ZC序列及其調(diào)制的OFDM信號波形特性研究

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院， 安徽合肥 230037)

0 引言

OFDM信號波形具備波形捷變、抗干擾、低截獲的性能優(yōu)勢，同時有應(yīng)用于雷達(dá)通信一體化、分布式一體化電子信息系統(tǒng)等新體制雷達(dá)的潛力，具有廣闊的應(yīng)用前景，是現(xiàn)階段各國關(guān)于雷達(dá)波形的研究熱點之一。但同時，OFDM信號波形在實際應(yīng)用上存在著兩大主要缺陷[1]：1)發(fā)射波形的包絡(luò)峰均比(PMEPR)較高，導(dǎo)致射頻放大器功率效率低。OFDM信號包絡(luò)是時變的，由于雷達(dá)發(fā)射機(jī)的功率放大器一般都不是線性的，且其動態(tài)范圍有限，當(dāng) OFDM 信號這種變化范圍較大的信號通過非線性部件(例如進(jìn)入放大器的非線性區(qū)域時)，信號會產(chǎn)生非線性失真，產(chǎn)生諧波，造成較明顯的頻譜擴(kuò)展干擾以及帶內(nèi)信號畸變，從而導(dǎo)致整個雷達(dá)系統(tǒng)性能的下降，而且同時還會增加 A/D 和 D/A 轉(zhuǎn)換器的復(fù)雜度并降低它們的準(zhǔn)確性。2)對OFDM的模糊函數(shù)研究表明，大多數(shù)OFDM 雷達(dá)信號具有圖釘狀模糊函數(shù)，這就意味著 OFDM 雷達(dá)同時具備距離高分辨和多普勒高分辨，不存在距離多普勒耦合。然而，圖釘狀的模糊函數(shù)也使 OFDM 雷達(dá)信號成為“多普勒敏感”信號，在回波處理時如果匹配濾波器存在細(xì)微的多普勒失配，將導(dǎo)致濾波器性能迅速下降。大量的研究圍繞解決這兩個問題展開，其中，研究適當(dāng)?shù)腛FDM信號調(diào)制碼字是解決這兩個問題的一種重要手段。

ZC作為碼字調(diào)制的OFDM信號被廣泛地用于4G通信中，用作時頻同步序列。文獻(xiàn)[2-4]均說明了ZC序列作為碼字調(diào)制的OFDM符號具有良好的相關(guān)特性。文獻(xiàn)[2]通過比較在不同信噪比條件下ZC序列調(diào)制的OFDM符號與PN序列調(diào)制的OFDM符號、通信符號自身CP和修正過的CP四種符號序列作為時頻同步序列進(jìn)行同步的同步精度，說明了ZC序列調(diào)制的OFDM符號在低信噪比條件仍能保持較高的同步精度；文獻(xiàn)[3]比較了在不同信噪比條件下分別利用PN序列調(diào)制的OFDM符號和ZC序列調(diào)制的OFDM符號作為同步序列進(jìn)行通信情況下的通信誤碼率，說明了在信噪比從-10 dB到15 dB的條件下，ZC序列調(diào)制的OFDM符號作為同步序列進(jìn)行通信的通信誤碼率明顯要低于PN序列調(diào)制的OFDM符號作為同步序列進(jìn)行通信的通信誤碼率；文獻(xiàn)[4]比較了在信噪比從-10 dB到4 dB的條件下，ZC序列調(diào)制的OFDM符號作為同步序列進(jìn)行通信的通信誤碼率明顯要低于Gold序列調(diào)制的OFDM符號作為同步序列進(jìn)行通信的通信誤碼率。

僅僅基于用于通信同步的相關(guān)性無法說明ZC序列調(diào)制的OFDM信號作為雷達(dá)信號的探測性能，文章重點研究了ZC序列調(diào)制的OFDM信號的峰均比特性和匹配特性以及多普勒容限特性，并比較了ZC序列調(diào)制的OFDM信號波形與線性調(diào)頻信號波形的模糊函數(shù)特性，論證了ZC序列調(diào)制的OFDM信號作為雷達(dá)探測信號的可行性。

1 ZC序列的定義及其相關(guān)性質(zhì)

ZC序列(又名Zadoff-Chu序列)的定義[5]如下：

k=0,1,2,…,N-1

(1)

