火箭上升段滾動(dòng)時(shí)域制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)

李 敏，李惠峰，聶文明

(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191)

0 引 言

傳統(tǒng)的火箭上升段制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)是將制導(dǎo)和姿態(tài)控制子系統(tǒng)分開設(shè)計(jì)，通過(guò)對(duì)各子系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)控制律再進(jìn)行反復(fù)的迭代和整合來(lái)滿足系統(tǒng)整體的性能要求[1]。這種分離設(shè)計(jì)形式已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于火箭上升段制導(dǎo)和控制系統(tǒng)，基本可以滿足制導(dǎo)精度和控制性能要求[2-3]。然而，由于分離設(shè)計(jì)自身的局限性，針對(duì)制導(dǎo)和姿態(tài)控制子系統(tǒng)設(shè)計(jì)的控制律只能改善各子系統(tǒng)的控制性能，即使反復(fù)地協(xié)調(diào)設(shè)計(jì)也無(wú)法最大程度優(yōu)化系統(tǒng)整體的控制性能，如制導(dǎo)精度、控制需求等[4-5]。制導(dǎo)控制一體化(Integrated guidance and control，IGC)的概念最早在1983年由Williams等[6]提出，近年來(lái)已經(jīng)成為了制導(dǎo)與控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。不同于傳統(tǒng)的制導(dǎo)回路產(chǎn)生制導(dǎo)指令，姿態(tài)控制回路進(jìn)行跟蹤并獲得執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制量的分離設(shè)計(jì)方式，IGC設(shè)計(jì)是將制導(dǎo)和姿態(tài)控制子系統(tǒng)作為一個(gè)整體進(jìn)行設(shè)計(jì)，根據(jù)飛行器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)信息直接產(chǎn)生執(zhí)行機(jī)構(gòu)需用的操縱指令[7]。IGC設(shè)計(jì)避免了大量的迭代整合，不僅可以減少設(shè)計(jì)周期和成本，而且具有減少控制量需求、提高控制精度等提升系統(tǒng)整體控制性能的潛力[8]。但是，IGC設(shè)計(jì)也存在很多難點(diǎn)，如一體化系統(tǒng)建模尚未形成完備的理論體系，系統(tǒng)模型階數(shù)更高、耦合性更強(qiáng)對(duì)控制方案設(shè)計(jì)造成很大困難等。目前，飛行器制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)還沒(méi)有形成系統(tǒng)的研究體系?，F(xiàn)有的文獻(xiàn)主要是針對(duì)導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)的打擊段嘗試進(jìn)行研究[9-11]，關(guān)于火箭上升段的IGC設(shè)計(jì)還比較少。

針對(duì)火箭上升段制導(dǎo)控制一體化系統(tǒng)，基于最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)控制器可以最大程度實(shí)現(xiàn)對(duì)標(biāo)稱彈道的準(zhǔn)確跟蹤，同時(shí)盡可能減少控制量需求。目前，最優(yōu)控制方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)中。Hughes等[12]針對(duì)目標(biāo)攔截IGC問(wèn)題，采用線性最優(yōu)控制方法進(jìn)行IGC設(shè)計(jì)，但該方法難以滿足復(fù)雜非線性系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求。于是非線性最優(yōu)控制理論成為研究的熱點(diǎn)，但其存在難以求解Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程的問(wèn)題。Vaddi等[13]針對(duì)尋的導(dǎo)彈IGC問(wèn)題，采用狀態(tài)依賴Riccati方程的方法求解HJB方程，但其在線計(jì)算量很大。Xin等[14]基于目標(biāo)攔截IGC問(wèn)題，采用θ-D的次優(yōu)控制方法求解HJB方程的近似閉環(huán)解，該方法不需要在線求解HJB方程，但其推導(dǎo)過(guò)程非常復(fù)雜。上述傳統(tǒng)的最優(yōu)控制均需要準(zhǔn)確的系統(tǒng)模型，并且沒(méi)有考慮系統(tǒng)的不確定性問(wèn)題，系統(tǒng)魯棒性較差。于是，滾動(dòng)時(shí)域控制(Receding horizon control，RHC)逐漸受到關(guān)注。RHC是一種基于最優(yōu)控制的計(jì)算機(jī)控制算法，它將全局優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限時(shí)域優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)在線滾動(dòng)優(yōu)化完成求解過(guò)程。RHC不需要準(zhǔn)確的系統(tǒng)模型，且魯棒性較強(qiáng)，已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于工業(yè)控制領(lǐng)域，但在飛行器制導(dǎo)控制領(lǐng)域應(yīng)用較少[15-16]。彭海軍等[17]將RHC策略應(yīng)用于航天器在Halo軌道之間轉(zhuǎn)移的問(wèn)題中，通過(guò)在線求解Riccati微分方程求解制導(dǎo)律，但其沒(méi)有考慮控制約束。一般而言，含有多種時(shí)域約束條件的滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化問(wèn)題的動(dòng)態(tài)特性都是非線性的，很難求得解析解。

