空間太陽(yáng)能電站的準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)

李慶軍，鄧子辰，王 艷，王嘉琪

(西北工業(yè)大學(xué)工程力學(xué)系，西安 710072)

0 引 言

太陽(yáng)能是一種豐富的清潔可再生能源，太陽(yáng)能的合理利用對(duì)解決能源與環(huán)境問(wèn)題有著重要的意義[1]。1968年美國(guó)學(xué)者Glaser首次提出了空間太陽(yáng)能電站的概念，通過(guò)在太空運(yùn)行的大型太陽(yáng)能電池陣列產(chǎn)生電能，并通過(guò)無(wú)線傳輸?shù)姆绞綄㈦娔軅鬏數(shù)降孛鎇2]?？臻g太陽(yáng)能電站的概念首先得到了美國(guó)國(guó)家航空航天局和能源部的重視，他們率先開(kāi)展了空間太陽(yáng)能電站的概念設(shè)計(jì)和評(píng)估，并提出了首個(gè)5 GW級(jí)的空間太陽(yáng)能電站設(shè)計(jì)方案：1979空間太陽(yáng)能電站基準(zhǔn)系統(tǒng)[3]。到目前為止世界各國(guó)已經(jīng)提出了二十多個(gè)空間太陽(yáng)能電站的設(shè)計(jì)方案，包括太陽(yáng)帆塔[4]、圓柱型空間太陽(yáng)能電站[5]、繩系空間太陽(yáng)能電站[6]、Abacus空間太陽(yáng)能電站[7]和多旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)空間太陽(yáng)能電站[8]等。

與普通的航天器相比，空間太陽(yáng)能電站具有質(zhì)量超大、結(jié)構(gòu)尺寸超大、面質(zhì)比超大、結(jié)構(gòu)超柔等特點(diǎn)，使得空間太陽(yáng)能電站表現(xiàn)出與普通航天器不同的動(dòng)力學(xué)行為?？臻g太陽(yáng)能電站在太空中受到多種軌道和姿態(tài)攝動(dòng)因素的影響，包括地球非球形攝動(dòng)、萬(wàn)有引力梯度力矩?cái)z動(dòng)、太陽(yáng)光壓攝動(dòng)、日月引力攝動(dòng)、微波反作用等[9-10]。在這些攝動(dòng)因素的作用下，空間太陽(yáng)能電站會(huì)偏離原軌道和姿態(tài)，影響系統(tǒng)的正常工作。由于空間太陽(yáng)能電站尺寸和質(zhì)量都超大，軌道和姿態(tài)的維持需要消耗大量的控制燃料和能量，從而提高了運(yùn)行成本。在軌道保持方面，有研究者嘗試將空間太陽(yáng)能電站置于地球同步拉普拉斯軌道，使地球非球形攝動(dòng)和日月引力攝動(dòng)造成的影響相互抵消，從而每年節(jié)省約36453 kg的控制燃料[9,11]。

