幾何直觀：思維可視化的有效路徑

吳靜

摘要：幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提出的十大核心概念之一。幾何直觀能使數(shù)學(xué)問題形象化、可視化，有助于發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，探索解題思路或預(yù)測結(jié)果。教師要厘清幾何直觀的內(nèi)涵，基于學(xué)生已有的圖形經(jīng)驗和數(shù)學(xué)問題的特點，通過選圖、構(gòu)圖、析圖等方面的訓(xùn)練，探尋培養(yǎng)小學(xué)生幾何直觀能力的有效路徑。

關(guān)鍵詞：幾何直觀;思維可視化;小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2019）12B-0030-04

幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提出的十大核心概念之一，也是培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容。借助幾何直觀能使數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，增進(jìn)數(shù)學(xué)理解，探索解題思路或預(yù)測結(jié)果。幾何直觀是思維可視化的有效路徑。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生利用幾何直觀解決數(shù)學(xué)問題，不斷提升學(xué)生解決問題的能力。

一、幾何直觀的內(nèi)涵和價值

（一）幾何直觀的內(nèi)涵

幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在推進(jìn)數(shù)學(xué)問題的研究、數(shù)學(xué)發(fā)展等方面有著重要的作用。著名數(shù)學(xué)家徐利治先生指出：“幾何直觀是借助見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知。”[1]孔凡哲、史寧中先生把幾何直觀看作一種數(shù)學(xué)感知能力，認(rèn)為：“幾何直觀是指借助見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學(xué)的研究對象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力?！盵2] 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》具體闡述了幾何直觀的過程和意義，明確指出：“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果?！盵3]

綜合各家觀點，幾何直觀是為了解決抽象的數(shù)學(xué)問題，利用幾何圖形描述和分析問題，以獲得對數(shù)量關(guān)系的直接感知和整體把握的能力。幾何直觀的本質(zhì)是思維的直觀化、可視化，即將抽象的“數(shù)”轉(zhuǎn)換為直觀的“形”，通過對“形”的感知和心理操作，獲得數(shù)學(xué)理解，形成解題思路。

幾何直觀與數(shù)形結(jié)合是兩個不同的概念。從研究的內(nèi)容而言，數(shù)形結(jié)合的思想包含著兩個方面的內(nèi)涵：一方面由“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，直觀把握數(shù)量關(guān)系;另一方面由“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，利用數(shù)的精確性和算法化的優(yōu)勢，探討、揭示幾何圖形的特征。幾何直觀側(cè)重體現(xiàn)由“數(shù)”化“形”的內(nèi)容，主要解決數(shù)學(xué)問題抽象化的問題。從研究對象而言，幾何直觀解決的數(shù)學(xué)問題包括代數(shù)問題和幾何問題，文字表述的幾何問題也是幾何直觀研究的內(nèi)容。

（二）幾何直觀的教學(xué)價值

幾何直觀是借助圖形直觀感知數(shù)學(xué)本質(zhì)、把握數(shù)學(xué)關(guān)系的一種有效方式，是思維可視化的有效途徑，有豐富的教學(xué)價值。

1.有助于發(fā)展數(shù)學(xué)思考

數(shù)學(xué)活動的目的是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。幾何直觀通過“圖形表征”和“圖形分析”增進(jìn)數(shù)學(xué)理解，促進(jìn)對數(shù)學(xué)問題的思考，從而提升數(shù)學(xué)思維能力。借助幾何直觀解題時，不能只停留在對幾何圖形淺表化的感知，而要深入到數(shù)學(xué)問題本身進(jìn)行圖形的選擇和分析，找到隱蔽的條件和解決問題的線索，建立數(shù)量之間的關(guān)系，獲得對問題深層思考。

2.有助于提升解題能力

幾何直觀指向數(shù)學(xué)問題的解決，對于豐富學(xué)生的解題策略、提升解題能力有積極的作用。在學(xué)生遇到抽象數(shù)學(xué)問題而止步不前時，幾何直觀能夠有效縮短數(shù)學(xué)知識的抽象性與學(xué)生思維形象性之間的距離，密切溝通“形”與“數(shù)”之間的關(guān)系，依托“形”直觀性、可視化的特點發(fā)現(xiàn)隱蔽的數(shù)量關(guān)系，從而解決抽象的數(shù)學(xué)問題。

