基于Lyapunov穩(wěn)定性的船舶航向保持控制器非線性反饋改進(jìn)

馬超，張顯庫(kù)，楊光平

大連海事大學(xué)航海動(dòng)態(tài)仿真與控制實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連116026

0 引 言

在海上航行的船舶為盡快到達(dá)目的港，降低航行途中的燃料消耗，最為理想的航行方式就是沿著計(jì)劃航線航行。但因風(fēng)、浪、流等的影響，一般船舶很難沿計(jì)劃好的航線航行。因此，設(shè)計(jì)具有強(qiáng)魯棒性的控制器以克服外部擾動(dòng)，對(duì)于保證船舶沿設(shè)定的航線航行十分必要。

針對(duì)這一問(wèn)題，眾多學(xué)者提出了很多先進(jìn)的控制算法。其中，反步遞推算法是解決非線性控制問(wèn)題的一種典型方法，也是近幾年船舶運(yùn)動(dòng)非線性控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)［1］，在該研究中，出現(xiàn)了許多采用混合方法增加其適應(yīng)性或魯棒性的研究成果。例如，張顯庫(kù)等［2］將反步遞推算法與魯棒控制算法相結(jié)合，使得算法的魯棒性得以提高，在將上述算法應(yīng)用到船舶航向保持控制中后，取得了較好的仿真結(jié)果。在使用反步遞推算法設(shè)計(jì)非線性控制器時(shí)，一般分為兩步或是多步。如果被控對(duì)象復(fù)雜，最后的非線性控制器未定參數(shù)多，則設(shè)計(jì)過(guò)程復(fù)雜，用常規(guī)的反步遞推方法設(shè)計(jì)出的非線性控制率一般都對(duì)消了系統(tǒng)的非線性項(xiàng)［3-4］。董文瀚等［5］提出了一種直接模型，其通過(guò)參考反步遞推自適應(yīng)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，克服了傳統(tǒng)自適應(yīng)律引入規(guī)范化信號(hào)后使系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程品質(zhì)下降的缺點(diǎn)［6］。張顯庫(kù)［7］在使用反步遞推方法設(shè)計(jì)船舶航向保持控制器的問(wèn)題上做出了貢獻(xiàn)。隨后，張顯庫(kù)［8］通過(guò)構(gòu)造簡(jiǎn)單的Lyapunov函數(shù)，將非線性控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程由兩步簡(jiǎn)化為了一步，并且設(shè)計(jì)出的非線性控制律保留了系統(tǒng)的非線性項(xiàng)，但其仿真實(shí)驗(yàn)僅用簡(jiǎn)單的白噪聲模擬了風(fēng)浪的影響。本文運(yùn)用文獻(xiàn)［8］設(shè)計(jì)的控制器在復(fù)雜風(fēng)浪模型下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其控制效果不是特別理想。為了改進(jìn)控制效果，減少系統(tǒng)能耗，本文擬在文獻(xiàn)［8］所設(shè)計(jì)控制器的基礎(chǔ)上，引入非線性反饋，即使用指數(shù)函數(shù)處理后的航向誤差代替航向誤差本身，設(shè)計(jì)基于Lyapunov穩(wěn)定性原理的具有非線性反饋的控制器，并將所設(shè)計(jì)的控制器用于“育鵬”輪船舶模型，實(shí)施航向保持控制。

1 船舶模型的建立與驗(yàn)證

以大連海事大學(xué)的校船“育鵬”輪為例，參考文獻(xiàn)［1，9］，建立“育鵬”輪Nomoto船舶運(yùn)動(dòng)響應(yīng)模型，如圖1所示。圖中：δ為舵角；δr為舵角輸入；δe為舵角誤差；為轉(zhuǎn)舵速率；為最大轉(zhuǎn)舵速率；δD為干擾；ψ為航向；為轉(zhuǎn)向速率；s為拉普拉斯算子；k為旋回性指數(shù)；T為追隨性指數(shù)。