在姿態(tài)方面，最簡(jiǎn)單的姿態(tài)方案是采用萬(wàn)有引力梯度穩(wěn)定的姿態(tài)，如太陽(yáng)帆塔、繩系空間太陽(yáng)能電站等的姿態(tài)[12]。這種姿態(tài)方案在萬(wàn)有引力梯度的作用下自動(dòng)保持穩(wěn)定[13]，在不考慮其他攝動(dòng)力矩的情況下只需很小的控制力矩維持。然而這種姿態(tài)方案的太陽(yáng)能電池陣列無(wú)法保持對(duì)日定向，因而無(wú)法實(shí)現(xiàn)持續(xù)發(fā)電，而且平均發(fā)電效率低、需要在兩面安裝太陽(yáng)能電池板[14]、太陽(yáng)能電池板的利用率低，從而限制了這種姿態(tài)方式的應(yīng)用。為了克服萬(wàn)有引力梯度穩(wěn)定姿態(tài)方案的缺點(diǎn)，很多空間太陽(yáng)能電站采用對(duì)日定向姿態(tài)方案(如1979空間太陽(yáng)能電站基準(zhǔn)系統(tǒng)、Abacus空間太陽(yáng)能電站和多旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)空間太陽(yáng)能電站)，即對(duì)太陽(yáng)能電池陣列施加姿態(tài)控制力矩，從而保持電池陣列對(duì)日指向。對(duì)日定向姿態(tài)方案需要提供隨時(shí)間呈正弦曲線變化的姿態(tài)控制力矩，對(duì)于Abacus這種超大的空間太陽(yáng)能電站而言，需要提供很大的控制力矩(峰值為143000 N·m)，如果采用動(dòng)量交換的方式進(jìn)行姿態(tài)控制，則需要采用十萬(wàn)個(gè)控制力矩陀螺，使工程實(shí)現(xiàn)成為困難[10]。為了解決這個(gè)問(wèn)題，Wie等[10]提出了采用離子推進(jìn)器的控制方法，并設(shè)計(jì)了低帶寬的前饋-反饋控制器。為了實(shí)現(xiàn)太陽(yáng)能電池陣列對(duì)日定向的高精度姿態(tài)控制，Wu等[15]設(shè)計(jì)了時(shí)變魯棒最優(yōu)控制器，采用干擾抑制和線性二次型最優(yōu)控制相結(jié)合的辦法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)Abacus空間太陽(yáng)能電站的高精度對(duì)日指向。Li等[16]針對(duì)姿態(tài)攝動(dòng)因素隨時(shí)間呈周期性變化的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了基于雙曲正切切換的迭代學(xué)習(xí)控制方法，在考慮傳感器噪聲、空間姿態(tài)攝動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性和目標(biāo)軌跡慢時(shí)變的情況下進(jìn)行數(shù)值仿真，提高了姿態(tài)控制精度的同時(shí)降低了對(duì)噪聲的敏感性。雖然上述的姿態(tài)控制方法能達(dá)到較好的控制精度，但對(duì)于大型的太陽(yáng)能電池陣列仍然需要提供較大的姿態(tài)控制力矩。

為了避免對(duì)日定向姿態(tài)所帶來(lái)的巨大姿態(tài)控制力矩問(wèn)題，研究者們嘗試提出新的空間太陽(yáng)能電站概念。美國(guó)提出了太陽(yáng)盤(pán)空間太陽(yáng)能電站，通過(guò)太陽(yáng)盤(pán)的自轉(zhuǎn)保持太陽(yáng)能電池陣列對(duì)日定向[17-18]。另外美國(guó)提出的圓柱型空間太陽(yáng)能電站[5]和西安電子科技大學(xué)提出的具有球形反射鏡的SSPS-OMEGA方案[19-21]，由于結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱(chēng)性，降低了萬(wàn)有引力梯度力矩的影響。錢(qián)學(xué)森空間技術(shù)實(shí)驗(yàn)室提出了多旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)空間太陽(yáng)能電站，將大型的太陽(yáng)能電池陣列用多個(gè)較小的太陽(yáng)能電池子陣代替，并將太陽(yáng)能電池子陣沿南北方向排列，從而大大降低了每一個(gè)子陣所需的姿態(tài)控制力矩(峰值僅為12 N·m左右)[16]。除了在概念方案設(shè)計(jì)上改進(jìn)外，另外一種解決辦法是從姿態(tài)方案本身提出改進(jìn)，從而放松對(duì)概念方案設(shè)計(jì)的要求。Elrod[22]提出了一種不需要控制就能使航天器保持在某個(gè)方向附近振動(dòng)的準(zhǔn)慣性定向姿態(tài)方案。如果空間太陽(yáng)能電站采用準(zhǔn)慣性定向姿態(tài)方案，通過(guò)選擇合適的姿態(tài)初始條件，在無(wú)控的情況下太陽(yáng)能電池陣列可以在空間中某個(gè)固定的方向(本文稱(chēng)為主方向)附近作小幅度振動(dòng)，主方向可以是軌道平面內(nèi)的任一方向。然而文獻(xiàn)[22]中提出的概念認(rèn)為主方向是固定不變的，而實(shí)際上太陽(yáng)的方向在地心慣性坐標(biāo)系中是緩慢變化的。Sincarsin在準(zhǔn)慣性定向姿態(tài)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮了太陽(yáng)方向的緩慢變化，并將這種姿態(tài)稱(chēng)為準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)[23]。

