沖突證據(jù)的相關(guān)系數(shù)度量方法

孫貴東，關(guān)欣，衣曉，趙靜

（海軍航空大學(xué)航空作戰(zhàn)勤務(wù)學(xué)院，山東 煙臺 264001）

1 引言

復(fù)雜電磁環(huán)境和自然環(huán)境導(dǎo)致戰(zhàn)場信息往往具有不確定性和高沖突性，多源信息融合技術(shù)通過各傳感器的優(yōu)勢互補，融合各傳感器的多源信息，提升系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可靠性和抗干擾能力，綜合給出決策判定，在復(fù)雜戰(zhàn)場環(huán)境下被廣泛采納。決策層融合作為信息融合的高層融合階段，既可以處理同類傳感器又可以處理異類傳感器上報的信息，在不確定信息處理方面具有較大優(yōu)勢，得到了廣泛研究。由于戰(zhàn)場環(huán)境的復(fù)雜，這些決策信息本身攜帶不確定性，并且不同傳感器之間的決策信息往往還是沖突的，因此，決策層融合的不確定信息處理問題是多源信息融合必須解決的問題，也是難點問題，并且是復(fù)雜戰(zhàn)場環(huán)境的態(tài)勢感知，威脅估計等決策判定的基礎(chǔ)。信度函數(shù)[1-2]是決策層融合的一種重要方法，由于在不確定性數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域尤其是對沖突信息處理方面的優(yōu)勢，已經(jīng)成為雷達、通信等偵察數(shù)據(jù)的重要定量分析方法，也是最常用的決策層融合方法。2016年，國際近似推理期刊IJAR專門舉辦了信度函數(shù)?？?，慶祝信度函數(shù)40周年[3-4]，經(jīng)過 40多年的發(fā)展，信度函數(shù)不僅在理論上不斷完善，而且在聚類分析，模式分類和識別，多屬性決策，圖像處理，模糊集與粗糙集和近似推理等多個領(lǐng)域[5-10]也得到了廣泛應(yīng)用。

在信度函數(shù)發(fā)展的過程中，沖突證據(jù)度量是一個熱點問題。自Zadeh[11]提出著名的Zadeh悖論以來，沖突證據(jù)度量就得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛研究，并提出了各種沖突證據(jù)度量方法。由于傳統(tǒng)的證據(jù)沖突系數(shù)k在高沖突情況下不能得到正確的融合結(jié)果，Smets等[12]提出了著名的TBM（transferable belief model），定義了Pignistic概率函數(shù)用來進行沖突證據(jù)度量；Jousselme等[13]提出了經(jīng)典的Jousselme距離來度量沖突證據(jù)距離；文獻[14-16]等系統(tǒng)性分析和比較沖突證據(jù)的各種距離度量方法；文獻[17-18]等分別用沖突系數(shù)k和Jousselme證據(jù)距離的算術(shù)平均值和幾何平均值度量沖突證據(jù)；文獻[19]則基于證據(jù)虛假度進行沖突度量；而文獻[20]基于類偏熵和關(guān)聯(lián)熵定義了關(guān)聯(lián)系數(shù)，來定量的表示證據(jù)之間的沖突；文獻[21-22]利用夾角余弦來進行沖突度量；文獻[23]基于Pignistic概率轉(zhuǎn)換引入Tanimoto測度來度量沖突證據(jù)；文獻[24-26]分別定義了證據(jù)重合度、新的證據(jù)不確定度和融合證據(jù)距離和證據(jù)散度的Hamacher T-余范度量沖突證據(jù)。