基于以上分析，本文針對(duì)火箭上升段IGC問(wèn)題，提出一種基于凸優(yōu)化理論的滾動(dòng)時(shí)域制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法。該方法采用RHC策略進(jìn)行滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正，可以及時(shí)彌補(bǔ)模型誤差或外界干擾等造成的不確定性。同時(shí)利用高效的凸優(yōu)化算法可以有效地求解含控制約束的優(yōu)化問(wèn)題。通過(guò)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了該方法的穩(wěn)定性。相比傳統(tǒng)分離設(shè)計(jì)，該IGC設(shè)計(jì)方式具有提高系統(tǒng)控制精度，減小控制量需求的潛力。

本文結(jié)構(gòu)如下：第一部分建立火箭上升段IGC模型并對(duì)其進(jìn)行反饋線性化獲得面向控制的線性模型。第二部分結(jié)合控制約束建立凸優(yōu)化問(wèn)題。第三部分采用RHC策略和凸優(yōu)化算法在線求解控制律并給出了算法穩(wěn)定性證明。第四部分進(jìn)行數(shù)值仿真。

1 IGC模型

建立火箭上升段IGC非線性模型，采用反饋線性化的方法對(duì)其進(jìn)行精確線性化和解耦獲得面向控制的線性模型。

1.1 火箭上升段IGC模型

假設(shè)滾轉(zhuǎn)通道姿態(tài)為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，僅研究俯仰通道和偏航通道的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)問(wèn)題。本文忽略側(cè)向運(yùn)動(dòng)，建立火箭上升段IGC非線性模型為

(1)

(2)

式中：P為發(fā)動(dòng)機(jī)推力，Isp為發(fā)動(dòng)機(jī)比沖，g0為地球引力加速度。氣動(dòng)阻力D、升力L和側(cè)力N分別為

(3)

1.2 反饋線性化

IGC模型非線性程度較高，傳統(tǒng)平衡點(diǎn)處進(jìn)行近似線性化方法忽略了系統(tǒng)的高階項(xiàng)，控制過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)較大誤差。因此，采用針對(duì)非線性系統(tǒng)的精確反饋線性化方法對(duì)IGC模型進(jìn)行線性化和解耦。

選取y=[h,V]T為系統(tǒng)輸出量，系統(tǒng)狀態(tài)量為x=[h,V,θ,α,β,r,q]T，控制輸入為u=[Mcy,Mcz]T，將式(1)寫為如下仿射形式

(4)

對(duì)系統(tǒng)輸出y=H(x)=[H1,H2]T進(jìn)行依次微分運(yùn)算。通過(guò)對(duì)高度h進(jìn)行4次求導(dǎo)，對(duì)速度V進(jìn)行3次求導(dǎo)，控制量u可以顯式地出現(xiàn)在如下微分表達(dá)式中

H*=b(x)+a(x)u

(5)

(6)

系統(tǒng)相對(duì)階r=4+3=7與系統(tǒng)階數(shù)相等，系統(tǒng)可以進(jìn)行解耦和精確線性化。

u=a(x)-1(v-b(x))

(7)

引入新的狀態(tài)變量

(8)

其具體形式為

(9)

經(jīng)過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)換，原來(lái)的非線性系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為如下面向控制的線性模型

(10)