式中,WN=e-j2π/N,N為序列的長度，μ∈N+為序列的根序列，μ和N滿足gcd(μ,M)=1?？筛膶憺槿缦滦问剑?/p>

k=0,1,2,…,N-1

(2)

式中，cf=Nmod 2，q∈Z為參數(shù)。

OFDM信號的調(diào)制方式提供了一種在頻域上設(shè)計信號波形的辦法。OFDM信號的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(3)

式中，fk=f0+kΔf，f0為起始頻率，Δf為頻率間隔。欲表示信號的采樣信號，對式(3)以Ts(1/fs)為間隔周期進(jìn)行采樣，令t=nTs，有

(4)

若令起始頻率f0=0，則頻率間隔為Δf=1/NTs=fs/N，即頻率間隔為采樣頻率的1/N，則得OFDM信號的采樣信號序列表達(dá)式：

(5)

式(3)、(4)、(5)表達(dá)了調(diào)制序列xk與OFDM信號的采樣信號Qn的離散傅里葉變換關(guān)系，也表達(dá)了調(diào)制序列xk的特性，即OFDM信號的頻域特性。

1.1 ZC序列的傅里葉不變性

n=0,1,2,…,N-1

(6)

注意到文獻(xiàn)[6]：

ejπ(μ×(μ-1n)×(μ-1n+cf+2q))/N×

e-jπ[μ(k+μ-1n)(k+μ-1n+cf+2q)]/N

(7)

式中，μ-1為μ關(guān)于1模N的乘法逆元，即滿足μ×μ-1≡1modN。因此ZC序列Zμ(k)的傅里葉變換可寫作[7]：

n=0，1,2，…，N-1

(8)

有

(9)

所以有

n=0,1,2,…,N-1

(10)

結(jié)合式(6)、 (7)、 (8)、 (9)、 (10)可得ZC序列經(jīng)過傅里葉變化后仍然是ZC序列，且經(jīng)過傅里葉變換后的ZC序列的根植μ-1與原ZC序列的根植μ滿足μ×μ-1≡1modN。同理，ZC系列經(jīng)過逆傅里葉變換也有同樣的性質(zhì)。表1給出了在N=67，cf+2q=1情況下，ZC序列的部分根植和其對應(yīng)的傅里葉變化后的根植。

表1 ZC序列原始根植與傅里葉變換后序列根植對應(yīng)表

根據(jù)ZC序列的傅里葉不變性和OFDM信號中調(diào)制序列和OFDM信號采樣序列之間的關(guān)系可得：基于ZC序列調(diào)制的OFDM信號的采樣序列仍然是ZC序列，ZC序列的特性即OFDM信號的時域特性和頻域特性。

1.2 ZC序列的循環(huán)相關(guān)性

定義ZC序列的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)：

n=1,2,3,…,N-1

(11)

經(jīng)公式推導(dǎo)[8]有

r0=N,rn=0,n=1,2,3,…,N-1

(12)

對N=60,cf+2q=0,μ=7的ZC序列的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)仿真如圖1所示。

圖1 ZC序列的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)仿真

1.3 ZC序列的低峰均比特性

將ZC序列的定義式用歐拉公式展開可得

Zμ(k)=e-jπμk(k+cf+2q)/N=

cos(πμk(k+cf+2q)/N)-

jsin(πμk(k+cf+2q)/N)

j2=-1

(13)

對ZC序列的實部和虛部進(jìn)行峰均比PAR(real)、PAR(imag)計算：

PAR(real)=

0≤k≤N-1

PAR(imag)=

0≤k≤N-1

(14)

易得

Max{cos(πμk(k+cf+2q)/N)}≈

Max{sin(πμk(k+cf+2q)/N)}≈1

(15)

注意到文獻(xiàn)[9]：

(16)

由式(15)、 (16)可得

PAR(real)≈PAR(imag)≈2=3 dB

(17)

仿真如圖2所示。

圖2 不同長度ZC序列的峰均比

1.2節(jié)和1.3節(jié)分別說明了ZC序列的循環(huán)自相關(guān)特性和低峰均比特性，又根據(jù)1.1節(jié)有ZC序列的特性既反映ZC序列調(diào)制的OFDM信號波形的頻域特性又反映其頻域特性，可以得出ZC序列調(diào)制的OFDM信號波形具有1.2節(jié)和1.3節(jié)所得出的循環(huán)自相關(guān)特性和低峰均比特性。