盡管上述文獻在一定程度上實現(xiàn)了對沖突證據(jù)的度量，但是各種方法都或多或少存在局限性，比如Jousselme距離在證據(jù)完全沖突時，計算結(jié)果容易出現(xiàn)悖論；TBM在Pignistic概率轉(zhuǎn)換過程中將信息平均分配給單類焦元，違背了單類互斥的原則，所以在后續(xù)的用 Pignistic概率距離計算沖突度量時也容易出現(xiàn)違背常理的結(jié)果。而現(xiàn)有的沖突證據(jù)度量方法大多是基于Jousselme距離和Pignistic概率轉(zhuǎn)換的，因此新的沖突度量方法的提出是必要的。通過對現(xiàn)有沖突證據(jù)度量方法的分析得知，當(dāng)證據(jù)為單類證據(jù)時，大多數(shù)方法都能夠很好地度量，但是當(dāng)證據(jù)為多類證據(jù)時，各種方法開始出現(xiàn)悖論。因此，多類證據(jù)的沖突度量是解決問題的關(guān)鍵，也是難點問題。盡管現(xiàn)有文獻采用Jousselme距離中的矩陣D來拆分單類與多類證據(jù)，但是未考慮到單類與多類證據(jù)之間的矩陣D應(yīng)該有所不同。

為此，本文基于關(guān)聯(lián)系數(shù)提出一種沖突證據(jù)度量方法，目的是分清多類與單類證據(jù)之間的關(guān)系，并非是一種比現(xiàn)有方法具有很大優(yōu)勢的沖突證據(jù)度量方法，而是試圖給出一種沖突證據(jù)度量的新思路。此外，相關(guān)系數(shù)作為序列線性變化的度量方法，已在多個領(lǐng)域體現(xiàn)優(yōu)勢，廣義上，現(xiàn)有的夾角余弦度量是相關(guān)系數(shù)的一種向量表示方法，但是夾角余弦僅僅是線性向量的夾角，當(dāng)向量維數(shù)增加時，從直觀上無法分辨。并且，夾角余弦不能像相關(guān)系數(shù)一樣可以從序列相關(guān)的角度進行分析，因此，本文方法亦即是現(xiàn)有夾角余弦沖突證據(jù)度量方法的改進和推廣。

為此，本文首先概述信度函數(shù)理論，并進一步分析現(xiàn)有沖突證據(jù)度量方法，在此基礎(chǔ)上提出沖突證據(jù)度量的相關(guān)系數(shù)方法，并重點討論單類與多類證據(jù)之間的關(guān)系。最后通過經(jīng)典的沖突證據(jù)分析算例驗證所提出方法的有效性。

2 基本概述

2.1 信度函數(shù)概述

記辨識框架Θ上的任意命題A的基本信度賦值（BBA，basic belief assignment）或mass函數(shù)為其冪集2Θ到[0,1]上的映射m: 2Θ→ [ 0,1]，滿足

如 果m(A) ＞ 0 ， 稱A為m(·)的 焦 元 ，則稱A為主焦元，所有焦元集合構(gòu)成了m(·)的核，記為κ(m)。m(A)的含義為冪集空間子集屬于命題A的基本信度，命題A可以是單類（單集）也可以是多類（復(fù)合集）。

Shafer在mass函數(shù)的基礎(chǔ)上定義了信度Bel(·)和似然度Pl(·)，對于冪集空間2Θ上的命題A、B，令A(yù)?B，則有

其中，是命題A在冪集空間的補集，易知Bel(B)≤ P l(B)，并記為命題B的不確定信度區(qū)間，信度函數(shù)通過信度區(qū)間描述不確定信息解決傳統(tǒng)概率論不能解決的不確定信息處理的問題。而命題B的信度函數(shù)和似然函數(shù)定義為B到其信度 Bel(·)和似然度 Pl(·)上的映射。

記同一辨識框架下，兩條獨立證據(jù)的 mass函數(shù)為m1(·)和m2(·)，A、B和C分別為辨識框架下的命題，稱m(· ) =m1( ·) ⊕m2(·)為經(jīng)典的DS組合規(guī)則滿足

其中，k為兩條證據(jù)的沖突程度，

當(dāng)k=1時，表示兩條證據(jù)完全沖突，此時不能用經(jīng)典的 DS組合規(guī)則進行融合，當(dāng)k→1時，經(jīng)典的DS組合規(guī)則融合后往往會產(chǎn)生違背直覺的結(jié)果，因此如何處理沖突證據(jù)是信度函數(shù)的一個重要研究方向。