圖1“育鵬”輪非線性船舶模型Fig.1 The nonlinear model of ship Yu Peng

其非線性二階Nomoto船舶運(yùn)動(dòng)響應(yīng)模型如式（1）所示。

采用表1所示“育鵬”輪的船舶壓載狀態(tài)數(shù)據(jù)，利用Matlab軟件的Simulink工具箱，對(duì)建立的“育鵬”輪非線性Nomoto船舶運(yùn)動(dòng)響應(yīng)模型進(jìn)行壓載右旋回仿真實(shí)驗(yàn)，并與實(shí)船壓載右旋回測(cè)試進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖2所示。

表1“育鵬”輪船舶參數(shù)Table 1 Parameters of ship Yu Peng

圖2 船舶右旋回仿真實(shí)驗(yàn)與實(shí)船測(cè)試對(duì)比Fig.2 The comparison of simulation and real ship test for ship Yu Peng

仿真得到的橫向戰(zhàn)術(shù)直徑為3.10L，實(shí)船測(cè)試所得橫向戰(zhàn)術(shù)直徑為3.34L；二者所得的縱向戰(zhàn)術(shù)直徑基本相等。經(jīng)對(duì)比可得，仿真結(jié)果的橫向符合度為92.8%，整體符合度為96.0%，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了模型的有效性［10］。

2 控制器的設(shè)計(jì)

式中：y∈R，為系統(tǒng)輸出；u為要設(shè)計(jì)的控制律，u=δ。

令

若最后的控制器鎮(zhèn)定狀態(tài)變量為z1和z2，則原系統(tǒng)在平衡點(diǎn)x1=ψR(shí)，x2=r=0處達(dá)到一致、漸近穩(wěn)定。

構(gòu)造一個(gè)Lyapunov函數(shù)：

設(shè)計(jì)船舶非線性控制律，使實(shí)際船艏方向ψ跟隨期望航向ψR(shí)。令x1=ψ，

由于z1和z2之間存在微分關(guān)系，若z2被鎮(zhèn)定到平衡點(diǎn)0處，則z1同時(shí)也被鎮(zhèn)定［8］。這是因?yàn)槿魖2被鎮(zhèn)定到平衡點(diǎn)0處，即，則x1為定值，同時(shí)ψR(shí)也為定值，由此可知z1同時(shí)被鎮(zhèn)定。

z1和z2之間的這種微分關(guān)系在實(shí)際系統(tǒng)中有一定的普遍性。為簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)過(guò)程，構(gòu)造V1時(shí)沒(méi)有包含z1的信息，但要保證適當(dāng)選擇控制律，使中含有z1。最后，同時(shí)鎮(zhèn)定z1和z2。

式中，k1＞0，ω＞1，兩者均為控制器設(shè)計(jì)參數(shù)。

將式（11）代入式（10），由式（2）～式（9），可得

根據(jù)Young式不等式［12］，下列不等式成立：

將式（13）代入式（12），有

式中，h為系統(tǒng)采樣周期。式（14）中，用x2來(lái)近似并非嚴(yán)格遵循數(shù)學(xué)上導(dǎo)數(shù)的定義，但其在控制工程中是可以接受的。

因?yàn)閎，α，β均大于0，所以只要下列不等式成立，

通過(guò)求解不等式（15）～式（16），有

仿真實(shí)驗(yàn)的采樣周期一般滿(mǎn)足h≤1 s，本文選取的采樣時(shí)間h=0.2 s，滿(mǎn)足要求。此時(shí)，系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)ω在區(qū)間（1.35，2.23）內(nèi)必能保證恒成立。

由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知，本文所設(shè)計(jì)的控制律（式10）能夠使整個(gè)系統(tǒng)被鎮(zhèn)定，從而系統(tǒng)在平衡點(diǎn)x1=ψR(shí)，x2=0處達(dá)到一致漸近穩(wěn)定。式（10）的非線性控制律求解過(guò)程只構(gòu)造了一個(gè)Lyapunov函數(shù)，且控制律中只有2個(gè)待定參數(shù)k1，ω，控制器設(shè)計(jì)過(guò)程和參數(shù)選定均較簡(jiǎn)單。

