Holt-Winters與ARIMA模型在電離層總電子含量預(yù)報(bào)中的比較

唐 宏,唐詩華,陳雨田,田祥雨

(1.桂林理工大學(xué) a.測(cè)繪地理信息學(xué)院;b.廣西空間信息與測(cè)繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣西 桂林 541006;2.深圳市中地軟件工程有限公司，廣東 深圳 518057)

電離層總電子含量(TEC)值直接影響電離層延遲的大小, 精確測(cè)定與預(yù)報(bào)TEC值對(duì)于建立精確的電離層延遲改正模型具有十分重要的意義[1]。 目前常用的對(duì)TEC值進(jìn)行預(yù)報(bào)的方式有兩種: 一種是利用來自經(jīng)驗(yàn)或半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ降腡EC數(shù)據(jù)建立起反映TEC值變化規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)公式, 從而建立預(yù)報(bào)模型, 如Klobuchar模型[2-5]、 IRI模型[6-7]等; 另一種是利用高精度電離層TEC資料采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法來建立預(yù)報(bào)模型, 如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[8-9]、時(shí)間序列模型[10]等。其中時(shí)間序列模型由于其樣本要求少、計(jì)算過程簡單、外延性好等優(yōu)點(diǎn),逐漸受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注,并取得了一些成果。盡管現(xiàn)有的一些研究中利用時(shí)間序列模型對(duì)TEC值進(jìn)行預(yù)報(bào)取得了不錯(cuò)的效果,但是這些研究并未充分考慮外在因素對(duì)預(yù)報(bào)精度的影響,如太陽活動(dòng)、緯度、預(yù)報(bào)時(shí)長等。因此,研究這些因素對(duì)模型預(yù)報(bào)精度的影響規(guī)律,對(duì)于更好地建立和完善TEC預(yù)報(bào)體系具有十分重要的意義。自回歸積分滑動(dòng)平均模型(ARIMA)[11-15]計(jì)算簡單操作方便, 并且具有較高的預(yù)報(bào)精度, 是時(shí)序方法中應(yīng)用較為廣泛的一種模型。 Holt-Winters[16-17]可以同時(shí)處理趨勢(shì)性和季節(jié)性變化, 并能夠過濾掉隨機(jī)波動(dòng)的影響, 適用于包含趨勢(shì)季節(jié)變化的時(shí)間序列預(yù)測(cè)問題。

本文采用ARIMA模型、 Holt-Winters加法模型、 Holt-Winters乘法模型3種時(shí)間序列模型, 利用IGS中心發(fā)布的不同太陽活動(dòng)情況下、 不同緯度位置的TEC樣本數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)不同時(shí)長的TEC值, 并將預(yù)報(bào)值與IGS中心提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比, 在分析上述3種時(shí)間序列模型預(yù)報(bào)精度的同時(shí), 還研究了太陽活動(dòng)、緯度位置、預(yù)報(bào)時(shí)長這3種因素對(duì)模型預(yù)報(bào)精度的影響。

1 ARIMA(p,d,q)模型原理

ARIMA模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(1)

ARIMA模型本質(zhì)上是回歸移動(dòng)平均模型(ARMA)的擴(kuò)展,通過將非平穩(wěn)時(shí)間序列yt進(jìn)行d階逐期差分使yt變得平穩(wěn), 從而能夠利用ARMA(p,q)模型對(duì)該序列建模,然后再經(jīng)過逆變換得到原序列。上述過程便是ARIMA模型的建模方法。具體的建模步驟為: ① 序列的平穩(wěn)化處理: 如果原序列是非平穩(wěn)的, 則需要對(duì)其進(jìn)行差分變換得到平穩(wěn)序列yt； ② 模型識(shí)別: 利用自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)來確定模型的階數(shù)p和q； ③ 參數(shù)估計(jì)與檢驗(yàn): 估計(jì)模型的未知參數(shù)φi和θj, 并且檢驗(yàn)其顯著性和合理性； ④ 分析預(yù)測(cè):利用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)和分析。