2 ZC序列調(diào)制的OFDM信號波形的探測特性研究

為充分論證ZC序列調(diào)制的OFDM信號的探測特性，將ZC序列調(diào)制的OFDM信號和線性調(diào)頻信號的模糊函數(shù)、距離分辨特性、頻率分辨特性進(jìn)行對比分析，并提出匹配特性檢測算法和多普勒容限特性檢測算法，用以對比分析ZC序列調(diào)制的OFDM信號波形和線性調(diào)頻信號波形的匹配特性和多普勒容限特性。

線性調(diào)頻信號的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

G(t)=ej(2πfct+πkt2)

(18)

式中，f0為起始頻率，k為頻率調(diào)制斜率，k=B/t。定義其復(fù)包絡(luò)信號為

(19)

2.1 ZC序列調(diào)制的OFDM信號波形的模糊函數(shù)分析

由式(3)，ZC序列調(diào)制的OFDM信號波形的復(fù)包絡(luò)信號:

(20)

作為探測回波，在雷達(dá)接收處，信號波形表現(xiàn)為時延特性和因探測目標(biāo)的徑向運動導(dǎo)致的多普勒特性。現(xiàn)假設(shè)信號波形的時延為τ，探測目標(biāo)有徑向速度為υ，電磁波傳播速度為c,c=3×108m/s，信號在傳播過程中信號衰減為原來的A倍，則信號回波可表示為

(21)

模糊函數(shù)作為雷達(dá)探測波形分析的重要工具，它可以刻畫波形與相應(yīng)匹配濾波器的特征，通過分析波形的模糊函數(shù)，可以得到雷達(dá)系統(tǒng)在采用最優(yōu)匹配濾波處理時的距離分辨率、速度分辨率與多普勒容限特性。連續(xù)時間信號的模糊函數(shù)的定義為[10]

(22)

式中，E為信號的總能量。利用傅里葉變換性質(zhì)，式(22)可得到一種等效的表示形式：

(23)

(24)

對于離散時間序列，即雷達(dá)的碼字序列，模糊函數(shù)定義為[11]

(26)

由于OFDM信號的離散序列是其調(diào)制序列的離散傅里葉逆變換，也即調(diào)制序列就是OFDM離散序列所對應(yīng)的頻域序列，可得ZC序列調(diào)制的OFDM信號波形模糊函數(shù)為

(27)

線性調(diào)頻信號和ZC序列調(diào)制的OFDM信號波形和線性調(diào)頻信號波形的模糊函數(shù)仿真如圖3(a)和圖3(b)所示。

(a) ZC序列調(diào)制的OFDM信號的模糊函數(shù)

(b) 線性調(diào)頻信號的模糊函數(shù)圖3 ZC序列調(diào)制的OFDM信號和線性調(diào)頻信號的模糊函數(shù)圖

由圖3可以看出，ZC序列調(diào)制的OFDM信號波形的模糊函數(shù)和線性調(diào)頻信號波形的模糊函數(shù)呈現(xiàn)相同的“斜刀刃”特性。

2.2 匹配特性檢測算法以及ZC序列調(diào)制的OFDM信號波形的匹配特性研究

雷達(dá)信號回波處理時通常采用脈沖壓縮的方法進(jìn)行處理，良好的探測信號具有回波脈沖壓縮處理后主副瓣比大的特點。定義信號波形在噪聲環(huán)境下經(jīng)過脈沖壓縮處理后主副瓣比的特性為信號波形的匹配特性。定義匹配性檢測函數(shù)rp(Δt)：

(28)

(29)

可得離散匹配性檢測函數(shù)rp(n)：

(30)

由采樣定理可得時長t是采樣時間間隔長度Ts與采樣點數(shù)M的乘積，反之有

M=Ts×fs

(31)

為比較同等時寬、帶寬條件下ZC序列調(diào)制的OFDM信號和線性調(diào)頻信號的探測特性，不妨設(shè)信號采樣率為fs=20 MHz、帶寬為B=10 MHz，時寬長度為t=10 μs，根據(jù)式(31)有M=200。由式(4)和式(5)可得調(diào)制序列的長度N為

N=B×t

(32)

