Mathematica區(qū)域構(gòu)建與多元函數(shù)積分計(jì)算的直接方法

周群，劉雄偉

（1. 湖南涉外經(jīng)濟(jì)學(xué)院 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長沙；2. 國防科技大學(xué) 文理學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖南 長沙）

一 引言

在學(xué)習(xí)重積分、曲線、曲面積分的過程中，我們知道，對于它們的計(jì)算一般都是轉(zhuǎn)換為累次積分（定積分）的描述形式然后逐步計(jì)算定積分來得到結(jié)果的；而且，在一般的數(shù)學(xué)軟件中，當(dāng)希望借助計(jì)算機(jī)來驗(yàn)證計(jì)算這些積分的思路及結(jié)果的正確性時(shí)，對于這些積分的計(jì)算一般也是首先構(gòu)建累次積分表達(dá)式，然后逐步定積分來得到！這樣的過程不僅要求對描述積分區(qū)域的圖形非常熟悉，而且還需要手工給出積分區(qū)域的不等式描述形式；尤其對于一些復(fù)雜的積分區(qū)域，可能還需要基于積分對積分區(qū)域的可加性來分割積分區(qū)域，通過子區(qū)域的不等式描述形式構(gòu)建累次積分表達(dá)式，分成多個(gè)積分求和來完成驗(yàn)證過程。

既然借助于計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)軟件來驗(yàn)證思路與結(jié)果，當(dāng)然希望是操作簡單、方便、快捷有效的。那么有沒有這么好的軟件能夠不通過構(gòu)建累次積分表達(dá)式的方式，直接計(jì)算積分得到結(jié)果來驗(yàn)證多元函數(shù)積分的思路與結(jié)果的正確性呢？數(shù)學(xué)軟件Mathematica提供了一種快捷、有效的計(jì)算操作方法。該方法通過構(gòu)建區(qū)域，將積分范圍直接約束在定義的區(qū)域范圍內(nèi)，不需要構(gòu)建累次積分表達(dá)式直接實(shí)現(xiàn)多元函數(shù)積分的計(jì)算。

二 區(qū)域的構(gòu)建與幾何描述

Mathematica使用的Wolfram語言提供了創(chuàng)建、分析、求解和可視化區(qū)域的全面功能。區(qū)域的描述常用方法兩種，一種是直接圖元法，一種是函數(shù)命令描述法，另外就是區(qū)域之間的運(yùn)算更快構(gòu)建復(fù)雜區(qū)域。

（一） 直接圖元描述法

直接圖元描述就是借助Mathematica中的圖元構(gòu)建函數(shù)命令來描述積分范圍。在積分中常用的描述有Line（線）、Circle（圓、橢圓）、Triangle（三角形域）、Rectangle（矩形域）、Polygon（多邊形域）、Disk（圓域、橢圓域）、Sphere（球面）、Ball（球體）、Cylinder（圓柱體）、Cone（圓錐體）、Tetrahedron（四面體）、Cuboid（立方體）等等，更多圖元對象的創(chuàng)建可以參見幫助指南中的“基本幾何區(qū)域”列表。

以上圖元命令積分范圍的創(chuàng)建直接與繪制圖形一樣，并且其描述的圖形對象對于二維圖形可以直接用Graphics顯示，三維圖形可以直接用Graphics3D顯示。

例1：繪制圓心在（1,1），半徑為2，圓心角為

在Mathematica中輸入表達(dá)式：

A=Circle[{1,1},2,{0,Pi/2}];

B=Tetrahedron[{{1,0,0},{1,0,1},{1,1,1},{0,0,1}}];

{Graphics[A],Graphics3D[B]}

執(zhí)行后的結(jié)果如圖1所示。

（二） 函數(shù)命令描述法

除了以上特殊圖元的方法構(gòu)建區(qū)域，基于區(qū)域的等式、不等式及參數(shù)方程，Mathematica也可以快速創(chuàng)建復(fù)雜區(qū)域，常用的函數(shù)命令為：

ImplicitRegion：描述由不等式和等式給出的區(qū)域

ParametricRegion：描述由參數(shù)化函數(shù)給出的區(qū)域

Region：顯示區(qū)域描述的圖形

DiscretizeRegion：離散化顯示區(qū)域范圍

在Mathematica中輸入表達(dá)式：

執(zhí)行后的結(jié)果如圖2所示。

例3：分別構(gòu)建底面半徑為3，高為3的圓錐面所描述的曲面區(qū)域和所確定的空間曲線范圍，并顯示它們的圖形。

在Mathematica中輸入表達(dá)式：

執(zhí)行后的結(jié)果如圖3所示。

三 區(qū)域組合與幾何度量值的計(jì)算

Mathematica中創(chuàng)建的區(qū)域還可以進(jìn)行區(qū)域間的運(yùn)算并直接計(jì)算區(qū)域的幾何的度量值（長度、面積、體積、幾何中心等），即在區(qū)域上的積分對應(yīng)的幾何意義所得到的一些數(shù)值。具體的操作命令包括：

(1) 區(qū)域間的運(yùn)算：RegionBoundary（獲取區(qū)域的邊界）、RegionUnion（區(qū)域并）、RegionIntersection（區(qū)域交）、RegionDifference（區(qū)域差）等。

(2) 幾何度量值：ArcLength（弧線長度）、Area（區(qū)域（表）面積）、Volume（立體的體積）、Perimeter（平面區(qū)域的周長）、RegionCentroid（幾何中心，形心）、RegionMeasure（自動(dòng)根據(jù)區(qū)域類型給出度量值，分別為計(jì)數(shù)（零維，點(diǎn)集），長度（一維），面積（二維），體積（三維）和勒貝格測度）等。