3.有助于培育創(chuàng)新思維

幾何直觀對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維有著重要的意義。一方面，幾何直觀是對幾何圖形特征和關(guān)系的整體把握，有利于發(fā)展學(xué)生的直覺思維能力，使學(xué)生獲得解題靈感，創(chuàng)生新的想法;另一方面，學(xué)生在幾何直觀中的各種差異，為創(chuàng)造性學(xué)習(xí)提供了機(jī)會，使問題思考的方式由“單一”走向“多元”，探索路徑從“封閉”走向“開放”。

二、幾何直觀能力的培養(yǎng)策略與路徑

幾何直觀能力的形成不是一蹴而就的，需要經(jīng)過長期的實踐積累。在日常教學(xué)中，教師要積極運(yùn)用幾何直觀分析問題，幫助學(xué)生形成幾何直觀的意識，更要通過選圖、構(gòu)圖和看圖的策略指導(dǎo)，幫助學(xué)生積累幾何直觀經(jīng)驗，培育和發(fā)展學(xué)生幾何直觀的能力。

（一）選圖——多角度考量，選取恰當(dāng)?shù)膸缀螆D形

幾何圖形是幾何直觀的對象，適切的圖形能有效促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題、探明解題思路。教學(xué)時，教師要引導(dǎo)學(xué)生謹(jǐn)慎選擇幾何圖形表征問題，凸顯數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

1.關(guān)注圖形與學(xué)生經(jīng)驗的“匹配度”

幾何圖形內(nèi)容十分豐富，包括線、面、體在內(nèi)的一切形體。受圖形學(xué)習(xí)經(jīng)驗的制約，不同學(xué)段的學(xué)生對幾何圖形有著不同的選擇取向。學(xué)生的圖形認(rèn)知經(jīng)驗是幾何直觀的基礎(chǔ)，只有基于學(xué)生已有的圖形經(jīng)驗選圖，才能發(fā)揮幾何直觀的價值。如，低年級學(xué)生處于幾何圖形的初步感知階段，適合畫集合圖和條狀圖等半抽象的示意圖來表示數(shù)量和數(shù)量關(guān)系。中年級學(xué)生了解了線、面圖形的基本特征，中年級是發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的最佳時期，可選線段圖和基本平面圖形表示問題。高年級學(xué)生可以在已有的基礎(chǔ)上，適當(dāng)選用立體圖形表征問題。

2.關(guān)注圖形與數(shù)學(xué)知識的“契合度”

選圖表征問題時，教師要考慮與數(shù)學(xué)知識的“契合度”，直觀呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，為學(xué)生進(jìn)一步分析和思考問題提供有效的支撐。如，教學(xué)除法性質(zhì)時，教師可選擇長方形作為直觀載體，幫助學(xué)生理解性質(zhì)背后的原理。以210÷5÷2=210÷（5×2）為例，教師借助圖1不僅能幫助學(xué)生明了先將210平均分成5分后，再將每一份平均分成2份，就是將210平均分成了（5×2）份，還能基于此圖進(jìn)一步類化，幫助學(xué)生建立除法性質(zhì)的幾何模型，使學(xué)生獲得對性質(zhì)的一般化理解。

3.關(guān)注圖形與思維路徑的“聯(lián)結(jié)度”

選擇的圖形要與問題的思考路徑一致，能直觀啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。教師要注意數(shù)與運(yùn)算、探索規(guī)律等內(nèi)容中的圖形選擇，不僅要選擇典型幾何模型，還要針對特殊解法選擇適合的直觀圖形，幫助學(xué)生克服思維定式，靈活選擇方法解題。如，計算1+3+5+7+9+11時，除了借助梯形圖將算式轉(zhuǎn)化為（1+11）×6÷2求和，還可以借助正方形圖將算式轉(zhuǎn)化為62，簡化計算方法。

4.關(guān)注圖形與表征習(xí)慣的“延續(xù)度”

圖形選擇既要考慮圖形的多樣性和靈活性，還要考慮圖形的針對性和普適性。教學(xué)時，教師要根據(jù)數(shù)學(xué)知識之間內(nèi)在的聯(lián)系選圖，用同一類型的圖形描述相同性質(zhì)的問題，幫助學(xué)生形成表征習(xí)慣。畫線段圖是表征倍數(shù)關(guān)系、相差關(guān)系以及行程問題等的重要方式，圖形題也不例外，可以解決如“一個等腰三角形，頂角是底角的2倍，這個三角形的底角和頂角各是多少度？”等問題。長方形、正方形示意圖適用于解決與乘法運(yùn)算相關(guān)的問題，包括解釋積的變化規(guī)律和乘法結(jié)合律等。

