淺論面積計(jì)算方法

林朝瑜

摘 要：平面圖形的面積計(jì)算，一般是根據(jù)面積公式計(jì)算所得，如遇不規(guī)則圖形的面積，可以通過(guò)分割、轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形來(lái)解決。但如果需要提高精確度，可以借助平面圖形面積推導(dǎo)的起源——數(shù)方格來(lái)解決，數(shù)方格在數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用，需要在教學(xué)中加以重視。

關(guān)鍵詞：面積;數(shù)方格;不規(guī)則圖形

面積是什么？根據(jù)《“科普中國(guó)”科學(xué)百科詞條》中的定義，物體所占的平面圖形的大小，叫作它們的面積。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)平面圖形的面積計(jì)算已有了完整、系統(tǒng)的認(rèn)知，用所學(xué)知識(shí)能夠解決面積的相關(guān)問(wèn)題。

一、一次實(shí)踐活動(dòng)的討論

在六年級(jí)學(xué)習(xí)圓柱、圓錐的體積后，拓展介紹了柱狀體的體積計(jì)算方法。這時(shí)，一位學(xué)生問(wèn)操場(chǎng)上魚池的容積該怎么算。因?yàn)轸~池是個(gè)不規(guī)則的容器，學(xué)生每天上下學(xué)都愛(ài)路過(guò)時(shí)看看里面的蓮花、小魚，雖然很熟悉，但從沒(méi)思考過(guò)它的容積是多少。這個(gè)問(wèn)題提得很好，課堂上學(xué)生興奮地討論起來(lái)，學(xué)生都覺(jué)得只要用“底面積×高”即可，于是各個(gè)小組就著手完成這一實(shí)踐作業(yè)。

學(xué)生主要的計(jì)算方法有兩種，一種是把整個(gè)花壇看成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，而魚池雖是一個(gè)不規(guī)則圖形，但它的占地面積約是整個(gè)花壇的一半左右，測(cè)出整個(gè)花壇的長(zhǎng)、寬、高分別是8.85米、5.05米、0.6米，那么魚池的容積約是13.4立方米。

第二種方法是把魚池所在平面分成近似的梯形和平行四邊形，測(cè)出梯形的上底、下底和高分別是3.1米、5.05米和3.45米，而平行四邊形的底、高分別是4.4米、3.1米，這樣算出魚池的占地面積后，再乘上高0.6米，體積約是16.62立方米。

當(dāng)在課堂上討論兩種方法時(shí)，大家覺(jué)得都有道理，但為什么誤差這么大呢？學(xué)生討論的結(jié)果一致認(rèn)為，魚池是個(gè)不規(guī)則圖形，計(jì)算它的占地面積時(shí)不精確，所以才形成了兩種較大的誤差。那么生活中很多不規(guī)則的物體，怎么才能精確地算出它們的面積？這又成了學(xué)生繼續(xù)探索的問(wèn)題。

當(dāng)學(xué)生明確了問(wèn)題的關(guān)鍵在于求魚池這個(gè)不規(guī)則圖形的占地面積時(shí)，立即想到了五年級(jí)所學(xué)的內(nèi)容，可以用數(shù)方格的方法求出不規(guī)則圖形的面積。于是學(xué)生將魚池平面圖畫上方格，用數(shù)方格的方法，算出魚池的圖上面積，再測(cè)算比例尺，根據(jù)比例算出實(shí)際面積為27.2平方米，那么魚池的容積就是16.33立方米。這時(shí)再在全班進(jìn)行討論，雖然與第二種算法差距不大，大家都比較認(rèn)同這種算法。與原先對(duì)兩種根據(jù)近似圖形計(jì)算面積的質(zhì)疑相比，大家更覺(jué)得這樣算出來(lái)的面積精確度高，適合解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。討論時(shí)學(xué)生再次思考，這種數(shù)方格的方法精確度比前兩種高，適宜解決不規(guī)則圖形的面積，如果對(duì)精確度要求更高一些，可以怎么辦呢？前兩種方法解決不了的問(wèn)題，數(shù)方格一樣能夠解決，如果需要，可以把不是整格的方格細(xì)分成100格，再去數(shù)一數(shù)整格、半格各有多少，這樣得到的精確度又更高了一些。通過(guò)這次完整的實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生對(duì)面積可以怎樣算的認(rèn)識(shí)有了明顯提高，針對(duì)不同情況選擇不同方法解決問(wèn)題有了更實(shí)際的體會(huì)。