2 Holt-Winters模型原理

Holt-Winters模型將具有趨勢(shì)性、 季節(jié)性變化和隨機(jī)波動(dòng)的時(shí)間序列進(jìn)行分解, 結(jié)合指數(shù)平滑方法來建立預(yù)報(bào)模型, 以對(duì)趨勢(shì)性和季節(jié)性變化作出預(yù)測(cè), 包括無季節(jié)模型、 加法模型、 乘法模型3種, 其中后兩種適用于具有季節(jié)性變化的時(shí)間序列預(yù)報(bào)問題。考慮到電離層的季節(jié)性變化,本文采用加法模型和乘法模型來進(jìn)行TEC值的預(yù)報(bào)。

Holt-Winters加法模型基本公式

(2)

加法模型的初值計(jì)算公式為

(3)

Holt-Winters乘法模型基本公式

(4)

乘法模型的初值計(jì)算公式為

(5)

式中:Xt、St、It和bt分別為t時(shí)刻的觀測(cè)值、 穩(wěn)定成分、 季節(jié)成分和趨勢(shì)成分,t=1,2,3,…,L;m為預(yù)測(cè)期數(shù);Ft+m為第m期預(yù)測(cè)值;L為季節(jié)長度;α、β、γ為平滑參數(shù)。

3 太陽活動(dòng)周期變化

研究表明,太陽活動(dòng)呈現(xiàn)出以11年為周期變化[18],由圖1(https://omniweb.gsfc.nasa.gov/)中太陽黑子相對(duì)數(shù)的27天均值變化可以看出2011年正處于太陽活動(dòng)的上升期,其太陽黑子相對(duì)數(shù)急劇增加,而2009年的太陽黑子相對(duì)數(shù)小于10,該年處于太陽活動(dòng)的平靜期。

太陽的周期性活動(dòng)會(huì)對(duì)不同緯度地區(qū)的電離層TEC值造成不同的影響,使得預(yù)報(bào)的效果降低,考慮到這一因素,將上述模型進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn),分析各個(gè)模型受太陽活動(dòng)的影響,并比較其在不同年份、不同緯度地區(qū)的預(yù)報(bào)精度。

4 實(shí)驗(yàn)分析

4.1 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

太陽活動(dòng)具有11年左右的周期,第24太陽活動(dòng)周開始于2008年末,從2010年開始太陽活動(dòng)明顯增強(qiáng)[19-20]。也就是說，2009年處于太陽活動(dòng)的平靜期,2011年處于太陽活動(dòng)的活躍期[18]。因此,選取IGS中心發(fā)布的2009年年積日151—165高緯度(75°N, 110°E)、 中緯度(35°N, 110°E)、 低緯度(7.5°N, 110°E)數(shù)據(jù)作為電離層平靜期樣本序列; 選取2011年年積日101—115高緯度(75°N, 110°E)、 中緯度(35°N, 110°E)、 低緯度(7.5°N, 110°E)數(shù)據(jù)作為電離層活躍期樣本序列。利用前15天的數(shù)據(jù)作為樣本序列, 分別采用ARIMA模型、 Holt-Winters加法模型、 Holt-Winters乘法模型預(yù)報(bào)后5天的TEC值, 并將預(yù)報(bào)結(jié)果與IGS發(fā)布的TEC觀測(cè)值進(jìn)行對(duì)比。 通過定義相對(duì)精度P、 日均相對(duì)精度P′和均方差RMS來衡量預(yù)報(bào)精度

圖1 2000—2017年太陽黑子相對(duì)數(shù)27天均值變化Fig.1 27 days mean relative sunspot numbers from 2000 to 2017

(6)

(7)

(8)