本文在文獻(xiàn)[23]的基礎(chǔ)上研究準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)方案，為空間太陽(yáng)能電站的太陽(yáng)能電池陣列提供一種可選的姿態(tài)方案。本文第1節(jié)和第2節(jié)通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)化的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型闡述了準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的概念，給出了準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)構(gòu)造的數(shù)值方法，并從發(fā)電效率和所需姿態(tài)控制燃料兩方面對(duì)比了對(duì)日定向姿態(tài)和準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)。第3節(jié)設(shè)計(jì)了姿態(tài)控制器，使太陽(yáng)能電池陣列在任意姿態(tài)初始條件下收斂到準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)。第4節(jié)進(jìn)一步考慮了系統(tǒng)的軌道運(yùn)動(dòng)、偏航和滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、結(jié)構(gòu)振動(dòng)對(duì)準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的影響。最后一節(jié)總結(jié)了本文研究得到的結(jié)論。

1 簡(jiǎn)化的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

空間太陽(yáng)能電站的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制主要關(guān)注太陽(yáng)能電池陣列的對(duì)日指向和微波發(fā)射天線的對(duì)地指向。本文旨在提出一種太陽(yáng)能電池陣列的對(duì)日指向俯仰運(yùn)動(dòng)姿態(tài)方案，因而暫不考慮微波發(fā)射天線的對(duì)地指向問(wèn)題。為了簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)分析過(guò)程，本文只考慮萬(wàn)有引力梯度力矩的影響，而忽略軌道攝動(dòng)力和其他姿態(tài)攝動(dòng)力矩。

太陽(yáng)能電池陣列的長(zhǎng)度一般比厚度大兩個(gè)數(shù)量級(jí)，且在姿態(tài)受控的情況下滾轉(zhuǎn)角和偏航角近似為零?；谏鲜黾僭O(shè)，太陽(yáng)能電池陣列可以簡(jiǎn)化為質(zhì)量均勻分布的線型剛體，如圖1所示。慣性坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于地球的質(zhì)心，OXY平面為軌道平面。為了給出準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)方案的統(tǒng)一描述，OY軸指向初始時(shí)刻的太陽(yáng)在OXY平面的投影。在此簡(jiǎn)化模型中，太陽(yáng)能電池陣列的軌道由軌道半徑r和角度θ描述，姿態(tài)由俯仰姿態(tài)角α描述。

圖1 太陽(yáng)能電池陣列的剛性模型Fig.1 Rigid model of solar arrays

采用Hamilton原理建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為q=[r,θ,α]T，系統(tǒng)的動(dòng)能可表示為隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和：

(1)

其中，m為剛體的質(zhì)量，l為剛體的長(zhǎng)度。根據(jù)文獻(xiàn)[24]，系統(tǒng)的勢(shì)能為：

(2)

其中，μ=3.986×1014m3·s-2為地球引力常數(shù)。為了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行降階處理，引入系統(tǒng)的廣義動(dòng)量[25]：

(3)

(4)

根據(jù)Hamilton原理，系統(tǒng)的Hamilton動(dòng)力學(xué)方程為[25]：

(5)

其中，Q為廣義力，可通過(guò)虛功原理求得。當(dāng)系統(tǒng)受到姿態(tài)控制力矩M的作用時(shí)，將式(1)～式(4)代入方程(5)，得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

(6)

由方程(6)可知，太陽(yáng)能電池陣列所受的萬(wàn)有引力梯度力矩的表達(dá)式為：

(7)

2 準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)方案

本節(jié)給出準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的概念、數(shù)值構(gòu)造方法以及對(duì)日定向姿態(tài)和準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的比較。在本節(jié)的研究中，空間太陽(yáng)能電站的初始軌道條件是地球靜止軌道，系統(tǒng)的質(zhì)心位于OX軸的正方向。

2.1 其他俯仰姿態(tài)方案

對(duì)于萬(wàn)有引力梯度穩(wěn)定姿態(tài)，姿態(tài)角按如下規(guī)律變化：

α=0，γ=θ=ωGEOt

(8)

其中，ωGEO為地球靜止軌道的軌道角速度，由式(7)可知，萬(wàn)有引力梯度力矩Tg恒為零。此時(shí)剛體的一端始終指向地心，剛體在萬(wàn)有引力梯度力矩的作用下處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)[13]。這種方案穩(wěn)定性好、易于保持，但太陽(yáng)能電池陣列沒(méi)有保持面向太陽(yáng)，因此無(wú)法持續(xù)供電，發(fā)電效率低，需要在太陽(yáng)能電池陣列的兩面安裝太陽(yáng)能電池板，太陽(yáng)能電池板也沒(méi)有得到充分利用。