2 凸優(yōu)化問(wèn)題建模

將火箭上升段制導(dǎo)控制一體化(IGC)問(wèn)題建模為最優(yōu)控制問(wèn)題。由于控制約束的存在，系統(tǒng)整體呈現(xiàn)非線性動(dòng)態(tài)，很難求得解析解。凸優(yōu)化算法作為一種高效的數(shù)值解法，可以方便地求解非線性優(yōu)化問(wèn)題，且解的收斂性有保證[18]。因此將該最優(yōu)控制問(wèn)題進(jìn)行凸化處理和離散化進(jìn)而轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)凸優(yōu)化問(wèn)題。

2.1 凸優(yōu)化問(wèn)題描述

式(10)所示的線性模型中，z(t)為系統(tǒng)狀態(tài)量，v(t)為控制輸入。給定參考軌跡xref(t)，通過(guò)式(8)進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)換，得到線性系統(tǒng)參考狀態(tài)量zref(t)。依照最小化狀態(tài)跟蹤誤差和控制輸入的原則，設(shè)計(jì)系統(tǒng)代價(jià)函數(shù)為

zref(t))+vT(t)Rv(t))dt

(11)

式中：Q和R為加權(quán)矩陣，并且滿足Q≥0,R>0。t0=0為火箭上升段飛行初始時(shí)間，tf為終端時(shí)間。火箭飛行的初始條件為x(t0)=xref(t0)=x0，通過(guò)式(8)進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)換得到線性系統(tǒng)的初始條件為

z(t0)=z0

(12)

原非線性系統(tǒng)控制量為u=[u1,u2]T，給定控制約束的幅值為umax=[u1max,u2max]T，則原系統(tǒng)控制約束為

(13)

將式(7)所示的反饋控制律代入式(13)，得到線性系統(tǒng)的偽控制量不等式約束為

(14)

式中：φ(umax,x)=[φ1,φ2]T和ψ(umax,x)=[ψ1,ψ2]T為

(15)

控制約束φ(umax,x)和ψ(umax,x)是關(guān)于狀態(tài)量x的函數(shù)，是非凸的。由于初始狀態(tài)x(t0)=x0是確定的值，初始時(shí)刻求得的控制約束φ(umax,x0)和ψ(umax,x0)是常數(shù)矩陣，將其作為整個(gè)優(yōu)化過(guò)程的控制約束可以實(shí)現(xiàn)約束的凸化。式(11)的代價(jià)函數(shù)和式(12)的初始條件是凸的，滿足凸優(yōu)化問(wèn)題求解要求。

2.2 離散化

對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行等時(shí)間間隔離散化，選取采樣時(shí)間為T，則時(shí)間區(qū)間[t0,tf]被分成如下時(shí)間序列

(16)

式(10)的線性系統(tǒng)被離散為如下形式

z[(k+1)T]=Gdz(kT)+Hdv(kT)

(17)

式中：

(18)

式(11)代價(jià)函數(shù)，式(12)的初始狀態(tài)條件及式(14)的控制約束做相應(yīng)的離散變換。則離散化后的凸優(yōu)化控制問(wèn)題可以描述為

vT(k)Rv(k)]

s.t.z(k+1)=Gdz(k)+Hdv(k)z(k=0)=z(0)-?1(umax,x0)≤v1(k)≤ψ1(umax,x0)-?2(umax,x0)≤v2(k)≤ψ2(umax,x0)

(19)

3 滾動(dòng)時(shí)域控制算法

通過(guò)滾動(dòng)時(shí)域控制(RHC)算法設(shè)計(jì)，將式(19)給出的全局凸優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限時(shí)域凸優(yōu)化問(wèn)題，采用凸優(yōu)化算法進(jìn)行求解，結(jié)合反饋控制律形成了閉環(huán)控制。在優(yōu)化問(wèn)題中引入終端懲罰項(xiàng)和終端域來(lái)保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并給出了證明和分析。

3.1 滾動(dòng)時(shí)域控制算法設(shè)計(jì)

滾動(dòng)時(shí)域控制(RHC)的基本思想是預(yù)測(cè)模型、滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正。在當(dāng)前時(shí)刻，RHC方法以當(dāng)前實(shí)際狀態(tài)作為初始條件進(jìn)行反饋校正并求解有限時(shí)域優(yōu)化問(wèn)題，然后將解的第一個(gè)量用于實(shí)際控制中。隨著時(shí)間的推移進(jìn)行滾動(dòng)優(yōu)化直至完成整個(gè)過(guò)程。