ZC序列的OFDM信號時寬為t=10 μs,帶寬B=10 MHz，可得N=100。按照同等的時寬和帶寬參數(shù)設(shè)置的線性調(diào)頻信號基帶信號[13]參數(shù)為f0=0，k=B/t=1(MHz/μs)。

在噪聲σSNR(m)=10 dB的情況下，根據(jù)式(30)，對μ=1，M=100的ZC序列調(diào)制的OFDM信號和線性調(diào)頻信號的自身匹配特性分析如圖4和圖5所示。

(a) ZC序列調(diào)制的OFDM信號的匹配性檢測函數(shù)

(b) ZC序列調(diào)制的OFDM信號的匹配性檢測函數(shù)(歸一化)圖4 噪聲σSNR(m)=10 dB的情況下ZC序列調(diào)制的OFDM信號的匹配特性

(a) 線性調(diào)頻信號的匹配性檢測函數(shù)

(b) 線性調(diào)頻信號的匹配性檢測函數(shù)(歸一化)圖5 噪聲σSNR(m)=10 dB的情況下線性調(diào)頻信號的匹配特性

信號的噪聲σSNR(m)從1 dB到20 dB情況下，ZC序列調(diào)制的OFDM信號和線性調(diào)頻信號的自身匹配性檢測函數(shù)的最小主副瓣比[14]比較如圖6所示。

圖6 不同信噪比下ZC序列調(diào)制的OFDM信號和線性調(diào)頻信號的匹配性檢測函數(shù)的最小主副瓣比

從圖6可以看出，在噪聲信噪比從1 dB到20 dB情況下,ZC序列調(diào)制的OFDM信號與線性調(diào)頻信號有幾乎相同的優(yōu)良匹配特性，優(yōu)良的匹配特性決定了在雷達(dá)波形能量在相同情況下可以獲得較遠(yuǎn)的探測距離。

2.3 多普勒容限檢測算法以及ZC序列調(diào)制的OFDM信號的多普勒容限特性研究

定義雷達(dá)探測信號受多普勒效應(yīng)影響后，其回波在進(jìn)行脈沖壓縮處理后的最大峰值能量為其多普勒容限特性。多普勒容限檢測函數(shù)為

(33)

同理，對式(33)兩邊以Ts(1/fs)為間隔周期進(jìn)行采樣，令t=nTs，有

(34)

可得離散多普勒容限檢測函數(shù)rq(m)：

(35)

根據(jù)式(35)，在同等采樣率fs=20 MHz、帶寬B=10 MHz、時寬長度t=10 μs的條件下，對ZC序列調(diào)制的OFDM信號的多普勒容限特性和線性調(diào)頻信號的自身多普勒容限特性分析如圖7所示。

(a) ZC序列調(diào)制的OFDM信號的多普勒容限特性

(b) 線性調(diào)頻信號的多普勒容限特性圖7 ZC序列調(diào)制的OFDM信號和線性調(diào)頻信號的多普勒容限特性分析

仿真結(jié)果表明，ZC序列調(diào)制的OFDM信號和線性調(diào)頻信號擁有相同的多普勒容限特性。

2.4 多普勒估計

3 結(jié)束語

文章證明了ZC序列碼調(diào)制的OFDM信號具有低峰均比特性、寬多普勒容限特性，克服了大多數(shù)OFDM信號所面臨的峰均比過大導(dǎo)致信號放大失真、多普勒敏感導(dǎo)致匹配濾波器失效的兩大難題。通過對ZC序列碼調(diào)制的OFDM信號和線性調(diào)頻信號的對比研究分析，得到ZC序列碼調(diào)制的OFDM信號具有和線性調(diào)頻信號相同的 “斜刀刃型”的模糊函數(shù)特性以及不亞于線性調(diào)頻信號的高距離分辨率特性、高速度分辨率特性和良好的匹配特性的結(jié)論。但同時，由于ZC序列碼調(diào)制的OFDM信號擁有“斜刀刃型”的模糊函數(shù)特性，因此該信號存在著距離和多普勒頻移耦合的現(xiàn)象；并且該信號的匹配濾波器輸出壓縮脈沖包絡(luò)仍近似為sinc(x)函數(shù)，需要采取數(shù)字加權(quán)的辦法并以增大主瓣寬度為代價來降低副瓣，這在一定程度上也降低了系統(tǒng)的靈敏度。