2.2 現(xiàn)有沖突證據(jù)度量分析

2.2.1 Pignistic 概率距離

Smets等[12]提出了著名的 TBM 模型，定義了Pignistic概率函數(shù)。記辨識框架Θ上的證據(jù)對冪集空間命題的 mass函數(shù)為m，BetPm:Θ → [ 0,1]為Pignistic概率函數(shù)，滿足

其中，|B|為焦元的勢。BetPm(A)將復(fù)合類焦元的信度平均分配給了其包含的單類，是在香農(nóng)信息熵意義下實現(xiàn) mass函數(shù)到概率分布的轉(zhuǎn)換。文獻[27]在Pignistic概率函數(shù)的基礎(chǔ)上提出了Pignistic概率距離

2.2.2 Jousselme 距離

Jousselme等[13]提出了經(jīng)典的Jousselme距離。記相同辨識框架Θ上的2條證據(jù)對冪集空間命題的mass函數(shù)分別為m1和m2，dBPA(m1,m2)為Jousselme距離，滿足

其中，m1、m2分別為mass函數(shù)在冪集空間張成的序列向量，D為 2|Θ|× 2|Θ|的正定矩陣，滿足

其中，Ai,Aj∈ 2Θ，矩陣D的概念十分重要，揭示了證據(jù)單集與多集命題之間的關(guān)系，有文獻定義了新的矩陣D表達式，文獻[14]中有具體的綜述，可詳細查看。

2.2.3 證據(jù)關(guān)聯(lián)系數(shù)

鄧勇等[20]基于類偏熵和關(guān)聯(lián)熵定義了證據(jù)關(guān)聯(lián)系數(shù)。記相同辨識框架Θ上的兩條證據(jù)對冪集空間命題的 mass函數(shù)分別為m1和m2，r(m1,m2)為證據(jù)關(guān)聯(lián)系數(shù)，滿足

其中，H(m1)和Hm2(m1) 為隨機變量m1關(guān)于隨機變量m2的類偏熵，

2.2.4 證據(jù)夾角余弦

宋亞飛等[21]和王路等[22]基于向量夾角余弦定義了證據(jù)夾角余弦。記相同辨識框架Θ上的兩條證據(jù)對冪集空間命題的 mass函數(shù)分別為m1和m2，cos(m1,m2)為證據(jù)夾角余弦，滿足

其中，m1和m2分別為證據(jù)mass函數(shù)m1和m2張成的向量，分別為m1和m2的模

3 基于相關(guān)系數(shù)的沖突證據(jù)度量

證據(jù)沖突描述為證據(jù)對同一框架內(nèi)相同命題基本信度的差異性，本文基于相關(guān)系數(shù)研究沖突證據(jù)度量問題。證據(jù)沖突與相關(guān)系數(shù)之間是逆向關(guān)系，證據(jù)沖突越大，相關(guān)性越小，反之亦然。本節(jié)首先給出相關(guān)定義，其次引入證據(jù)相關(guān)系數(shù)，最后重點分析單類和多類證據(jù)命題的關(guān)系，利用關(guān)系矩陣修正證據(jù)相關(guān)系數(shù)。

3.1 相關(guān)定義

定義1記辨識框架Θ上由兩條證據(jù)mass函數(shù)組成的序列分別為和則證據(jù)相關(guān)定義為

在實際計算過程中證據(jù)相關(guān)僅需計算存在焦元的證據(jù)之間的相關(guān)性，為此給出兩條證據(jù)mass函數(shù)并核的概念，表示兩條證據(jù)mass函數(shù)核的并集

并 核 κ (m1m2)滿 足為并核內(nèi)焦元的個數(shù)，則證據(jù)相關(guān)修正為并核相關(guān)

定義2在辨識框架Θ上，證據(jù)mass函數(shù)序列mk(·)的證據(jù)自相關(guān)定義為

核自相關(guān)為

3.2 證據(jù)相關(guān)系數(shù)

定義 3 記辨識框架Θ上的兩條證據(jù)對冪集空間命題的mass函數(shù)分別為m1和m2，ρ (m1,m2)為證據(jù)相關(guān)系數(shù)，表述為證據(jù)間線性變化的度量，滿足