在當(dāng)前時(shí)刻k，選取預(yù)測(cè)時(shí)域?yàn)閜，則在有限時(shí)域[k,k+p]內(nèi)，預(yù)測(cè)模型為

z(k+i+1|k)=Gdz(k+i|k)+Hdv(k+i|k)

(i=0,1,…,p-1)

(20)

式中：z(k+i+1|k)為在k時(shí)刻對(duì)k+i+1時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測(cè)量，v(k+i|k)為在k時(shí)刻對(duì)k+i時(shí)刻的控制輸入預(yù)測(cè)量。當(dāng)前的實(shí)際狀態(tài)量x(k)作為有限時(shí)域優(yōu)化問(wèn)題的初始條件，通過(guò)式(8)進(jìn)行變量轉(zhuǎn)換得到線性模型的初始條件為

z(k|k)=z(k)

(21)

由于k時(shí)刻的狀態(tài)x(k)是確定的值，將其代入式(14)求得的控制約束φ(umax,x(k))和ψ(umax,x(k))是常值矩陣，將其作為[k,k+p]時(shí)域內(nèi)的控制約束，則在有限時(shí)域內(nèi)，可以保證控制約束是凸的。

有限時(shí)域最優(yōu)控制問(wèn)題的穩(wěn)定性一般難以保證，根據(jù)準(zhǔn)無(wú)限時(shí)域預(yù)測(cè)控制的思想[19]，在優(yōu)化問(wèn)題中引入合適的終端域和終端懲罰項(xiàng)可以保證該有限時(shí)域優(yōu)化問(wèn)題的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性證明將在后續(xù)部分給出。在代價(jià)函數(shù)中增加終端懲罰項(xiàng)，則有限時(shí)域[k,k+p]內(nèi)的代價(jià)函數(shù)變?yōu)?/p>

E(z(k+p|k)),i=0,1,…,p-1

(22)

式中：

(23)

Qf為終端懲罰項(xiàng)加權(quán)矩陣且Qf>0。在優(yōu)化問(wèn)題增加終端狀態(tài)約束

(z(k+p|k)-zref(k+p))∈Ω

(24)

式中：Ω為終端域，它迫使系統(tǒng)在有限時(shí)域的末端回到平衡點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)。

于是得到第k時(shí)刻的滾動(dòng)時(shí)域控制凸優(yōu)化問(wèn)題表達(dá)式為

E(z(k+p|k))

(i=0,1,…,p-1)

(25)

采用凸優(yōu)化算法求解式(25)的有限時(shí)域凸優(yōu)化問(wèn)題，得到如下k時(shí)刻的預(yù)測(cè)狀態(tài)序列z(k)為

z(k)=[z(k+1|k),z(k+2|k),…,z(k+p|k)]T

(26)

和預(yù)測(cè)控制序列v(k)為

v(k)=[v(k|k),v(k+1|k),…,v(k+p-1|k)]T

(27)

將式(27)代入式(7)，可得反饋控制律為

u(k)=[u(k|k),u(k+2|k),…,u(k+p-1|k)]T

(28)

下面給出火箭上升段IGC控制問(wèn)題的滾動(dòng)時(shí)域控制算法步驟。

1)初始化。給定采樣周期T和預(yù)測(cè)時(shí)域p，選擇合適的加權(quán)矩陣Q,R，離線計(jì)算終端懲罰項(xiàng)加權(quán)矩陣Qf和終端域Ω。令初始時(shí)刻k=0。

2)優(yōu)化。獲取系統(tǒng)k時(shí)刻的實(shí)際狀態(tài)x(k)，通過(guò)式(8)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換，得到初始條件z(k)。在時(shí)域[k,k+p]內(nèi)求解式(25)所示的優(yōu)化問(wèn)題，得到式(28)的反饋控制律u(k)。