為了避免上述問(wèn)題，可以采用對(duì)日定向姿態(tài)方案，對(duì)太陽(yáng)能電池陣列施加姿態(tài)控制力矩，從而使其保持垂直于太陽(yáng)光方向在軌道平面的投影。由于太陽(yáng)初始時(shí)刻位于Y軸的正方向，從地球指向太陽(yáng)在軌道平面的投影的單位向量可由下式計(jì)算：

vSun=[-sin(ωSunt),cos(ωSunt)]T

(9)

其中，ωSun為地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的角速度。對(duì)日定向姿態(tài)方案的姿態(tài)角變化規(guī)律為：

(10)

由式(7)可知，姿態(tài)控制力矩隨時(shí)間呈正弦規(guī)律變化，幅值與系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成正比。因此對(duì)于大型的太陽(yáng)能電池陣列，需要消耗較多的控制燃料。

2.2 準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的概念

為了降低姿態(tài)控制燃料的消耗，同時(shí)使航天器有一定的指向能力，Elrod提出了準(zhǔn)慣性定向的姿態(tài)方案[22]。他的方案不考慮太陽(yáng)方向隨時(shí)間的變化，即太陽(yáng)一直位于Y軸正方向，為了節(jié)省姿態(tài)控制能量，方程(6)中的控制力矩M取為零。為了更清楚地闡述準(zhǔn)慣性定向姿態(tài)，取初始條件為

(11)

圖2 α的相圖Fig.2 Phase diagram of α

圖3 α隨時(shí)間的變化Fig.3 Dynamic response of α

圖4給出了準(zhǔn)慣性定向姿態(tài)的相圖，由圖4可知,γ作周期振動(dòng)，振幅約為±0.328 rad，γ的平均角度方向稱(chēng)為主方向，圖4所示的主方向?yàn)棣肞=0。為了更清晰地表示三種姿態(tài)方案的區(qū)別，圖5給出了這三種姿態(tài)方案的示意圖。

圖4 準(zhǔn)慣性定向姿態(tài)的相圖Fig.4 Phase diagram of quasi-inertial oriented attitude

Elrod提出準(zhǔn)慣性定向姿態(tài)的概念時(shí)，沒(méi)有考慮主方向需要隨時(shí)間變化的情形。而太陽(yáng)在慣性坐標(biāo)系XOY中的方向是按式(9)緩慢變化的，因此太陽(yáng)能電池陣列的主方向需要跟隨太陽(yáng)方向的變化，即采用Sincarsin提出的準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)。對(duì)于運(yùn)行在地球靜止軌道的空間太陽(yáng)能電站而言，不考慮太陽(yáng)方向的變化時(shí)，主方向應(yīng)為γP=0，一個(gè)準(zhǔn)慣性定向姿態(tài)的周期應(yīng)為一個(gè)軌道周期，即一個(gè)恒星日，且周期末時(shí)刻的γ和v值與周期初始時(shí)刻均相同，即：

γ(t=23×3600+56×60+4)=γ0=0

(12)

v(t=23×3600+56×60+4)=v0=vQI

(13)

式中：vQI為常數(shù)。當(dāng)考慮太陽(yáng)方向的改變時(shí)，主方向應(yīng)為γPS=ωSunt，準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的一個(gè)周期應(yīng)為一個(gè)太陽(yáng)日，且周期末時(shí)刻的v與周期初始時(shí)刻相同，周期末時(shí)刻的γ值與γPS的值相同，表示為：

(14)

v(t=24×3600)=v0=vQIS

(15)

式中：vQIS為常數(shù)。

2.3 準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的數(shù)值構(gòu)造

定義周期末的姿態(tài)誤差為

E=γ(t=24×3600)-24×3600×ωSun

(16)

通過(guò)選擇不同的v0，得到不同的E值，從而形成了從v0到E的映射E=f(v0)，其圖像如圖6所示。圖中的不連續(xù)點(diǎn)是由于當(dāng)v0從小到大經(jīng)過(guò)該點(diǎn)時(shí)，姿態(tài)角α從翻滾的狀態(tài)變成了擺動(dòng)的狀態(tài)[13]，從而產(chǎn)生了姿態(tài)誤差的不連續(xù)。從圖6可以看出，曲線在較大的v0范圍內(nèi)與橫軸只有一個(gè)交點(diǎn)，因此可以采用二分法求解映射E=f(v0)的零點(diǎn)，從而得到vQIS的準(zhǔn)確數(shù)值。為了提高收斂速度，也可以在較小的范圍內(nèi)采用弦割法。本文采用弦割法得到的初值約為vQIS=-0.7871676ωGEO，準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的γ響應(yīng)如圖7所示。同理可求得的準(zhǔn)慣性定向姿態(tài)初值為vQI=-0.7879522ωGEO。