例4：定義底面中心點(diǎn)在原點(diǎn)，半徑為3，頂點(diǎn)為（0,0,3）的圓錐體區(qū)域，并計(jì)算它的體積、表面積與形心。

在Mathematica中輸入表達(dá)式：

執(zhí)行后的結(jié)果為

其中Volume和Area也可以替換為RegionMeasure， Mathematica會(huì)自動(dòng)根據(jù)區(qū)域類型得到相應(yīng)的立體的體積和表面的面積。

例5[1]：計(jì)算拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成的圖形的面積。

采用區(qū)域交運(yùn)算操作定義曲線圍成區(qū)域并計(jì)算面積，輸入的Mathematica表達(dá)式為：

執(zhí)行后的顯示的結(jié)果為

即區(qū)域定義運(yùn)算的結(jié)果的等價(jià)區(qū)域描述形式，并顯示曲線所圍平面區(qū)域面積為18。

四 多元函數(shù)積分的計(jì)算

下面以實(shí)例的形式給出Mathematica中直接以區(qū)域范圍方式直接計(jì)算多元函數(shù)的積分。

例6[1]：（ 二 重 積 分 ） 計(jì) 算 二 重 積 分

輸入Mathematica表達(dá)式：

例7[2]：（三重積分）計(jì)算其中閉區(qū)域Ω由不等式

所確定。

輸入Mathematica表達(dá)式為

例8[2]：（對弧長的曲線積分）計(jì)算曲線積分其中Γ為螺旋線x=cost，y=sint，z=2t上相應(yīng)于t從0到2π的一段曲線。

輸入Mathematica表達(dá)式為

例9[1]：（對弧長的曲線積分）設(shè)L為x2+y2+z2=R2在第一卦限與三個(gè)坐標(biāo)面的交線，求其形心。

輸入以下Mathematica表達(dá)式定義積分曲線：

【思路一】直接計(jì)算形心的Mathematica表達(dá)式為

Assuming[R>0,RegionCentroid[A]]

【思路二】利用形心積分公式計(jì)算形心的x分量的表達(dá)式為

執(zhí)行區(qū)域定義表達(dá)式和后面的形心計(jì)算公式，可得到形心坐標(biāo)為

例10[2]：（對 坐 標(biāo) 的 曲 線 積 分）(1) 計(jì) 算其中L為圓周x2+y2=a2（取逆時(shí)鐘方向）。

Mathematica直接在區(qū)域上積分為直接關(guān)于積分范圍的測度值微分（幾何度量值）積分，即線為對弧長的積分、面為對面積的積分、體為三重積分，所以需要將對坐標(biāo)的曲線積分利用兩類曲線積分的關(guān)系轉(zhuǎn)換為對弧長的曲線積分計(jì)算，即

其中(cosα，cosβ，cosγ)為與曲線同向的單位切向量，xOy面上的曲線積分去掉第三個(gè)分量即可。

對于由參數(shù)方程描述的曲線可以直接轉(zhuǎn)換為定積分計(jì)算，所以這里主要考慮由一般式方程描述的曲線。它們的切向量由曲線，或曲面的法向量可以直接得到。

其中切向量的取向根據(jù)曲線的方向來確定，同時(shí)考慮法向量的取向。

(1) 與曲線同向的切向量

執(zhí)行計(jì)算后得到的結(jié)果為-2π。

(2) 與曲線同向的曲線切向量為圓錐面與平面的法向量的叉積，即

例11[1]：（對面積的曲面積分）計(jì)算

Mathematica中輸入表達(dá)式為

例12[2]：（對坐標(biāo)的曲面積分）計(jì)算其中Σ為柱面y2+z2=1(z≥0)被平面x=0，x=1截下的部分，法向量指向上側(cè)。

執(zhí)行計(jì)算后的積分結(jié)果為2。

五 結(jié)束語

本文通過實(shí)例的方式，對數(shù)學(xué)軟件Mathematica中如何定義積分區(qū)域直接計(jì)算多元函數(shù)積分的思路、方法和具體操作進(jìn)行了詳細(xì)的分析與探討。從應(yīng)用范例中可以直觀看到，這種計(jì)算多元積分的方法對于日常積分計(jì)算思路、方法與結(jié)果正確與否的驗(yàn)證提供了一個(gè)非常方便、快捷、有效的方式。

不過值得注意的是，對于重積分、對弧長的曲線積分和對面積的曲面積分，既使積分范圍不具有統(tǒng)一的描述形式，一般也可以直接通過多個(gè)區(qū)域的定義來一次性積分得到結(jié)果；但是，對于對坐標(biāo)的曲線積分和對坐標(biāo)的曲面積分，對不具有統(tǒng)一數(shù)學(xué)描述形式的積分曲線或曲面，由于切向量與法向量計(jì)算使用的方程不同，可能需要基于積分對積分曲線或曲面的可加性，通過分割積分范圍單獨(dú)計(jì)算子范圍上的積分并求和來實(shí)現(xiàn)。同時(shí)，并不是所有的積分的計(jì)算都可以通過這種方式來計(jì)算得到結(jié)果，對于一些復(fù)雜的積分可能需要事先進(jìn)行一定的數(shù)學(xué)處理，如被積函數(shù)的變換，積分類型的轉(zhuǎn)換等操作以后才能完成計(jì)算。也就是說，要想讓計(jì)算機(jī)正確高效地幫助我們解決問題，一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和必要的數(shù)學(xué)能力必不可少。