二、不同方法的思考

對(duì)于面積的學(xué)習(xí)，學(xué)生的認(rèn)知是較為系統(tǒng)的。從開(kāi)始掌握長(zhǎng)方形的面積計(jì)算之后，各種平面圖形的面積學(xué)習(xí)在此基礎(chǔ)上有邏輯地順序展開(kāi)，學(xué)生通過(guò)對(duì)已知平面圖形面積的轉(zhuǎn)化推導(dǎo)出新圖形的面積計(jì)算方法，最后六年級(jí)下冊(cè)的總復(fù)習(xí)中還對(duì)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的整理，進(jìn)一步明確了平面圖形面積推導(dǎo)的關(guān)系。所以學(xué)生面對(duì)平面圖形的面積問(wèn)題時(shí)，首先的想法是“算”，通過(guò)直接計(jì)算或轉(zhuǎn)化進(jìn)行計(jì)算，即使正如本次實(shí)踐活動(dòng)中需求魚池占地面積的實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生還是想通過(guò)計(jì)算直接解決。而只有在遇到實(shí)際的困難或是老師給予明確的提示后，學(xué)生才會(huì)想到用數(shù)方格的方法來(lái)解決問(wèn)題?？梢?jiàn)，數(shù)方格對(duì)于學(xué)生的面積學(xué)習(xí)還是有著很大的價(jià)值，我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中應(yīng)更多地關(guān)注、引導(dǎo)。

1.貼近生活，易于理解

以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，在“圖形與幾何”內(nèi)容的教學(xué)中，方格圖或格點(diǎn)圖共出現(xiàn)了69次。最早出現(xiàn)于一年級(jí)上冊(cè)第6頁(yè)“比一比”中比較線段的長(zhǎng)短，在學(xué)生沒(méi)有認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度、面積單位之前，借助數(shù)方格，也可以進(jìn)行圖形相關(guān)學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)講求結(jié)構(gòu)與邏輯，很多老師和學(xué)生認(rèn)為，長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式是平面圖形面積計(jì)算的“源頭”，實(shí)際它只是后續(xù)學(xué)習(xí)其他平面圖形面積推導(dǎo)轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)。如果必須“追根溯源”，我們回想一下，長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式是怎樣推導(dǎo)出來(lái)的呢？它也是通過(guò)數(shù)方格的方法得到的，可見(jiàn)，數(shù)方格才是平面圖形面積學(xué)習(xí)的真正“源頭”。面積的計(jì)算需要面積單位，而小方格是最基礎(chǔ)的面積單位，后續(xù)許多平面圖形面積都是借助方格圖這個(gè)情境呈現(xiàn)的，所以這個(gè)“源頭”貼近學(xué)生的生活，它可見(jiàn)、可數(shù)、可比較，易于理解。

實(shí)際學(xué)習(xí)中，學(xué)生很少會(huì)主動(dòng)用數(shù)方格的方法解決問(wèn)題，一方面和很少遇到直接計(jì)算解決不了的問(wèn)題有關(guān)，另一方面，也和實(shí)際教學(xué)中老師往往關(guān)注知識(shí)點(diǎn)，著力比較面積間的聯(lián)系有關(guān)。而仔細(xì)回顧一下，平面圖形的面積教學(xué)，教材都是以方格圖的情境來(lái)呈現(xiàn)的，在有關(guān)周長(zhǎng)、面積的練習(xí)中，教材也多以方格圖為背景進(jìn)行出示。如果老師在教學(xué)中能對(duì)數(shù)方格的教學(xué)加以重視，學(xué)生就會(huì)積累許多學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，有了這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，即使學(xué)習(xí)中遇到了困難，學(xué)生也會(huì)主動(dòng)回歸方法的本源，從而解決問(wèn)題。

