從一道2018年的中考數(shù)學(xué)壓軸題談起

摘 要：壓軸題一般是指試卷最后面出現(xiàn)的大題，它以難度大，分?jǐn)?shù)高，綜合性強(qiáng)為特點(diǎn)，學(xué)生要想在中考數(shù)學(xué)中脫穎而出，就必須將壓軸題拿下。筆者認(rèn)為初中生平時(shí)除了積累數(shù)學(xué)知識(shí)外，還應(yīng)該認(rèn)真分析以往中考生答錯(cuò)壓軸題的原因，為今后的中考數(shù)學(xué)探路。

關(guān)鍵詞：中考數(shù)學(xué)；壓軸題；分析原因；探路

前段時(shí)間，本省各市進(jìn)行了2018年的中考，因筆者素來(lái)就對(duì)中考數(shù)學(xué)壓軸題頗感興趣，便向多方詢問(wèn)了解了許多數(shù)學(xué)壓軸題以及考生的解答情況，其中某市的一道數(shù)學(xué)壓軸題令筆者印象深刻，原因是該壓軸題的難度系數(shù)不算大，但學(xué)生的答題情況卻比預(yù)期要差許多，筆者想通過(guò)此題來(lái)認(rèn)清學(xué)生的思維世界，分析學(xué)生做錯(cuò)的原因，希望能對(duì)學(xué)生今后的答題起到切實(shí)的指導(dǎo)作用，為初中生今后的中考數(shù)學(xué)探出一條光明大道。

一、 題目呈現(xiàn)

題目：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），且OA=3，OB=1，與y軸交于C（0，3），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）。

（1） 求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2） 求拋物線的解析式；

（3） 過(guò)點(diǎn)D作直線DE∥y軸，交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上B、D兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B、D兩點(diǎn)重合），PA、PB與直線DE分別交于點(diǎn)F、G，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，EF+EG是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

二、 分析答情

下面是學(xué)生的解答情況：

第（1）問(wèn)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，學(xué)生甲和學(xué)生乙給出了不同的答案。

學(xué)生甲：∵拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），且OA=3，OB=1，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）。

學(xué)生乙：A（1，0），B（-3，0）。

點(diǎn)評(píng)：第（1）問(wèn)真的算得上是送分題，很多學(xué)生的解題過(guò)程跟學(xué)生甲是一樣的，因?yàn)槭裁礂l件得出了什么結(jié)論，這樣的用法很恰當(dāng)，思路也非常清晰。令人費(fèi)解的是到了中考居然還有乙給出的這種答案，原因是學(xué)生乙審題過(guò)于粗心，沒(méi)注意題目里已經(jīng)明確給出條件“A在B的左側(cè)”。每次講評(píng)作業(yè)或試卷時(shí)，總能聽(tīng)到學(xué)生大呼看錯(cuò)題了，錯(cuò)就是錯(cuò)，數(shù)學(xué)不接受“我本可以”的解釋，所以筆者認(rèn)為細(xì)心也是解題能力的一種，學(xué)生們應(yīng)該認(rèn)真對(duì)待每一道題，從“我本可以”轉(zhuǎn)化到“我做到了”的狀態(tài)。

第（2）問(wèn)求拋物線的解析式，學(xué)生丙和學(xué)生丁給出了不同的思路。

學(xué)生丙：將（1，0），（-3，0），（0，3）代入解析式y(tǒng)=ax2+bx+c，得：

0=a+b+c，0=9a-3b+c，3=0+0+c， 解得

a=-1，b=-2，c=3，

∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3。

學(xué)生?。涸O(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），把點(diǎn)C（0，3）代入該解析式得到3=a×3×（-1），解得a=1，則拋物線的解析式為y=-（x+3）（x-1）=-x2-2x+3。

點(diǎn)評(píng)：學(xué)生丙的解題一般是考生看到題目后最先想到的方法，直接將拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，再解三元一次方程組即可。如果學(xué)生的運(yùn)算能力不強(qiáng)，對(duì)方程組的解法不熟悉，也不夠細(xì)心的話就會(huì)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。如果能像學(xué)生丁那樣采用設(shè)交點(diǎn)式的解析式的方法，這樣就減少了計(jì)算量，成功率會(huì)高許多。這就要求學(xué)生在看完題目后耐心思考解題的多種策略，然后認(rèn)真地選取符合自己能力的解題策略，進(jìn)而提高做題的成功率。

第（3）問(wèn)是當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，EF+EG是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。學(xué)生戊和學(xué)生己解題的突破口不同。

學(xué)生戊：EF+EG是定值，且EF+EG=8，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交x軸于點(diǎn)Q，設(shè)P（t，-t2-2t+3）則PQ=-t2-2t+3，AQ=3+t，QB=1-t，AE=2，∵PQ∥EF，∴△AEF∽△AQP，