式中：Ipre為預(yù)報(bào)值；IIGS為IGS中心發(fā)布的觀測(cè)值;N為當(dāng)天觀測(cè)的歷元數(shù)。

4.2 結(jié)果比較與分析

利用3種模型對(duì)不同緯度地區(qū)在電離層平靜期、 活躍期5天的TEC值進(jìn)行預(yù)報(bào), 得到圖2～4所示的預(yù)報(bào)結(jié)果與實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比圖。 其中，橫坐標(biāo)表示歷元(每2 h一個(gè)歷元), 縱坐標(biāo)表示TEC值。 無論是在平靜期還是在活躍期, 3種模型對(duì)高、 中、 低緯度地區(qū)TEC值的預(yù)報(bào)都能夠很好地反映其變化特征。 但對(duì)比發(fā)現(xiàn), 總體上看加法模型預(yù)測(cè)得到的TEC值與實(shí)際值符合情況最好, 乘法模型與ARIMA模型的符合情況稍差。 從太陽活動(dòng)角度分析, 3種模型在太陽活動(dòng)平靜期的預(yù)報(bào)效果均要明顯好于活躍期； 從緯度位置角度分析, 3種模型的預(yù)報(bào)效果在不同緯度地區(qū)會(huì)有所差異； 從預(yù)報(bào)時(shí)長角度分析, 3種模型的預(yù)報(bào)精度均會(huì)隨著預(yù)報(bào)時(shí)長的增加而下降。

圖2 高緯度地區(qū)電離層2009年平靜期(a)、 2011年活躍期(b)TEC值預(yù)報(bào)結(jié)果Fig.2 TEC forecast results at high latitude in ionospheric quiet(a) and active(b) periods in 2009 and 2011

表1和表2分別為電離層平靜期和活躍期3種模型預(yù)報(bào)值殘差統(tǒng)計(jì)。

在平靜期, 加法模型、 乘法模型和ARIMA模型預(yù)報(bào)值的殘差分別有78%、 57%和56%是在1 TECu之內(nèi), 有96%、 76%和82%在2 TECu之內(nèi), 說明在平靜期加法模型的預(yù)報(bào)效果最好, ARIMA模型預(yù)報(bào)效果次之, 乘法模型預(yù)報(bào)效果則相對(duì)要差些; 而在活躍期, 3個(gè)模型預(yù)報(bào)值殘差在1 TECu之內(nèi)的分別有23%、 26%、 18%,在3 TECu之內(nèi)的分別有52%、58%、53%,說明在活躍期乘法模型的預(yù)報(bào)效果相對(duì)來說更為理想,但是并未表現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢(shì);同時(shí)可以看出3種模型在平靜期的預(yù)報(bào)精度明顯高于活躍期。

圖3 中緯度地區(qū)電離層2009年平靜期(a)、 2011年活躍期(b)TEC值預(yù)報(bào)結(jié)果Fig.3 TEC forecast results at mid-latitude in ionospheric quiet(a)and active(b)periods in 2009 and 2011

圖4 低緯度地區(qū)電離層2009年平靜期(a)、 2011年活躍期(b)TEC值預(yù)報(bào)結(jié)果Fig.4 TEC forecast results at low latitude in ionospheric quiet(a)and active(b)periods in 2009 and 2011

表1 3種模型電離層平靜期預(yù)報(bào)值殘差(Δ)統(tǒng)計(jì)

Table 1 TEC forecast values residual statistics of three models in ionospheric quiet period %

天數(shù)Δ<1 TECu加法模型乘法模型ARIMA1 TECu≤Δ≤2 TECu加法模型乘法模型ARIMA2 TECu≤Δ≤3 TECu加法模型乘法模型ARIMAΔ>3 TECu 加法模型乘法模型ARIMA177.7855.5672.2219.4533.3425.02.788.332.780.002.780.00280.5680.5658.3316.6716.6733.342.782.785.560.000.002.78 377.7863.8963.8919.4413.8922.222.7816.6716.670.005.565.56 480.5647.2247.2216.6713.8930.562.7816.6711.110.0022.2211.11 575.038.8941.6713.8913.8916.6711.1111.1116.670.0036.1125.00平均值78.3457.2256.6717.2218.3425.564.4511.1110.560.0013.338.89

表2 3種模型電離層活躍期預(yù)報(bào)值殘差(Δ)統(tǒng)計(jì)

Table 2 TEC forecast values residual statistics of three models in ionospheric active period %

天數(shù)Δ<1 TECu加法模型乘法模型ARIMA1 TECu≤Δ≤2 TECu加法模型乘法模型ARIMA2 TECu≤Δ≤3 TECu加法模型乘法模型ARIMAΔ>3 TECu 加法模型乘法模型ARIMA130.5622.2236.1119.4436.1130.5613.895.5613.8936.1136.1119.44 213.8936.1111.1119.4419.4425.0025.008.3322.2241.6736.1152.78 320.3525.0011.1111.1119.4422.2216.6711.115.5641.6755.5661.11 441.6730.5611.115.5619.4411.112.785.5616.6750.0044.4561.11 58.3316.6725.0027.7811.118.335.5622.2216.6758.3350.0050.00 平均值22.6926.1118.8916.6721.1119.4412.7810.5615.0045.5644.4548.89