（二）構(gòu)圖——多層面切入，用幾何圖形表征數(shù)學(xué)問題

在選定合適的幾何圖形后，根據(jù)問題的特點構(gòu)造圖形是培養(yǎng)幾何直觀能力的關(guān)鍵。教師在平時的教學(xué)中要有意識地將內(nèi)隱的構(gòu)圖策略顯性化，幫助學(xué)生積累構(gòu)圖經(jīng)驗，掌握構(gòu)圖技巧，進(jìn)而發(fā)展構(gòu)圖能力。

1.豐富構(gòu)圖經(jīng)驗

很多學(xué)生無法借助幾何圖形正確表征數(shù)學(xué)問題，究其原因是缺乏相應(yīng)的構(gòu)圖經(jīng)驗。學(xué)生的構(gòu)圖經(jīng)驗來源于日常的生活經(jīng)驗和圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，兩者缺一不可。教師要積極滲透畫圖技巧，幫助學(xué)生獲得構(gòu)圖的間接經(jīng)驗，也要及時發(fā)現(xiàn)生活經(jīng)驗的不足并增補(bǔ)相關(guān)內(nèi)容。如面對“一個正方形菜地，邊長增加3米，面積增加39平方米。原來長方形菜地面積是多少平方米？”時，教師要通過再現(xiàn)實際情境，幫助學(xué)生彌補(bǔ)生活經(jīng)驗的缺失，形成正確畫圖的方法。

2.把握構(gòu)圖要素

為了能使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，教師需要對學(xué)生構(gòu)圖進(jìn)行指導(dǎo)，包括數(shù)與形的結(jié)合、關(guān)鍵信息的標(biāo)示以及隱蔽條件的呈示等。一要精準(zhǔn)刻畫、如實描述題目的有效條件及問題;二要在圖上標(biāo)示出題中的每個數(shù)據(jù)，特別是解決非圖形問題時，要做到“有形必見數(shù)”，養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合共同表征問題的習(xí)慣;三要關(guān)注隱蔽條件的表征，學(xué)會將隱蔽的關(guān)系外顯。如用圖表示“一個等腰三角形頂角比底角大20°，求頂角和底角的度數(shù)”時，學(xué)生要清楚標(biāo)出“三角形內(nèi)角和180度”這個隱藏著的信息。

3.明晰構(gòu)圖順序

構(gòu)圖過程實際上是梳理題目信息，再次明確題意的過程。構(gòu)圖的順序能反映學(xué)生的思維狀態(tài)和水平。通常，構(gòu)圖能力較差的學(xué)生只關(guān)注“細(xì)節(jié)描畫”而忽略“整體構(gòu)造”，按部就班表征問題信息，導(dǎo)致陷入“只見樹木不見森林”的迷局。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生按先“整體”再“局部”的順序構(gòu)圖，建立各個數(shù)量之間的層級關(guān)系。如用長方形描述“一個長方形操場長100米、寬80米，長增加3米，寬增加2米，面積增加了多少平方米？”等問題時，學(xué)生要先明確長、寬變化后仍然是一個長方形，再根據(jù)長、寬的增減變化確定變化后長方形的長和寬，最后再勾畫出整個圖形。同理，用線段圖描述“行程問題”時，學(xué)生要在明確對象運(yùn)動時間、地點和方向的情況下，著重表征行走的路程，確立路程和距離之間的關(guān)系。

4.變換構(gòu)圖方式

不同的構(gòu)圖方式在啟迪學(xué)生思維方面有著不同的價值。在學(xué)生無法借助幾何圖形直觀理解數(shù)量關(guān)系時，教師要突破常規(guī)思路的限制，根據(jù)題目特點靈活調(diào)整構(gòu)圖方式，幫助學(xué)生理清關(guān)系。如教學(xué)“一筐梨，小紅第一次吃了一半多2個，第二次吃了剩下的一半少2個，最后剩下5個，原來一筐梨有多少個？”，由于題目中的信息多、關(guān)系復(fù)雜，僅用一條線段表征問題中所有的信息，很難發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系。如果換成多條線段表征信息（如圖2 ），并將“一半”、每次“拿走”的信息用長虛線、大括號凸顯，就能使關(guān)系明朗化，幫助學(xué)生順利解題。

（三）析圖——多路徑探索，借圖形關(guān)系把握數(shù)量關(guān)系

“并非畫出幾何圖形就可以稱為借助幾何直觀，而是需要借助幾何圖形發(fā)現(xiàn)所研究圖形的本質(zhì)、關(guān)系或規(guī)律?！盵4]幾何直觀不僅要借助圖形表征數(shù)學(xué)問題，還要利用對圖形的觀察和分析，尋求解決問題的思路和方法，直至獲得結(jié)論。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生利用幾何直覺，結(jié)合圖形特征運(yùn)用圖形變換和幾何推理等方式，幫助學(xué)生獲得看圖分析問題的能力。