則EFPQ=AEAQ，∴EF=PQ·AEAQ=（-t2-2t+3）×23+t=23+t×（3+t）（1-t）=2（1-t），同理，

∵PQ∥EG，∴△BEG∽△BQP，∴有EGQP=BEBQ，

∴EG=PQ·BEBQ=（-t2-2t+3）×21-t=21-t×（-t2-2t+3）=2（t+3），∴EF+EG=2（1-t）+2（t+3）=8。

學(xué)生己：EF+EG是定值，且EF+EG=8，理由如下：已知點(diǎn)P是拋物線上B、D兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B、D兩點(diǎn)重合），當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，有P（0，3），設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，將A（-3，0），P（0，3）代入解析式得：

0=-3k+b，3=0×k+b，解得k=1，b=3，∴直線AP的解析式為y=x+3。

∵直線AP與直線DE交于點(diǎn)F，則點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為-1，則有y=-1+3=2，F(xiàn)（-1，2），∴EF=2。

設(shè)直線BP的解析式為y=kx+b，將B（1，0），P（0，3）代入解析式得：0=1×k+b，3=0×k+b，解得k=-3，b=3∴直線BP的解析式為y=-3x+3。

∵直線BP與直線DE交于點(diǎn)G，則點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為-1，則有y=-3×（-1）+3=6，G（-1，6），∴EG=6。

∴EF+EG=2+6=8，則當(dāng)點(diǎn)P是拋物線上除點(diǎn)C外的B、D兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，也會(huì)有EF+EG=2+6=8。

點(diǎn)評(píng)：學(xué)生戊的思路極其清晰，在找不到其他解題方法的情況下畫(huà)了一條關(guān)鍵的輔助線PQ，以至于能順利地找到了兩組相似三角形，再利用相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例的關(guān)系算出了EF和EG的值，最后得到EF+EG=2（1-t）+2（t+3）=8。每一步驟都能以數(shù)學(xué)知識(shí)為依據(jù)，層層遞進(jìn)，加上自身運(yùn)算能力強(qiáng)，最后得到正確答案也是意料之中的事。而學(xué)生己一開(kāi)始想以特殊點(diǎn)為突破口——當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，順利算出F（-1，2），G（-1，6）得到EF=2，EG=6，EF+EG=2+6=8，最后的解釋“則當(dāng)點(diǎn)P是拋物線上除點(diǎn)C外的B、D兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，也會(huì)有EF+EG=2+6=8。”在這里，學(xué)生己太想當(dāng)然了，在沒(méi)有任何數(shù)學(xué)知識(shí)為依據(jù)的前提下，將特殊情況錯(cuò)誤地過(guò)渡到一般情況，這點(diǎn)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域是說(shuō)不通的。如果學(xué)生寫到這里后認(rèn)真地尋找數(shù)學(xué)依據(jù)，經(jīng)分析后一定會(huì)發(fā)現(xiàn)思路出現(xiàn)了嚴(yán)重的漏洞，此時(shí)再尋求另一種解題思路也還來(lái)得及。所以解題時(shí)要有耐心和細(xì)心，這兩樣缺一不可。

三、 深入反思

數(shù)學(xué)知識(shí)有著嚴(yán)密的聯(lián)系性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)性。嚴(yán)密的聯(lián)系性指的是數(shù)學(xué)知識(shí)是結(jié)成網(wǎng)狀的知識(shí)體系，知識(shí)之間相互支撐，相互依托，沒(méi)有哪些數(shù)學(xué)知識(shí)能獨(dú)立出來(lái)，因?yàn)樗鼈兪遣豢煞指畹摹?yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)性說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)有極強(qiáng)的邏輯性，它是根據(jù)現(xiàn)實(shí)社會(huì)的需要，并以原來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)為依據(jù)而科學(xué)地增加。數(shù)學(xué)壓軸題更是很好地印證了這兩點(diǎn)。當(dāng)學(xué)生做題時(shí)，如果不能找到相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)為依據(jù)，說(shuō)明學(xué)生此時(shí)的解題思路很可能存在漏洞，因?yàn)檎_的解題思路應(yīng)該是讓人感到豁然開(kāi)朗的，而不是含含糊糊、模糊不清的。當(dāng)然，在做題時(shí)，學(xué)生除了要有清晰且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}思路之外，還需要具備足夠的耐心、細(xì)心和經(jīng)驗(yàn)，而這些都需要學(xué)生在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中慢慢地去嘗試和積累，那么積極分析往年中考數(shù)學(xué)壓軸題的答題情況并總結(jié)出原因，這毋庸置疑是一種有效的途徑。

作者簡(jiǎn)介：

葉夢(mèng)玲，廣西壯族自治區(qū)南寧市，廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院。