分析平靜期3個(gè)模型的預(yù)報(bào)殘差會(huì)發(fā)現(xiàn), 加法模型在前4天預(yù)報(bào)表現(xiàn)較為平穩(wěn), 均有約96%的預(yù)報(bào)殘差能保持在2 TECu之內(nèi), 而到了第5天則下降至89%; 乘法模型在前兩天均有89%的預(yù)報(bào)殘差保持在2 TECu之內(nèi), 到了第3天則下降至78%, 第4天進(jìn)一步降至61%;ARIMA模型在前兩天有92%的預(yù)報(bào)殘差保持在2 TECu之內(nèi),第3、4天降至約78%,第5天進(jìn)一步降至58%。以上分析說明,在平靜期3種模型的預(yù)報(bào)精度會(huì)隨著預(yù)報(bào)時(shí)長的增加而下降;加法模型能夠維持5天以上的精確預(yù)報(bào),而乘法模型和ARIMA模型只有3天左右。在活躍期,3種模型的預(yù)報(bào)精度隨著預(yù)報(bào)時(shí)長的增加波動(dòng)較大,但是從總體上看依舊呈下降趨勢(shì)。

表3和表4分別是平靜期和活躍期3種模型預(yù)報(bào)值相對(duì)精度統(tǒng)計(jì)。

表3 3種模型電離層平靜期年預(yù)報(bào)值日均相對(duì)精度(P′)

Table 3 Daily relative accuracy of TEC forecast values for three models in ionospheric quiet period

天數(shù)高緯度(75°N,110°E)加法模型乘法模型ARIMA中緯度(35°N,110°E)加法模型乘法模型ARIMA低緯度(7.5°N,110°E) 加法模型乘法模型ARIMA194.6995.6694.8994.8688.3191.3488.3588.8591.97 292.7394.0395.0094.2393.1990.3392.1392.7280.31 394.4096.5995.0994.0588.7786.5190.0189.6078.57 495.7796.9990.9095.8378.3582.2890.6378.9557.41 594.8795.1391.6892.4162.9375.6788.1771.4246.95 平均值94.4995.6893.5194.2882.3185.2389.8684.3171.04

表4 3種模型電離層活躍期年預(yù)報(bào)值日均相對(duì)精度P′

Table 4 Daily relative accuracy of TEC forecast values for three models in ionospheric active period %

天數(shù)高緯度(75°N,110°E)加法模型乘法模型ARIMA中緯度(35°N,110°E)加法模型乘法模型ARIMA低緯度(7.5°N,110°E) 加法模型乘法模型ARIMA195.5894.3592.2175.2781.0292.2789.6286.8387.21 291.2094.2994.2775.6388.0485.0383.3778.8180.50 393.6295.9285.9569.3086.0685.7574.9272.3854.67 496.9395.4287.6652.6177.4182.9983.3880.6958.46 586.8177.7487.1264.9085.8280.4180.0286.8948.99 平均值92.8391.5489.4467.5483.6785.2982.2681.1265.97

在平靜期,3種模型預(yù)報(bào)值的相對(duì)精度均隨著緯度的降低而下降:就高緯度地區(qū)而言,3種模型預(yù)報(bào)值的相對(duì)精度大致相當(dāng),平均值均為94%左右;就中緯度地區(qū)而言,加法模型的預(yù)報(bào)精度最高,相對(duì)精度均值為94%,乘法模型和ARIMA模型的預(yù)報(bào)精度相當(dāng),相對(duì)精度均值在84%左右;就低緯度地區(qū)而言,加法模型的預(yù)報(bào)精度最高,相對(duì)精度均值將近達(dá)到90%,乘法模型次之,相對(duì)精度均值為84%,ARIMA模型較差,相對(duì)精度均值僅為71%。而在活躍期,3種模型預(yù)報(bào)值相對(duì)精度在高緯度地區(qū)大致相當(dāng),均在90%左右;在中緯度地區(qū),加法模型的預(yù)報(bào)精度較差,相對(duì)精度均值約為68%,乘法模型和ARIAM模型的預(yù)報(bào)精度更好,相對(duì)精度均值為84%左右,這與平靜期所呈現(xiàn)規(guī)律有所不同,原因是活躍期電子含量變化較大,對(duì)建立模型帶來了一定的偏差;而在低緯度地區(qū),加法模型和乘法模型的預(yù)報(bào)精度較好,相對(duì)精度均值為81%左右,ARIMA模型的預(yù)報(bào)精度較差,相對(duì)精度均值僅為66%;總體上看,在活躍期3種模型的預(yù)報(bào)精度也是從高緯度向低緯度呈遞減趨勢(shì)。另外,3種模型預(yù)報(bào)值相對(duì)精度也是隨著預(yù)報(bào)時(shí)長的增加而成遞減趨勢(shì)。