條件2)可以具體描述為下述重要定理。

定理在證據(jù)理論框架內(nèi)，證據(jù)線性相關(guān)等價于證據(jù)相等。

證明1如果而 mass函數(shù)滿足則即

如果，m1=m2，由相關(guān)系數(shù)含義可知，顯然ρ(m1,m2)=1。

證畢。

實際上，正是由于上述定理才使相關(guān)系數(shù)可以作為證據(jù)沖突的度量方法，如果脫離的證據(jù)理論框架，相關(guān)系數(shù)僅描述線性關(guān)系，不能夠充分描述變量間的接近度。

定義4在辨識框架Θ上，兩條證據(jù)mass函數(shù)序列為m1(·)和m2(·)，證據(jù)相關(guān)系數(shù)定義為歸一化的證據(jù)相關(guān)，可以用式(22)表示。

將證據(jù)相關(guān)系數(shù)修正為并核相關(guān)系數(shù)為

上述相關(guān)系數(shù)滿足相關(guān)系數(shù)的3條準則。

證明2

1) ρκ(m1,m2) = ρκ(m2,m1) 顯然成立。

2) ρκ(m1,m2) =1,當(dāng) 且僅當(dāng)m1=m2在證明1中已經(jīng)給出。

3) 由于m1≥ 0 ,m2≥ 0 ，所以 ρκ(m1,m2)≥ 0，

證畢。

例1辨識框架 Θ = { θ1,θ2, θ3, θ4, θ5}，3條獨立證據(jù)分別為

通過計算得知證據(jù)m1和m2以及m1和m3之間的相關(guān)系數(shù)分別為

計算結(jié)果與事實情況相符，驗證了所提出的沖突證據(jù)相關(guān)系數(shù)度量的準確性。

3.3 證據(jù)相關(guān)系數(shù)修正

上述證據(jù)相關(guān)系數(shù)在處理辨識框架Θ上僅存在單類命題時優(yōu)勢明顯，但是如果單類和多類命題共同存在時，上述證據(jù)相關(guān)系數(shù)無法很好地處理。

例2辨識框架 Θ = { θ1,θ2, θ3, θ4, θ5}，3條獨立證據(jù)分別為

通過計算得知證據(jù)m1和m2以及m1和m3之間的相關(guān)系數(shù)分別為

顯然計算結(jié)果與事實情況不符，m1和m2之間的相關(guān)性應(yīng)該比m1和m3之間相關(guān)性要強。

上述違背常理的結(jié)果是未區(qū)分證據(jù)單類與多類命題導(dǎo)致的，實際上，證據(jù)沖突度量的難點在于相關(guān)計算過程中，如何分清單類命題與多類命題。因此，基于文獻[13]的思想，引入關(guān)系矩陣的概念，分清單類命題與多類命題。

定義5記辨識框架Θ上，2條證據(jù)mass函數(shù)分別為文獻[13]給出的證據(jù)關(guān)系矩陣為其中，d描ij述辨識框架內(nèi)命題間的相互關(guān)系。在計算過程中，僅需分清證據(jù) mass函數(shù)并核單類與多類之間的關(guān)系即可，為此定義并核證據(jù)關(guān)系矩陣為

盡管證據(jù)關(guān)系矩陣一定程度上解決了證據(jù)沖突度量的問題，文獻[13,21-22]等都采用了證據(jù)關(guān)系矩陣的思想，但是上述方法都存在不足。主要原因在于，一方面，證據(jù)關(guān)系矩陣修正的對象不準確。文獻[21-22]利用關(guān)系矩陣先修正證據(jù)mass函數(shù)得到新的mass函數(shù)，再利用新的mass函數(shù)計算相關(guān)系數(shù)作為沖突度量，此類方法修正的對象不準確，關(guān)系矩陣應(yīng)該作用于證據(jù)的相互關(guān)系而不是mass函數(shù)，這與文獻[13]提出關(guān)系矩陣時的思想一致。此外先修正證據(jù)mass函數(shù)，會導(dǎo)致得到的新的mass函數(shù)的含義不清楚，并且不再滿足新mass函數(shù)之和小于1的條件。另一方面，在證據(jù)沖突度量計算過程中，未分清并核與核之間的單類與多類的關(guān)系。并核與核之間的單類與多類的證據(jù)關(guān)系矩陣應(yīng)該有所區(qū)別，并核證據(jù)關(guān)系矩陣應(yīng)該修正并核之間單類與多類的關(guān)系，而不能修正核之間單類與多類的關(guān)系，否則會造成后續(xù)的度量錯誤，此時應(yīng)該用核證據(jù)關(guān)系矩陣修正核之間單類與多類的關(guān)系。