3)迭代。將解序列u(k)的第一個(gè)解用于實(shí)際的控制中。令k=k+1。如果k+p

3.2 穩(wěn)定性分析

假設(shè)2.U是緊的和凸的，X是連通的，并且平衡點(diǎn)(0,0)包含在集合X×U內(nèi)部。

引理1[20]. 當(dāng)假設(shè)1和2成立，若非線性系統(tǒng)關(guān)于控制u是仿射的，并且在域X中可以精確反饋線性化，并可以求得一個(gè)反饋控制器v=Kz使得GK:G+HK漸近穩(wěn)定，則得到非線性控制器

κ(x):u=a-1(x)(Kφ(x)-b(x))

(29)

對(duì)于由κ(x)控制的非線性系統(tǒng)有

1)系統(tǒng)軌跡滿足

(30)

式中：F(x,u)=xTQx+uTRu,E(x)=xTQfx，對(duì)應(yīng)到z-v坐標(biāo)中為F(z,v)=zTQv+vTRv,E(z)=zTQfz，其中Qf滿足

(31)

2)對(duì)于任意Qf>0，可以找到常數(shù)σ∈(0,∞)，使得

Ω:={x∈Rn|φT(x)Qfφ(x)≤σ}

(32)

是系統(tǒng)的一個(gè)不變域，且Ω和函數(shù)E可以作為準(zhǔn)無(wú)限時(shí)域預(yù)測(cè)控制優(yōu)化問(wèn)題的終端域和終端懲罰函數(shù)。

引理2[20]. 在k=0時(shí)刻開環(huán)優(yōu)化問(wèn)題(25)有可行解，在不考慮外部擾動(dòng)和模型誤差的情況下，問(wèn)題在任意k>0時(shí)刻也有可行解。

定理1. 若假設(shè)1和假設(shè)2成立，式(1)的非線性系統(tǒng)可以精確反饋線性化，并且在k=0時(shí)刻開環(huán)優(yōu)化問(wèn)題(25)有可行解，則該滾動(dòng)時(shí)域控制設(shè)計(jì)可以保證閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

證. 非線性系統(tǒng)(1)可以進(jìn)行精確的反饋線性化，根據(jù)引理1，可以計(jì)算出終端懲罰矩陣Qf和終端域Ω。根據(jù)引理2，可以保證在每一時(shí)刻k>0，式(25)中優(yōu)化問(wèn)題都有可行解。

將代價(jià)函數(shù)作為李雅普諾夫函數(shù)，在k時(shí)刻，代價(jià)函數(shù)的優(yōu)化值為

E(z*(k+p|k))

(33)

在k+1時(shí)刻，優(yōu)化問(wèn)題由可行解計(jì)算的代價(jià)函數(shù)值為

E(z(k+1+p|k+1))=

F(z(k+p|k+1),v(k+p|k+1))+

E(z(k+1+p|k+1))=

E(z*(k+p|k))-(z*(k|k),v*(k|k))+

F(z(k+p|k+1),v(k+p|k+1))+

E(z(k+1+p|k+1))-E(z*(k+p|k))

(34)

由式(33)，式(34)變?yōu)?/p>

p|k+1),v(k+p|k+1))+E(z(k+1+

p|k+1))-E(z*(k+p|k))

(35)

又因?yàn)閦*(k+p|k)=z(k+p|k+1)且z*(k+p|k)∈Ω，根據(jù)引理1，可以推出

(36)

結(jié)合式(35)和式(36)可知

F(z(k+p|k+1),v(k+p|k+1))+E(z(k+

1+p|k+1))-E(z*(k+p|k))≤0

(37)

則式(35)變?yōu)?/p>

(38)

且優(yōu)化解不會(huì)差于可行解，式(38)變?yōu)?/p>

(39)

(40)

根據(jù)文獻(xiàn)[21]中引理4.3，推出

(41)

4 仿真校驗(yàn)