1.利用幾何直覺探明方向

借助于幾何圖形的形象直接感知數(shù)學(xué)研究對象，能獲得對數(shù)量關(guān)系的直觀感知和直覺判斷，以及對結(jié)果的預(yù)測。教師要重視幾何直覺在直觀中的作用，鼓勵學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有的圖形信息大膽猜測數(shù)量關(guān)系，把握研究方向并預(yù)測結(jié)果。如教學(xué)圓面積時，教師可在學(xué)生明確圓面積和圓的半徑r有關(guān)的基礎(chǔ)上，出示邊長為r的正方形，讓學(xué)生猜測圓面積和正方形面積之間的關(guān)系，以此確定圓面積的范圍在2r2～4r2之間，再以此為研究起點將圓無限等分后轉(zhuǎn)化成近似長方形，推導(dǎo)出圓面積計算公式。

2.根據(jù)圖形特征探尋關(guān)系

幾何圖形具有過程和概念的意義，更利于學(xué)生探索解題思路。在借助幾何直觀解決問題時，教師不僅要確認(rèn)學(xué)生對圖形特征有準(zhǔn)確、清晰的認(rèn)知，還要引導(dǎo)學(xué)生基于已有圖形信息，根據(jù)圖形特征進(jìn)行聯(lián)想和推測，發(fā)現(xiàn)隱蔽的數(shù)量關(guān)系，獲得解決問題的線索。在圖形教學(xué)時，教師就要有意識地讓學(xué)生根據(jù)圖形特征聯(lián)想關(guān)系。如，在認(rèn)識圓時，教師就可以讓學(xué)生進(jìn)行“根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，你還想到了什么”的信息聯(lián)想訓(xùn)練（如圖3 ），溝通長方形長、寬與圓的半徑、直徑之間的關(guān)系以及正方形邊長和圓的直徑之間的關(guān)系，為看圖分析并解決稍復(fù)雜的圓的實際問題積累思維經(jīng)驗。

3.結(jié)合圖形運(yùn)動探索思路

利用圖形的運(yùn)動進(jìn)行圖形轉(zhuǎn)化，常常能“化腐朽為神奇”，瞬間使復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系變得簡單明了。教師要引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動的眼光看待數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)更加簡單、有效的解題路徑，發(fā)展空間想象力。如，解決“一塊長方形菜地，長和寬都增加3米后，面積增加69平方米，原來長方形菜地的周長是多少米？”（見圖4 ），在用長方形示意圖描述問題，將增加部分面積分成3個部分后，學(xué)生就需要借助圖形的旋轉(zhuǎn)，將①部分旋轉(zhuǎn)至②部分的右側(cè)，與②部分拼成一個寬為3米的大長方形，先求出長方形的長（原長方形的長與寬的和），進(jìn)一步求出原長方形的周長。在解決立體圖形問題時，學(xué)生也需要通過圖形的運(yùn)動，將三維立體圖形問題轉(zhuǎn)化成二維平面圖問題，從而找到解決問題的最優(yōu)策略。

借助幾何圖形“看”出數(shù)量關(guān)系是一種智慧，更是一種能力。教師要加強(qiáng)幾何直觀的策略指導(dǎo)，讓學(xué)生掌握用圖表征問題的一些基本技巧，獲得畫圖的基本技能;還要通過創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，幫助學(xué)生主動產(chǎn)生幾何直觀的意識;更要提供利用幾何直觀表達(dá)和交流數(shù)學(xué)問題的機(jī)會，讓學(xué)生在嘗試開展圖形表征、分析的過程中，在對比辨析中，不斷提升幾何直觀水平。

參考文獻(xiàn)：

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責(zé)任編輯：石萍

Geometric Intuition： An Effective Way of Thinking Visualization

WU Jing

（Jiangyin Chengjiang Central Primary School， Jiangyin 214400，China）

Abstract：? Geometric intuition is one of ten core concepts proposed by Mathematics Curriculum Criterion in Compulsory Education （2011 version）， which can make mathematic problems concrete and visualized， helping students discover the relationships between quantities， explore solutions and anticipate results. Teachers should clarify the connotations of geometric intuition and train students ability of selecting， structuring and analyzing graphs on the basis of students previous? experience and the features of mathematic problems， trying to find the effective ways of cultivating students competence of geometric intuition.

Key words： geometric intuition; thinking visualization; primary school mathematics teaching