),z(t2),…,z(tT)]，AY(φ)=[aY(φ1),aY(φ2),…,aY(φK)]，AZ(θ)=[aZ(θ1),aZ(θ2),…,aZ(θK)]，S=[s(t1),s(t2),…,s(tT)]，NY=[nY(t1),nY(t2),…,nY(tT)]，NZ=[nZ(t1),nZ(t2),…,nZ(tT)]。y軸和z軸方向嵌套陣觀測數(shù)據(jù)互協(xié)方差矩陣可表示為

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

2 三重范數(shù)稀疏重構(gòu)模型

(14)

(15)

(16)

固定變量P可得

(17)

3 交叉迭代求解

式(16)的梯度可以表示為

(18)

Π(P)P+γ1(ΦHΦP-ΦHRYZ)+

γ2(P-ΣH)=0

(19)

P的解為

P=(Π(P)+γ1ΦHΦ+γ2I)*(ΦHRYZ+γ2ΣH)

(20)

其中,(·)*表示矩陣偽逆。式(17)的梯度可以表示為

(21)

(22)

Q的解為

(23)

式(20)、(23)為式(16)、(17)的閉式解，變量P，Q的迭代如下所示

P(j+1)= (Π(P(j))+γ1ΦHΦ+γ2I)*·

(ΦHRYZ+γ2Σ(j)H)

(24)

(25)

4 仿真校驗

假設(shè)空間存在12個不相關(guān)窄帶輻射源角度(如表1)，使用本文提出的三重混合范數(shù)估計輻射源角度，稀疏字典的角度間隔為0.5°，L型嵌套

陣列為2級嵌套，每一級陣元數(shù)為5。采用均方差的方法(Root mean square error, RMSE)估計角度誤差

(26)

表1 輻射源角度Tabel 1 Radiant source angles

圖2給出了本文算法的角度估計結(jié)果，圖2(a)為立體圖形，圖2(b)為平面圖形，從圖2可以看出，利用本文提出的2維角度估計算法，可以估計出12個輻射源的2維角度，兩個維度角度為自動配對，并且有較高的角度分辨率。由于嵌套陣列的數(shù)據(jù)具有較大的虛擬孔徑，因此，可以估計的輻射源目標數(shù)大于陣元個數(shù)，并且角度估計精度較高。

圖2 本文算法2D角度估計結(jié)果Fig.2 2D angle estimation results of the proposed algorithm

圖3為12個輻射源50次蒙特卡羅試驗得到的2維角度估計值散布圖。圓圈代表輻射源2維角度真實位置，圓點代表每次試驗的角度估計值，由圖3可知，本文提出的算法估計值大部分落于真實值附近，說明算法具有良好的穩(wěn)定性。(41°,66°) (41°,70°)兩角度距離較近，但是本文算法仍然能夠?qū)⑵浞蛛x，說明算法具有較好的分辨率。

圖3 50次蒙特卡羅試驗角度估計值散布圖Fig.3 Scatter diagram of 50 Monte Carlo experimental angle estimation results

圖4不同分集數(shù)G條件下，算法運算時間和算法角度估計精度的仿真結(jié)果，從圖4(a)可以看出，當分集數(shù)G增加時，算法的運算時間不斷增加，說明算法運算復(fù)雜度不斷提高。從圖4(b)可以看出，當分集數(shù)G增加時算法的角度估計精度在不斷提高，分集數(shù)增加到一定程度時，算法精度提高變慢。因此，分集數(shù)G的選擇需要兼顧算法復(fù)雜度和算法精度。

圖4 不同分集數(shù)G對算法的影響Fig.4 The influence of different diversity number G on the algorithm

當快拍數(shù)為2000時，在不同信噪比條件下，對3個輻射源角度(11°,14°)，(75°,26°)，(51°,38°)進行估計，算法中將數(shù)據(jù)分為G=10份，構(gòu)成塊稀疏矩陣，500次蒙特卡羅試驗得到圖5(a)結(jié)果。與文獻[11,13-14]中的算法進行比較可知，當信噪比SNR<0 dB時，本文算法角度估計精度明顯高于其他三種算法。當信噪比0 dB ≤SNR<10 dB時，本文算法角度估計精度略高于其它三種算法。當SNR≥10 dB時，四種算法精度相近。這是因為信號子空間搜索類算法易受噪聲影響，信噪比低時，噪聲子空間將會污染信號子空間，導(dǎo)致搜索失敗。而本文提出的基于壓縮感知的混合范數(shù)二維角度估計算法不存在這一問題，可以在信噪比較低的條件下，實現(xiàn)高精度角度估計。

當信噪比為20 dB時，在不同快拍數(shù)條件下，對3個輻射源角度(11°,14°)，(75°,26°)，(51°,38°)進行估計，算法中將數(shù)據(jù)分為G=10份，構(gòu)成塊稀疏矩陣，500次蒙特卡羅試驗得到圖5(b)結(jié)果。由圖5(b)可知，在低采樣點數(shù)條件下，本文算法精度要高于其它三種算法，這是因為其它三種算法在計算時，取全局采樣點協(xié)方差矩陣的均值作為觀測值的協(xié)方差矩陣，而本文算法將采樣點分成若干份，分別進行參數(shù)信息提取，因此算法精度要高于其它三種算法。

當信噪比為20 dB，快拍數(shù)為500時，對不同個數(shù)輻射源進行角度估計，500次蒙特卡羅試驗得到圖5(c)結(jié)果。與三種算法比較可以看出，本文算法角度估計數(shù)度較高。這是因為本文算法利用壓縮感知理論，只要滿足稀疏性，估計目標個數(shù)對算法影響較小。而子空間搜索類算法，對多個目標進行搜索的效果較差。

圖5(d)為不同快拍數(shù)條件下，幾種算法的運算時間對比，由圖5(d)可知，在相同快拍數(shù)條件下，本文提出算法的運算時間要高于文獻[11]和文獻[13]，低于文獻[14]。說明本文算法的算法復(fù)雜度高于文獻[11]和文獻[13]，低于文獻[14]。

5 結(jié) 論

對于L型嵌套陣列二維測向問題，本文提出了一種基于三重混合范數(shù)的二維測向算法，首先構(gòu)造了y軸和z軸可分離的L型嵌套陣列二維測向模型，將兩個方向上的數(shù)據(jù)采樣點均分為G份，計算每一份采樣點的互協(xié)方差矩陣，將二維角度估計問題轉(zhuǎn)化為基于互協(xié)方差矩陣稀疏化的優(yōu)化問題，建立了三重混合范數(shù)的稀疏重構(gòu)模型，利用交叉迭代的方法進行求解。試驗仿真表明，三重混合范數(shù)稀疏重構(gòu)算法能夠有效估計出輻射源的二維角度，并且能夠?qū)崿F(xiàn)自動配對，具有較高的分辨率和魯棒性。與其它算法相比，三重混合范數(shù)稀疏重構(gòu)算法在低信噪比、低快拍數(shù)條件下，性能均優(yōu)于其它算法，并且當輻射源數(shù)目較多時，算法仍有較好的角度估計精度。如何將算法應(yīng)用于寬帶角度估計問題中是下一步研究的重點。

圖5 算法性能對比Fig.5 Algorithm performance comparison