為校驗(yàn)所提滾動(dòng)時(shí)域制導(dǎo)控制一體化控制方法的有效性和魯棒性，以某二級(jí)火箭上升段為研究對(duì)象進(jìn)行仿真。上升段全程飛行時(shí)間為122 s，在飛行67 s后進(jìn)行一二級(jí)分離?；鸺w行終端高度為89 km，終端速度為4538 m/s。一級(jí)控制力矩約束為|Mc1|≤1068000 N·m，二級(jí)控制力矩約束為|Mc2|≤3890000 N·m。仿真過(guò)程中采樣周期為T=1 s，預(yù)測(cè)時(shí)域p=20。式(22)所示代價(jià)函數(shù)為狀態(tài)誤差與控制需求最小。由式(9)可知，狀態(tài)量為高度和速度的各階導(dǎo)數(shù)，其數(shù)量級(jí)呈遞減趨勢(shì)。綜合考慮性能指標(biāo)與各狀態(tài)量需求，并考慮適當(dāng)偏重高度和速度狀態(tài)的權(quán)重，盡可能減小軌跡跟蹤誤差，選取適當(dāng)?shù)目刂凭仃?。一?jí)飛行階段控制器加權(quán)矩陣為

(42)

二級(jí)控制器加權(quán)矩陣為

(43)

終端懲罰加權(quán)矩陣Qf和終端域Ω為

(44)

仿真過(guò)程中控制器參數(shù)設(shè)置保持不變。各級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)均采取耗盡關(guān)機(jī)方式。首先在標(biāo)稱大氣的情況下，采用滾動(dòng)時(shí)域IGC設(shè)計(jì)方法進(jìn)行仿真，并與傳統(tǒng)分離設(shè)計(jì)的思路進(jìn)行分析對(duì)比，進(jìn)一步校驗(yàn)該方法的有效性。另外，在有氣動(dòng)干擾的情況下進(jìn)行仿真，校驗(yàn)了該方法的魯棒性。仿真在Matlab環(huán)境中進(jìn)行，其中凸優(yōu)化問(wèn)題的求解使用凸優(yōu)化工具箱CVX。

4.1 有效性仿真

在標(biāo)準(zhǔn)大氣的情況下，設(shè)計(jì)滾動(dòng)時(shí)域IGC控制器并進(jìn)行數(shù)值仿真。此外，基于傳統(tǒng)分離設(shè)計(jì)思想，姿態(tài)控制回路同樣采用滾動(dòng)時(shí)域控制方法設(shè)計(jì)控制律，制導(dǎo)回路采用PID方法設(shè)計(jì)制導(dǎo)律并進(jìn)行數(shù)值仿真。通過(guò)IGC和傳統(tǒng)分離設(shè)計(jì)兩種思路的對(duì)比仿真，進(jìn)一步校驗(yàn)了滾動(dòng)時(shí)域制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法的有效性。仿真結(jié)果如圖1～6所示。圖中線型標(biāo)注中，標(biāo)稱表示給定的標(biāo)稱彈道，IGC表示制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)，G & C表示傳統(tǒng)分離設(shè)計(jì)思路。

火箭飛行高度和速度的跟蹤曲線如圖1所示，跟蹤誤差曲線如圖2所示，彈道傾角和質(zhì)量曲線如圖3所示。由圖1～3可知，基于本文滾動(dòng)時(shí)域IGC的控制方法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)標(biāo)稱彈道的軌跡跟蹤，且高度跟蹤誤差不超過(guò)10 m，速度跟蹤誤差不超過(guò)

圖1 高度和速度變化曲線Fig.1 Curves of altitude and velocity

6 m/s。而傳統(tǒng)分離設(shè)計(jì)方式的軌跡跟蹤誤差較大，尤其在火箭一二級(jí)分離、質(zhì)量突變后，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)受到較大影響，軌跡跟蹤誤差越來(lái)越大，高度跟蹤誤差最大達(dá)到104 m，速度跟蹤誤差最大為22 m/s。圖4和圖5分別為火箭上升段姿態(tài)角和角速率變化曲線，由圖4～5可知，IGC設(shè)計(jì)和傳統(tǒng)分離設(shè)計(jì)兩種方式都能保證火箭上升段飛行過(guò)程中的姿態(tài)穩(wěn)定，總體來(lái)說(shuō)，基于IGC設(shè)計(jì)的姿態(tài)角變化更加平緩。