3 船舶壓載仿真實(shí)驗(yàn)及分析

以大連海事大學(xué)的“育鵬”輪為例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，圖3給出了未加非線性反饋的系統(tǒng)仿真框圖。在圖3所示的系統(tǒng)中，操舵伺服系統(tǒng)是由舵機(jī)延遲、最大舵角飽和限制、最大舵速限制和積分環(huán)節(jié)組成?？紤]到船舶實(shí)際航行時(shí)航向受風(fēng)、浪的影響，仿真時(shí)加入了6級(jí)風(fēng)浪干擾，得到了有海浪干擾的仿真結(jié)果。航行中風(fēng)的情況比較復(fù)雜，為了準(zhǔn)確描述風(fēng)對(duì)船舶航行的影響，本文將風(fēng)的干擾等效描述為一個(gè)白噪聲和代表相應(yīng)風(fēng)級(jí)的等效舵角的合成［13］。根據(jù)文獻(xiàn)［1，13］，計(jì)算得到“育鵬”輪在6級(jí)風(fēng)且風(fēng)舷角為30°的情況下，風(fēng)的等效舵角δwind=0.8°。6級(jí)風(fēng)引起的海浪干擾用白噪聲驅(qū)動(dòng)的二階振蕩環(huán)節(jié)［0.419 8s/(s2+0.363 8s+0.367 5)］描述。

圖3 系統(tǒng)仿真框圖Fig.3 The diagram of simulation system

應(yīng)用圖3所示的系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，輸入期望航向60°，為了得到更好的控制效果，調(diào)整控制器參數(shù)k1。仿真實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)控制器參數(shù)k1=0.003 5時(shí)，控制效果最優(yōu)，如圖4和圖5中藍(lán)線所示，分別表示反步遞推非線性控制器控制下的船舶舵角效果和航向保持效果。由此可知，船舶轉(zhuǎn)向至60°，調(diào)節(jié)時(shí)間約為250 s，操舵最大幅值35°，超調(diào)量8°。

圖4 壓載時(shí)的舵角效果Fig.4 Simulation results of the rudder angle in ballast condition

圖5 壓載時(shí)的航向保持效果Fig.5 Simulation results of the course-keeping in ballast condition

舵的能耗體現(xiàn)在操舵平穩(wěn)性、動(dòng)舵（0.5°以上）次數(shù)、作用時(shí)間和舵葉轉(zhuǎn)動(dòng)幅度等上［14］。本文應(yīng)用平均舵角（其中t0=0 ，tn1為調(diào)節(jié)時(shí)間）來(lái)考慮系統(tǒng)能耗［15］，得到系統(tǒng)的平均舵角

為優(yōu)化控制，解決系統(tǒng)能耗較多的問(wèn)題，受文獻(xiàn)［16］的啟發(fā)，保持控制器不變，在系統(tǒng)中引入了非線性函數(shù)反饋，即使用非線性指數(shù)函數(shù)處理后的航向誤差代替航向誤差本身，來(lái)作為控制器的輸入信號(hào)。系統(tǒng)設(shè)計(jì)如圖6所示（圖中，ωu-1為指數(shù)函數(shù)的反饋?lái)?xiàng)，d為干擾）。進(jìn)行仿真，并調(diào)節(jié)指數(shù)函數(shù)的參數(shù)ω以得到最優(yōu)的控制效果。當(dāng)取參數(shù)ω=1.7時(shí)，利用Simulink工具箱進(jìn)行仿真控制的效果最優(yōu)，如圖4和圖5中紅線所示，分別表示具有非線性反饋的控制器控制下的船舶舵角效果和航向保持效果。由此可知，船舶轉(zhuǎn)向至60°，調(diào)節(jié)時(shí)間約為200 s，船舶操舵最大幅值35°，超調(diào)量 5°，計(jì)算得到平均舵角為量化兩者間的能耗差異，引入了節(jié)能比P的概念。

圖6 非線性反饋系統(tǒng)Fig.6 Diagram of the nonlinear feedback system

由兩次仿真結(jié)果的對(duì)比可知，引入指數(shù)函數(shù)非線性反饋后，控制器的控制效果更好，其節(jié)能比達(dá)16.1%。

為了驗(yàn)證非線性反饋控制器的控制效果及節(jié)能情況，又分別對(duì)20°，40°，60°，80°和100°下的航向保持進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如表2所示。由表2中數(shù)據(jù)可知，引入指數(shù)函數(shù)非線性反饋控制后，在整個(gè)控制過(guò)程中，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短，平均舵角更小。說(shuō)明改進(jìn)后的控制器其控制效果更加優(yōu)異，系統(tǒng)更加節(jié)能。