圖6 不同v0下的周期末姿態(tài)誤差Fig.6 Attitude errors at the end of a period versus v0

圖7 準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的γ時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.7 Time history of γ for quasi-Sun-pointing attitude

2.4 太陽(yáng)光的捕捉率與姿態(tài)控制燃料比較

萬(wàn)有引力梯度穩(wěn)定姿態(tài)方案、對(duì)日定向姿態(tài)方案和準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)方案的不同之處主要有兩方面：第一是太陽(yáng)光的捕捉率η不同，在本文中定義為垂直于太陽(yáng)光方向的太陽(yáng)能電池陣列面積與太陽(yáng)能電池陣列面積之比；第二是控制力矩不同。在春分或秋分的一天時(shí)間內(nèi)，太陽(yáng)可認(rèn)為位于軌道平面內(nèi)，三種姿態(tài)方案的η隨時(shí)間變化規(guī)律如圖8所示。從圖8可以看出，對(duì)日定向姿態(tài)方案的太陽(yáng)光捕捉率恒為1；萬(wàn)有引力梯度穩(wěn)定姿態(tài)的太陽(yáng)光捕捉率按余弦函數(shù)的絕對(duì)值變化，在一天內(nèi)從一兩次變?yōu)?，再變?yōu)?，均值為0.637；而準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的太陽(yáng)光捕捉率在1附近作小幅度振動(dòng)，最小值為0.947，均值為0.973。值得注意的是，在萬(wàn)有引力梯度穩(wěn)定方案中的太陽(yáng)能電池陣列需要在正反兩面都安裝太陽(yáng)能電池板，否則發(fā)電效率減半，而對(duì)日定向和準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)方案中的太陽(yáng)能電池陣列只需在一面安裝太陽(yáng)能電池板，因而太陽(yáng)能電池板的利用率較高。如果不是春分或秋分，由于太陽(yáng)能電池陣列垂直于赤道平面，所以只能捕捉到太陽(yáng)光在赤道平面的分量，即圖8中所有點(diǎn)的數(shù)值應(yīng)乘以太陽(yáng)赤緯的余弦值。在以下分析中只考慮春分或秋分的情況。

圖8 三種姿態(tài)方案的太陽(yáng)光捕捉率(春分或秋分)Fig.8 Ratios of captured area of solar radiation to area of solar arrays (at equinoxes)

(17)

該力矩可采用一對(duì)力偶來(lái)提供，則每一個(gè)力的大小的變化規(guī)律應(yīng)為

F=|Tg/3200|

(18)

(19)

因而一年內(nèi)消耗的燃料約為36791 kg。

3 準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)控制

雖然準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)通過(guò)自身的運(yùn)動(dòng)避免了萬(wàn)有引力梯度力矩的影響，但初始時(shí)刻的微小誤差會(huì)隨時(shí)間放大，因此需要對(duì)太陽(yáng)能電池陣列的準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)進(jìn)行控制。

3.1 控制器設(shè)計(jì)

為了使太陽(yáng)能電池陣列在初始姿態(tài)誤差條件下收斂到準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)，并保持姿態(tài)的穩(wěn)定性，本文設(shè)計(jì)比例-微分控制器進(jìn)行姿態(tài)控制?？刂普`差定義為

e=α-α*

(20)

式中：α*是準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的姿態(tài)角。雖然α*沒(méi)有解析表達(dá)式，但可以通過(guò)數(shù)值方法得到α*在每一時(shí)刻的值。另外也可以對(duì)α*在每一時(shí)刻的值進(jìn)行快速傅里葉變換，從而用截?cái)嗟母道锶~級(jí)數(shù)近似地表示α*，這樣做的優(yōu)點(diǎn)是可以對(duì)α*進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)或積分等理論運(yùn)算?？刂屏乇磉_(dá)式如下：

(21)

(22)

式中：ωc為控制器的帶寬，ζ=0.7為控制器的阻尼比。數(shù)值仿真中將給出不同的控制器帶寬的控制效果。

3.2 控制效果數(shù)值仿真

圖9 控制誤差Fig.9 Control error

圖10 控制力矩Fig.10 Control moment

圖11 不同初始條件下的γs相圖Fig.11 Phase diagram of γs for different initial conditions

4 航天器運(yùn)動(dòng)對(duì)準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的影響