圖2 高度和速度跟蹤誤差變化曲線Fig.2 Curves of altitude and velocity tracking errors

圖3 彈道傾角和質(zhì)量變化曲線Fig.3 Curves of flight path angle and mass

圖6是控制力矩曲線，兩種設(shè)計(jì)方式都能滿足系統(tǒng)控制約束。但是，從圖6也可以清晰地看出，基于IGC設(shè)計(jì)的俯仰力矩比傳統(tǒng)方式更小。偏航力矩存在較小的波動(dòng)，IGC設(shè)計(jì)的偏航力矩的峰值比傳統(tǒng)方式減少約46%，整體來(lái)說(shuō)，IGC設(shè)計(jì)的偏航力矩需求更小。由以上分析可知，在滿足姿態(tài)穩(wěn)定的情況下，IGC相比傳統(tǒng)分離設(shè)計(jì)方式，可以提高制導(dǎo)精度，減少控制量需求。

圖4 攻角和側(cè)滑角變化曲線Fig.4 Curves of angle of attack and sideslip angle

圖5 偏航和俯仰角速率變化曲線Fig.5 Curves of yaw and pitch angle rates

圖6 偏航和俯仰控制力矩變化曲線Fig.6 Curves of yaw and pitch control moments

4.2 魯棒性仿真

為校驗(yàn)所提滾動(dòng)時(shí)域IGC控制方案的魯棒性，考慮在有氣動(dòng)干擾的情況下進(jìn)行仿真分析。引入±20%的氣動(dòng)力干擾和±40%的氣動(dòng)力矩干擾，分別在氣動(dòng)系數(shù)正、負(fù)拉偏兩種情況下進(jìn)行數(shù)值仿真。

仿真結(jié)果如圖7～11所示。從圖7～10可以看出，在有氣動(dòng)干擾的情況下，該方法也能以較小的跟蹤誤差實(shí)現(xiàn)對(duì)標(biāo)稱軌跡的跟蹤且能保證姿態(tài)角穩(wěn)定，高度跟蹤誤差不超過(guò)50 m，速度跟蹤誤差不超過(guò)15 m/s。

圖7 氣動(dòng)干擾下高度和速度變化曲線Fig.7 Curves of altitude and velocity with aerodynamic disturbance

圖8 氣動(dòng)干擾下高度和速度跟蹤誤差變化曲線Fig.8 Curves of altitude and velocity tracking errors with aerodynamic disturbance

圖9 氣動(dòng)干擾下攻角和側(cè)滑角變化曲線Fig.9 Curves of angle of attack and sideslip angle with aerodynamic disturbance

圖10 氣動(dòng)干擾下偏航和俯仰角速率變化曲線Fig.10 Curves of yaw and pitch angle rates with aerodynamic disturbance

圖11 氣動(dòng)干擾下偏航和俯仰控制力矩變化曲線Fig.11 Curves of yaw and pitch control moments with aerodynamic disturbance

圖11為控制力矩曲線，在有氣動(dòng)干擾的情況下，控制力矩相對(duì)無(wú)干擾情況下的控制量有小幅波動(dòng)，但飛行全程仍然嚴(yán)格滿足控制約束，沒(méi)有出現(xiàn)飽和。由以上分析可知，本文的滾動(dòng)時(shí)域IGC控制方案不僅能較好地處理控制約束，而且有較好的魯棒性。

5 結(jié) 論

針對(duì)傳統(tǒng)火箭上升段制導(dǎo)與控制系統(tǒng)分離設(shè)計(jì)方式存在的問(wèn)題，提出一種基于凸優(yōu)化理論的滾動(dòng)時(shí)域制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法，并基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。該方法采用RHC策略進(jìn)行滾動(dòng)優(yōu)化，基于當(dāng)前狀態(tài)信息進(jìn)行反饋校正，能及時(shí)彌補(bǔ)模型誤差或外界干擾等造成的不確定性。同時(shí)基于凸優(yōu)化理論對(duì)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行凸化和離散化，并采用凸優(yōu)化算法進(jìn)行數(shù)值求解，有效解決了含控制約束的優(yōu)化問(wèn)題的求解。數(shù)值仿真表明,該IGC方法具有較好的動(dòng)態(tài)性能，且具有一定的魯棒性。與傳統(tǒng)分離設(shè)計(jì)方式相比，火箭上升段IGC設(shè)計(jì)可以減少設(shè)計(jì)周期和成本，并且可以提高系統(tǒng)的整體性能。