例 4 方便起見，這里采用例 3的數(shù)據(jù)進行說明。

如果采用現(xiàn)有的夾角余弦方法，直接用關(guān)系矩陣修正證據(jù)mass函數(shù)得到新的mass函數(shù)，則有

在上述分析的基礎(chǔ)上，綜合考慮關(guān)系矩陣作用的對象，以及用于并核與核的關(guān)系矩陣應(yīng)該有所區(qū)別，提出一種證據(jù)作用中修正方法，在證據(jù)相關(guān)計算過程中，直接用并核證據(jù)關(guān)系矩陣和核證據(jù)關(guān)系矩陣修正，形成修正后的并核相關(guān)CDκ(m1,m2)和核自相關(guān)CDκ(mk,mk)

式(26)和式(27)用向量形式分別表示為

其中，m1( κ(m1,m2))和m2( κ(m1,m2))分別為并核mass函數(shù)張成的向量，mk( κ(mk))為核mass函數(shù)張成的向量。

按上述方法修正后的相關(guān)系數(shù)為

式(30)用向量式表示為

注意到，式(13)與文獻[14]中和文獻[21]中的定義的夾角余弦等有相似之處，但是相比夾角余弦，式(31)一方面分清了單類與多類之間的關(guān)系，用不同的關(guān)系矩陣進行拆分，另一方面，雖然計算系數(shù)因子被約簡，但是在相關(guān)計算過程中一直保留，特別當(dāng)辨識框架類別重要性不同時，此因子可以看作權(quán)重系數(shù)，保證了計算準確性，是夾角余弦框架所不能處理的，因此，此方法可以說是現(xiàn)有夾角余弦方法的改進和推廣。

基于上述相關(guān)系數(shù)得到?jīng)_突證據(jù)度量表達式為

4 算例分析

本節(jié)采用兩組算例對所提出的沖突證據(jù)度量方法進行驗證，第一組算例采用與例2相同的數(shù)據(jù)進行驗證，第二組算例采用現(xiàn)有文獻中經(jīng)常采用的文獻[13]中的經(jīng)典算例，對沖突證據(jù)度量進行驗證并對比分析。

算例 1在復(fù)雜戰(zhàn)場環(huán)境下的多源信息融合系統(tǒng)中，我方電子偵察系統(tǒng)偵測到一未知目標(biāo)抵進我海域，機載雷達、ESM和IFF這3類傳感器各自對此未知目標(biāo)進行識別判斷得到以下決策信息。未知目標(biāo)的可能識別類為1θ、2θ、3θ、4θ、5θ，傳感器對未知目標(biāo)可能的識別類的決策判定信息分別為：機載雷達認為是1θ、2θ和3θ之中的某目標(biāo)的可能性為60%，其中，有30%的把握判定為目標(biāo)3θ，判定為目標(biāo)4θ的可能性只有10%；ESM認為是1θ和2θ之中的某目標(biāo)可能性為 30%，其中，50%的把握判定為目標(biāo)θ3，20%的把握判定為θ5；而IFF判定為目標(biāo)θ4或目標(biāo)θ5的可能性為50%，其中，有30%的把握判定為目標(biāo)θ5，另外認為是目標(biāo)θ3的可能性為30%。信息融合決策中心為實現(xiàn)目標(biāo)的識別判定，需要對三類傳感器的決策信息進行融合判定，由各傳感器的決策信息得知，其決策信息之間是矛盾和沖突的，為此決策判定前需要對其進行沖突度量處理，以更好地進行下一步的融合判定。