本節(jié)在前文的研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究系統(tǒng)的軌道運(yùn)動(dòng)、偏航姿態(tài)運(yùn)動(dòng)、滾轉(zhuǎn)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和結(jié)構(gòu)振動(dòng)對(duì)準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的影響規(guī)律。

4.1 軌道運(yùn)動(dòng)的影響

圖12 不同控制帶寬的控制器收斂區(qū)域Fig.12 Convergence domains of the controller for different bandwidths

圖13 軌道離心率對(duì)準(zhǔn)慣性定向姿態(tài)初值的影響Fig.13 Effect of orbital eccentricity on initial condition of quasi-inertial oriented attitude

圖14 橢圓軌道下準(zhǔn)慣性定向姿態(tài)的相圖Fig.14 Phase diagram of quasi-inertial oriented attitude in elliptic orbits

圖15 橢圓軌道下的γs相圖Fig.15 Phase diagram of γs in an elliptic orbit

接下來(lái)研究圓形軌道下軌道半徑對(duì)準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的影響。在圓形軌道假設(shè)條件下，動(dòng)力學(xué)方程(6)可簡(jiǎn)化為：

(23)

將上述動(dòng)力學(xué)方程的自變量變換為θ=ωt，得：

(24)

式中：上標(biāo)兩撇代表對(duì)θ求二階導(dǎo)數(shù)。由方程(24)可知，α隨著θ的變化規(guī)律跟軌道半徑(軌道角速度)無(wú)關(guān)，從而可以判斷在不同軌道半徑的圓形軌道，都存在準(zhǔn)慣性定向姿態(tài)和準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)。準(zhǔn)慣性定向姿態(tài)的初始條件與地球靜止軌道上的情況相同。

4.2 偏航和滾轉(zhuǎn)的影響

空間太陽(yáng)能電站在軌運(yùn)行時(shí)，需要對(duì)太陽(yáng)能電池陣列進(jìn)行姿態(tài)控制，以保持其姿態(tài)指向精度。在此情形下，可以認(rèn)為偏航運(yùn)動(dòng)、滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的角度以及相應(yīng)的角速度與俯仰運(yùn)動(dòng)相比都是小量。在地球質(zhì)心建立慣性坐標(biāo)系OXYZ，其中OZ軸與軌道平面垂直，OY軸指向初始時(shí)刻的太陽(yáng)在OXY平面的投影。將太陽(yáng)能電池陣列近似看作長(zhǎng)方體，oxyz為慣性主軸坐標(biāo)系，采用z-y-x順序的歐拉角對(duì)太陽(yáng)能電池陣列進(jìn)行姿態(tài)動(dòng)力學(xué)建模，分別表示為φ，θ和ψ，如圖16所示。

圖16 太陽(yáng)能電池陣列的三維簡(jiǎn)化模型Fig.16 Three dimensional simplified model for a solar array

姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和動(dòng)力學(xué)方程分別為[26]

(25)

(26)

式中：c和s分別代表cos和sin。式(26)中的Tg=[Tgx,Tgy,Tgz]T為萬(wàn)有引力梯度力矩[26]

Tg=3ω2n×(In)

(27)

式中：I為慣量矩陣，n=[nx,ny,nz]T為從衛(wèi)星指向地心的單位矢量，可由下式計(jì)算

n=A[-cocωt,-sinωt,0]T

(28)

式中：A為姿態(tài)矩陣。

當(dāng)θ,ψ,ωx和ωy均為小量時(shí)，可將sinθ和sinψ分別用θ和ψ代替，cosθ和cosψ均用1代替，且忽略小量相乘的項(xiàng)，則俯仰姿態(tài)的動(dòng)力學(xué)方程可從上述三維的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程中解耦出來(lái)：

(29)

式中：φ即為二維簡(jiǎn)化模型里的γ，因此φ-ωt可看作是α。通過(guò)將三維的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程忽略高階項(xiàng)，得到解耦的俯仰姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程，這說(shuō)明太陽(yáng)能電池陣列的偏航和滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)對(duì)俯仰運(yùn)動(dòng)的影響都是高階小量，在姿態(tài)受控的情況下可以忽略。

為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化方程(29)，設(shè)δ=(Iy-Ix)/Iz，對(duì)于如圖16所示長(zhǎng)、寬、高分別為l,w,h的太陽(yáng)能電池陣列，有