表2 2種控制方式對(duì)比Table 2 The comparison of control effects between two methods

在船舶實(shí)際航行過(guò)程中，存在著頻繁轉(zhuǎn)向的情況。為研究改進(jìn)后控制器的控制效果及節(jié)能情況，本文進(jìn)行了船舶航向跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)。仿真環(huán)境與圖3所示系統(tǒng)相同，輸入航向?yàn)椋?±20）°，頻率0.009 rad/s。仿真結(jié)果如圖7和圖8所示，其中藍(lán)線表示反步遞推控制器控制下的船舶舵角效果和航向保持效果，紅線表示具有非線性反饋控制器控制下的船舶舵角效果和航向保持效果。由圖7可知，引入指數(shù)函數(shù)非線性反饋后，系統(tǒng)的超調(diào)量減小，穩(wěn)定時(shí)間縮短，說(shuō)明改進(jìn)后的控制器的控制效果更加優(yōu)異。由圖8可計(jì)算得到，引入指數(shù)函數(shù)非線性反饋前，整個(gè)控制系統(tǒng)的平均舵角，引入指數(shù)函數(shù)非線性反饋后，平均舵角節(jié)能比高達(dá) 41%。由此進(jìn)一步證明，引入指數(shù)函數(shù)非線性反饋改進(jìn)后的控制器的控制效果更優(yōu)，且系統(tǒng)更加節(jié)能。

圖7 航向跟蹤時(shí)的航向保持效果Fig.7 The course-keeping effect of ship during the course-tracking

圖8 航向跟蹤時(shí)的舵角效果Fig.8 The rudder effect during the course-tracking

為了驗(yàn)證改進(jìn)后的非線性反饋控制器的魯棒性，經(jīng)查閱船舶資料，通過(guò)計(jì)算得到“育鵬”輪滿(mǎn)載時(shí)的船舶數(shù)據(jù)及其非線性Nomoto模型的參數(shù)，詳見(jiàn)表1。利用表1所示數(shù)據(jù)進(jìn)行船舶轉(zhuǎn)向至60°的仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖9和圖10所示。其中藍(lán)線為反步遞推控制器的控制效果：整個(gè)控制過(guò)程中最大舵角為 35°，調(diào)節(jié)時(shí)間約 130 s，超調(diào)量 3°；紅線為改進(jìn)的非線性反饋控制器的控制效果：整個(gè)控制過(guò)程中最大舵角為35°，調(diào)節(jié)時(shí)間約130 s，無(wú)超調(diào)現(xiàn)象。由此可知，在船舶裝載狀態(tài)發(fā)生改變的情況下，本文所設(shè)計(jì)的改進(jìn)的控制器的控制效果依然良好，且系統(tǒng)具有魯棒性。

4 結(jié) 語(yǔ)

圖9 滿(mǎn)載時(shí)舵角效果Fig.9 Simulation results of the rudder angle in full-loaded condition

圖10 滿(mǎn)載時(shí)航向效果Fig.10 Simulation results of the course in full-loaded condition

為了設(shè)計(jì)控制效果更加優(yōu)異的控制器，本文將指數(shù)函數(shù)非線性反饋引入到了反步遞推控制算法中，從理論上證明了引入指數(shù)函數(shù)設(shè)計(jì)的控制器滿(mǎn)足Lyapunov穩(wěn)定性要求，同時(shí)，整個(gè)控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程比較簡(jiǎn)單。文章以“育鵬”輪為例進(jìn)行了仿真研究，結(jié)果表明，具有非線性反饋的控制器在風(fēng)浪模型下仍具有較好的控制效果。在整個(gè)仿真過(guò)程中，控制器能很好地響應(yīng)操舵指令，操舵平均舵角較小，很好地保護(hù)了舵機(jī)，節(jié)約了能量。同時(shí)，“育鵬”輪的滿(mǎn)載仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，具有非線性反饋的控制器具有很好的魯棒性能。在后續(xù)的實(shí)驗(yàn)中，作者應(yīng)用本文設(shè)計(jì)的控制器對(duì)其他種類(lèi)多艘船舶的航向保持控制進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，皆取得了很好的控制效果。