上述實例可抽象為下述數(shù)學(xué)語言。

互斥且完備的辨識框架為 Θ = { θ1, θ2, θ3, θ4, θ5}，三條獨立證據(jù)分別為

為實現(xiàn)沖突證據(jù)的融合處理問題，首先需對上述證據(jù)進行沖突度量，利用本文方法分別計算證據(jù)m1和m2以及m1和m3之間的沖突度，計算步驟如下所示。

證據(jù)m1和m2的并核為，對應(yīng)的mass函數(shù)分別為

證據(jù)m1和m3的并核為θ1θ2θ3, θ4θ5} ，對應(yīng)的mass函數(shù)分別為

m1和m2，m1和m3之間的并核關(guān)系矩陣以及m1，m2，m3自身的關(guān)系矩陣分別為

利用式（31）和式（32）計算得到證據(jù)m1和m2以及m1和m3之間的沖突度分別為

該算例計算結(jié)果與事實情況相符，糾正了例 2計算結(jié)果的不足，得到了更準確的沖突度量。

由于本文主要研究內(nèi)容為沖突證據(jù)融合的度量問題，在度量的基礎(chǔ)上可以采用現(xiàn)有的方法進行識別判定。此外新的沖突證據(jù)融合方法也是信度函數(shù)理論的一個急需解決的內(nèi)容，在未來的研究中會繼續(xù)探討，這里不再贅述。

算例 2記互斥且完備的辨識框架 Θ ={θ1, θ2,…, θi,… , θ20}，兩條獨立的證據(jù)對命題的mass函數(shù)分別為的子集。

假設(shè)A從θ1，依次增加一個元素，直至A=Θ，變化規(guī)律簡記為{1}，{1,2},…,{1,2,…,20},在變化過程中分別利用傳統(tǒng)證據(jù)沖突系數(shù)k，Jousselme距離dBPA，Pignistic概率距離，證據(jù)關(guān)聯(lián)系數(shù)r，夾角余弦cos，沖突系數(shù)k和Jousselme證據(jù)距離的算術(shù)平均值kd以及本文提出的相關(guān)系數(shù)Conf度量mass函數(shù)m1和m2之間的沖突程度，計算結(jié)果分別如圖1和表1所示。

圖1 沖突證據(jù)度量對比

通過圖1和表1的形象對比可知，當(dāng)A按規(guī)律從{1}變化到{1,2,…,20}時，只有沖突系數(shù)k維持不變，顯然違背事實情況，說明k不能很好地對沖突證據(jù)進行度量。其余6種方法變化規(guī)律則一致，都隨著A的變化先減小至A= { 1,2,3,4,5}為止，此時證據(jù)間的沖突最小，這與事實相符，此時兩條證據(jù)都對命題{1,2,3,4,5}具有較高的信度，因此此時的沖突度最小，并且當(dāng)A繼續(xù)變化，沖突度逐漸增加，也與兩條證據(jù)對命題信度差異變大的事實相符。所以，通過此經(jīng)典的沖突證據(jù)度量算例，驗證了本文提出的相關(guān)系數(shù)沖突證據(jù)度量方法的有效性。

5 結(jié)束語

本文從相關(guān)系數(shù)的角度給出了沖突證據(jù)度量的一種思路，定義歸一化的證據(jù)相關(guān)為證據(jù)相關(guān)系數(shù)，以此作為沖突證據(jù)度量。在此基礎(chǔ)上，基于現(xiàn)有的關(guān)系矩陣重點討論多類與單類的分辨問題，認為并核與核的關(guān)系矩陣應(yīng)當(dāng)有所區(qū)分，定義并核關(guān)系矩陣作用于并核證據(jù)，核關(guān)系矩陣作用于核證據(jù)。通過并核與核關(guān)系矩陣的修正，得到了新的的沖突證據(jù)度量公式，能夠處理多類證據(jù)的沖突度量問題，克服了現(xiàn)有夾角余弦方法的局限性，具有分辨性好，準確率高的優(yōu)點。最后結(jié)合經(jīng)典的沖突證據(jù)算例驗證了提出的沖突證據(jù)相關(guān)系數(shù)度量方法的有效性。

表1 沖突證據(jù)度量對比