表5為3種模型預(yù)報(bào)值均方差統(tǒng)計(jì)。在平靜期, 3種模型5天預(yù)報(bào)值均方差的平均值比在活躍期要小, 說明在平靜期的預(yù)報(bào)精度更高, 與表1和表2所得結(jié)論相同。 在平靜期，3種模型5天預(yù)報(bào)值均方差的平均值隨著緯度的降低而增大, 預(yù)報(bào)精度下降; 而在活躍期，總體上也呈現(xiàn)相同趨勢(shì), 但表現(xiàn)出一定的波動(dòng),這同樣是因?yàn)樵诨钴S期電子含量變化幅度較大,使得原始時(shí)間序列較不平穩(wěn),雖然經(jīng)過平穩(wěn)化處理,但還是給模型的建立帶來了一定的誤差。 分析預(yù)報(bào)時(shí)長對(duì)預(yù)報(bào)精度的影響,對(duì)3種模型每天各緯度的預(yù)報(bào)值均方差求平均值, 在平靜期, 加法模型從第1天的0.88增加到第5天的1.05;乘法模型從第1天的1.21增加到第5天的2.88;ARIMA模型從第1天的0.84增加到第5天的2.19。在活躍期,加法模型從第1天的3.05增加到第5天的5.86；乘法模型從第1天的3.84增加到第5天的4.47；ARIMA模型從第1天的2.31增加到第5天的8.72。3種模型的預(yù)報(bào)精度均隨著預(yù)報(bào)時(shí)長的增加呈遞減趨勢(shì),與從表1和表2所得結(jié)論相同。

表5 3種模型預(yù)報(bào)值均方差RMS統(tǒng)計(jì)Table 5 RMS of forecast values for three models in active and quiet periods

5 結(jié) 論

本文分別采用Holt-Winters加法模型、Holt-Winters乘法模型和ARIMA模型,利用IGS中心發(fā)布的不同緯度地區(qū)不同太陽活動(dòng)情況下的電離層TEC樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行5天的預(yù)報(bào),并且將預(yù)報(bào)結(jié)果與IGS中心提供的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析,得到如下結(jié)論:

(1)3種模型的預(yù)報(bào)精度會(huì)隨著緯度的降低和預(yù)報(bào)時(shí)長的增加而下降;相較于太陽活動(dòng)活躍期,3種模型在太陽活動(dòng)平靜期的預(yù)報(bào)精度更高。

(2)太陽活動(dòng)平靜期:在高緯度地區(qū),3種模型的預(yù)報(bào)精度相當(dāng);在中緯度和低緯度地區(qū),Holt-Winters加法模型的預(yù)報(bào)精度要優(yōu)于另外兩種模型。

(3)太陽活動(dòng)活躍期:在高緯度地區(qū),3種模型的預(yù)報(bào)精度相當(dāng);在中緯度地區(qū),Holt-Winters乘法模型和ARIMA模型預(yù)報(bào)精度相當(dāng),優(yōu)于Holt-Winters加法模型;在低緯度地區(qū),Holt-Winters加法模型和Holt-Winters乘法模型的預(yù)報(bào)精度相當(dāng),要優(yōu)于ARIAM模型。

(4)Holt-Winters加法模型能夠維持5天以上較為精準(zhǔn)的預(yù)報(bào),而乘法模型和ARIMA模型只有3天左右。