具有隨機(jī)利率的分?jǐn)?shù)型復(fù)合期權(quán)定價(jià)模型

楊淑彩，薛 紅，王曉東

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安710048)

復(fù)合期權(quán)是以標(biāo)準(zhǔn)的期權(quán)作為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)，有四種基本形式:看漲期權(quán)的看漲期權(quán)、看跌期權(quán)的看漲期權(quán)、看漲期權(quán)的看跌期權(quán)、看跌期權(quán)的看跌期權(quán).畢學(xué)慧［1］在利率確定情形下用保險(xiǎn)精算方法給出了股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的復(fù)合期權(quán)定價(jià)公式，趙建國［2］用鞅方法給出了風(fēng)險(xiǎn)中性條件下跳－擴(kuò)散模型下的復(fù)合期權(quán)定價(jià)公式.

在上述模型中，利率都是常數(shù)或者為時(shí)間的非隨機(jī)函數(shù)，但是在現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)中，利率會(huì)呈現(xiàn)一定的隨機(jī)性.當(dāng)然這種變化并不是漫無邊際的，大量事實(shí)表明，利率存在均值回復(fù)行為.文獻(xiàn)［3］建立了隨機(jī)利率下可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)數(shù)學(xué)模型并得到可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)公式，文獻(xiàn)［4］討論了基于隨機(jī)利率下跳－擴(kuò)散過程的復(fù)合期權(quán)的定價(jià).

近年來，大量的事實(shí)表明，股票價(jià)格具有“尖峰、厚尾”的特點(diǎn)，同時(shí)具有長期相關(guān)和自相似性等特征，這是布朗運(yùn)動(dòng)所不能體現(xiàn)出的，而分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)正好具備這種特征，且當(dāng)H=時(shí)，分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)即為布朗運(yùn)動(dòng).文獻(xiàn)［5］在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下利用偏微分方程方法得到了歐式期權(quán)定價(jià)公式，文獻(xiàn)［6］用偏微分方程方法得到分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下隨機(jī)利率情形的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式.

本文考慮利率服從Vasicek隨機(jī)利率模型，資產(chǎn)價(jià)格服從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，用隨機(jī)分析理論推出復(fù)合期權(quán)的定價(jià)公式，推廣了復(fù)合期權(quán)定價(jià)模型，使之更加貼近實(shí)際的金融市場(chǎng).

1 預(yù)備知識(shí)

定義 1［7］設(shè) H∈(0，1)為一常數(shù)，具有 Hurst參數(shù)為H，概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)高斯過程{WHt，t≥0}，且滿足

如果 H=0.5，則 WHi為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，用Wt表示.

引理 1［8］若(X，Y)～N(μ，Σ )，其中

其中:N(·)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).

其中:φ(Y)是隨機(jī)變量為Y的函數(shù)，N(·)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).

證明 E［eXN(φ(Y))I{Y≥b}］=

等式(2)同理可證，證畢.

2 市場(chǎng)模型

假定(Ω，F(xiàn)，P)為風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度空間，且利率和股票價(jià)格分別滿足下面的隨機(jī)微分方程

其中:σ ＞0，a，b，c為常數(shù);{WH(t)，t≥0}和{BH(t)，t≥0)為(Ω，F(xiàn)，P)上的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，且相互獨(dú)立;{Fi=σ(0≤s≤t)，t≥0)}為信息流.

定理1 隨機(jī)微分方程(2)的解為.

證明 由分?jǐn)?shù)型Ito公式

由此可得結(jié)果.

定理2［9］隨機(jī)微分方程(1)的解為

3 隨機(jī)利率下歐式期權(quán)的定價(jià)

由風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論知，到期日為T，執(zhí)行價(jià)格為K的歐式看漲期權(quán)在t(0≤t≤T)的價(jià)值為

則C1為常數(shù)，且

定理3 到期日為T，執(zhí)行價(jià)格為K的歐式看漲期權(quán)在時(shí)刻T0(0≤T1≤T)的價(jià)值為

其中

證明 歐式看漲期權(quán)在時(shí)刻t(0≤t≤T)的價(jià)值為

下面我們先計(jì)算II:

由引理1有

定理4 歐式看漲期權(quán)的價(jià)格函數(shù)CE(x，K，T1，T)關(guān)于x是嚴(yán)格單調(diào)遞增的.

定理得證.

4 隨機(jī)利率下復(fù)合期權(quán)的定價(jià)

定理5看漲期權(quán)的到期日為T，執(zhí)行價(jià)格為K，看漲期權(quán)的看漲期權(quán)到期日為T0，執(zhí)行價(jià)格為K1的復(fù)合期權(quán)在時(shí)刻T0(0≤T0≤T1)的價(jià)格為

N(·)是一維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù);N2(·)是二維正態(tài)分布的分布函數(shù)，其相關(guān)系數(shù)為ρ.

從而看漲期權(quán)的看漲期權(quán)在時(shí)刻T0(0≤T0≤T1)的價(jià)格為

同理由引理2可計(jì)算(b)，即

由引理1可得

綜上所得，結(jié)論得證.

推論1 當(dāng)a→0，b→c，c→0時(shí)，可得常利率下復(fù)合期權(quán)定價(jià)公式為

這與文獻(xiàn)［10］不含跳的結(jié)果是一致的.

其中

也就是文獻(xiàn)［11-13］的結(jié)果.

5 結(jié)語

本文首先假定利率是隨機(jī)的，服從Vasicek隨機(jī)利率模型，資產(chǎn)價(jià)格服從由分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)過程.其次用風(fēng)險(xiǎn)中性方法，給出了此模型下歐式復(fù)合期權(quán)的定價(jià)公式.本文同時(shí)考慮利率是隨機(jī)的和資產(chǎn)價(jià)格是由分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程這兩種情況，推廣了有關(guān)復(fù)合期權(quán)的文獻(xiàn)的結(jié)果.

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