2.精確度高，操作性強(qiáng)

數(shù)方格雖然在實(shí)際計(jì)算面積時(shí)應(yīng)用較少，但通過(guò)上面的實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生還是能夠發(fā)現(xiàn)，在解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，尤其是解決不規(guī)則圖形的面積時(shí)，它還是有著很大用處的。用數(shù)方格解決此類問(wèn)題，精確度較高，而且如果需要，它還可以把每一個(gè)小方格繼續(xù)細(xì)分，這樣得出的精確度更高，所以它是平面圖形面積計(jì)算的基礎(chǔ)，也是很重要的補(bǔ)充，在教學(xué)中應(yīng)該更多地進(jìn)行關(guān)注。

在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生正式學(xué)習(xí)面積之前，共有12次接觸方格圖的機(jī)會(huì)，從開(kāi)始的數(shù)長(zhǎng)度發(fā)展到數(shù)面積，學(xué)生的抽象思維能力也是一個(gè)逐步提升的過(guò)程。一開(kāi)始數(shù)方格是數(shù)格邊，有幾個(gè)格邊，就有幾個(gè)長(zhǎng)度單位，進(jìn)而過(guò)渡到之后的數(shù)方格，有幾個(gè)小格就有幾個(gè)面積單位，學(xué)生在方格圖中畫圖形、比長(zhǎng)度、算面積，都是從最可見(jiàn)的直接計(jì)量入手，等學(xué)習(xí)了計(jì)量單位、計(jì)量方法后，就可逐步過(guò)渡到間接測(cè)量。如果老師們每次在教學(xué)中都能組織好，那么學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)操作中可以積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，借助數(shù)方格活動(dòng)，會(huì)讓抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)更直觀，會(huì)推動(dòng)學(xué)生的認(rèn)知水平由直觀操作發(fā)展到抽象概括，具象認(rèn)知發(fā)展到抽象認(rèn)知，思維能力得到逐步提升的同時(shí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)情感也會(huì)有很大幫助。

3.體會(huì)數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)魅力

在實(shí)際生活中，如需求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，可以借助專業(yè)的信息技術(shù)軟件進(jìn)行計(jì)算。但在學(xué)習(xí)生活中，數(shù)方格還是求平面圖形面積的基礎(chǔ)，也是最簡(jiǎn)易可行的操作方法。根據(jù)實(shí)際需要，可以對(duì)方格細(xì)分程度進(jìn)行調(diào)控，進(jìn)而控制面積的精度，這本身就是數(shù)學(xué)中極限思想的一種體現(xiàn)。

數(shù)學(xué)來(lái)源于數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要，同時(shí)也來(lái)源于人們實(shí)踐活動(dòng)的需要。正是因?yàn)槿藗兊膶?shí)踐活動(dòng)中有著對(duì)面積度量的需要，所以才慢慢摸索出比較簡(jiǎn)易可操作的方法，最初的度量就是看被測(cè)對(duì)象有幾個(gè)度量單位，基于此的理解，逐漸發(fā)展到面積計(jì)算公式的運(yùn)用，而公式也只是對(duì)度量過(guò)程的一種優(yōu)化與抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)。而這一過(guò)程不正是學(xué)生學(xué)習(xí)面積計(jì)算的過(guò)程嗎？如果對(duì)教材的編排意圖有深入的理解，重視數(shù)方格在面積教學(xué)中的意義，那么不僅能讓學(xué)生真正掌握面積計(jì)算的方法，還能體會(huì)數(shù)方格的思考價(jià)值，從簡(jiǎn)單、直觀到豐富、抽象，形成了具有發(fā)展力的理解認(rèn)知，初步體會(huì)度量思想的精髓，感悟數(shù)學(xué)的魅力所在。

因此，數(shù)方格求面積的方法對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)中的面積學(xué)習(xí)有著很重要的意義，雖然有些麻煩，但如能讓學(xué)生真正經(jīng)歷這樣“慢”的學(xué)習(xí)過(guò)程，后續(xù)的學(xué)習(xí)就會(huì)有更“快”更廣闊的生長(zhǎng)與發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

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編輯 李建軍