(30)

當(dāng)w/l的值變化時(shí)，δ的變化如圖17所示。由于太陽(yáng)能電池陣列的w通常比l小一兩個(gè)數(shù)量級(jí)，因此δ約為1。從而方程(29)可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為方程(23)，這說(shuō)明了本文將太陽(yáng)能電池陣列看作線型剛體的假設(shè)是有效的。由圖17可知，對(duì)于普通的衛(wèi)星，三個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比較接近，因此δ非常小，從而俯仰姿態(tài)受到萬(wàn)有引力梯度力矩的影響也比較小。

圖17 δ的變化規(guī)律Fig.17 Variation of δ

4.3 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響

圖18給出了柔性梁的控制誤差圖，由圖18可知，對(duì)日定向姿態(tài)的姿態(tài)誤差最大約為0.5°，而準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的誤差比對(duì)日定向姿態(tài)小一個(gè)數(shù)量級(jí)。圖19給出了梁的控制力矩，對(duì)日定向姿態(tài)需要的控制力矩最大值約為12 N·m，而準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的最大控制力矩僅為0.08 N·m。對(duì)日定向姿態(tài)的控制誤差和控制力矩均按三角函數(shù)的規(guī)律變化。在軌運(yùn)行過(guò)程中，梁的端點(diǎn)振動(dòng)情況如圖20所示。由圖20可知，對(duì)日定向姿態(tài)的梁端點(diǎn)振幅約為0.63 m，而準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的梁端點(diǎn)振幅約為0.017 m。

通過(guò)以上研究發(fā)現(xiàn)，在梁的結(jié)構(gòu)振動(dòng)影響下，準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)出現(xiàn)了較小的姿態(tài)誤差，從而需要控制力矩來(lái)維持，但姿態(tài)誤差和控制力矩都很小。同時(shí)，準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)下梁的振動(dòng)比對(duì)日定向姿態(tài)下梁的振動(dòng)幅值減小約40倍。

圖18 梁的姿態(tài)控制誤差Fig.18 Attitude control errors of the beam

圖19 梁的姿態(tài)控制力矩Fig.19 Attitude control moment of the beam

圖20 梁端點(diǎn)的振動(dòng)Fig.20 Vibration of the tip point of the beam

5 結(jié) 論

本文研究了針對(duì)大型太陽(yáng)能電池陣列俯仰姿態(tài)的準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)方案，并通過(guò)弦割法給出了準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的初值。此方案與以往的準(zhǔn)慣性定向姿態(tài)方案不同的是，此方案能適應(yīng)太陽(yáng)方向的長(zhǎng)期、緩慢變化。準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)在一天內(nèi)的平均發(fā)電效率能達(dá)到對(duì)日定向姿態(tài)的97.3%。對(duì)于Abacus空間太陽(yáng)能電站的離子推進(jìn)姿態(tài)控制方式而言，準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)每年能節(jié)省約36791 kg控制燃料。為了保證準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)了比例-微分控制器。通過(guò)數(shù)值仿真發(fā)現(xiàn)，當(dāng)控制器的帶寬大于ωc=5×10-5時(shí)，即可保證靜止軌道上的太陽(yáng)能電池陣列幾乎在所有初始條件下均收斂到準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)。最后，本文還討論了軌道運(yùn)動(dòng)、姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和結(jié)構(gòu)振動(dòng)對(duì)準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的影響。研究發(fā)現(xiàn)，在離心率不為零的情況下，存在準(zhǔn)慣性定向姿態(tài)但不存在準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)，而在離心率為零時(shí)軌道高度對(duì)準(zhǔn)慣性定向姿態(tài)沒(méi)有影響。在太陽(yáng)能電池陣列姿態(tài)受控的情況下，偏航運(yùn)動(dòng)和滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)對(duì)俯仰運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)的影響都是高階小量，從而可以忽略以簡(jiǎn)化分析過(guò)程。結(jié)構(gòu)的振動(dòng)會(huì)引起準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)出現(xiàn)微小的姿態(tài)誤差，從而需要姿態(tài)控制器維持；準(zhǔn)對(duì)日定向姿態(tài)所需要的姿態(tài)控制帶寬、姿態(tài)誤差、姿態(tài)控制力矩和結(jié)構(gòu)振動(dòng)幅值跟對(duì)日定向姿態(tài)相比都小1～2個(gè)數(shù)量級(jí)。