基于差分復(fù)合網(wǎng)格的MSK非相干解調(diào)算法

田文飚，王鵬，芮國(guó)勝，張洋

（海軍航空大學(xué)信號(hào)與信息處理山東省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 煙臺(tái) 264001）

1 引言

最小頻移鍵控（MSK，minimum shift keying）信號(hào)包括恒定、相位連續(xù)、帶寬占用小，具有良好的頻譜特性[1]，在對(duì)潛、深空等遠(yuǎn)程通信領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

MSK解調(diào)有相干解調(diào)和非相干解調(diào)兩種方案，相干解調(diào)性能較優(yōu)，但需要精確的載波頻率和初始相位；非相干解調(diào)性能相對(duì)略差，對(duì)接收信號(hào)的初始相位不敏感，但載波頻率未知（非合作通信）或存在多普勒頻偏時(shí)，解調(diào)性能很差。因此在載波恢復(fù)困難和載波頻率跳動(dòng)等不適用鎖相環(huán)的情況下，亟需研究一種性能優(yōu)良、抗多普勒頻偏的解調(diào)算法。Yang等[2]和Alexis[3]分別討論了MSK信號(hào)的定時(shí)和載波相位的聯(lián)合估計(jì)以及聯(lián)合符號(hào)與碼片同步，解決了α-穩(wěn)態(tài)分布噪聲下以及超再生式MSK接收機(jī)中的同步問(wèn)題，用復(fù)雜度換取了性能，取得了較好的結(jié)果。Simon等[4]研究了MSK信號(hào)的1符號(hào)和2符號(hào)差分解調(diào)算法，利用前后兩個(gè)碼元的相位差信息進(jìn)行解調(diào)，避免了多普勒頻偏引起的相位累積誤差。孫錦華等[5]基于差分 Viterbi檢測(cè)[6-7]思想，利用簡(jiǎn)化狀態(tài)網(wǎng)格進(jìn)行差分解調(diào)，在不導(dǎo)致性能明顯下降的基礎(chǔ)上，降低了系統(tǒng)的復(fù)雜度，但在多普勒頻偏條件下的性能有待提高。喬植等[8]提出了基于多符號(hào)差分相干解調(diào)的方法，與單符號(hào)差分解調(diào)相比，抗多普勒頻偏的范圍有所增大，但仍有較大地提升空間。Denis等[9]提出了一種不需要數(shù)據(jù)輔助的MSK類信號(hào)盲同步算法，對(duì)信號(hào)的位定時(shí)和頻率聯(lián)合恢復(fù)，但是該算法在低信噪比以及大頻偏條件下的性能還有待提高。Huff[10]首次提出了的復(fù)合網(wǎng)格技術(shù)，周家喜將其應(yīng)用到CPM 信號(hào)解調(diào)上來(lái)，在多普勒頻偏引起的相位誤差為 1 0-3rad數(shù)量級(jí)時(shí)算法性能接近非相干解調(diào)理論限[11]，但隨著多普勒頻率增大性能迅速下降。

為了提高M(jìn)SK解調(diào)抗多普勒頻率偏移的范圍，提出了一種MSK差分復(fù)合網(wǎng)格解調(diào)算法。利用相位偏轉(zhuǎn)構(gòu)建出差分復(fù)合網(wǎng)格，提出MSK差分復(fù)合網(wǎng)格的解調(diào)方案，擴(kuò)展了MSK解調(diào)抗多普勒頻偏的范圍，且在復(fù)雜度和判決延時(shí)上優(yōu)于同類算法，略高于1符號(hào)差分算法對(duì)應(yīng)值。仿真結(jié)果表明，算法性能在多普勒頻偏引起的相位誤差為 1 0-1rad數(shù)量級(jí)的情況下仍能接近MSK非相干解調(diào)誤碼率的理論下界。

2 MSK的差分復(fù)合網(wǎng)格解調(diào)算法

2.1 構(gòu)造MSK差分復(fù)合網(wǎng)格

MSK可以看作調(diào)制指數(shù)為0.5的連續(xù)相位移頻鍵控信號(hào)（CPFSK），其復(fù)數(shù)形式的表達(dá)式[12]為

其中，uk=±1為(k- 1 )T～kT時(shí)間內(nèi)的碼元符號(hào)，T是碼元寬度，kΦ是該碼元的初始相位，滿足

MSK差分解調(diào)的信息主要存在于前后兩種碼元的相位差信息中，將式(1)前后碼元進(jìn)行差分運(yùn)算，同時(shí)利用式(2)，得到差分相位為

文獻(xiàn)[13]給出了相位比較法差分解調(diào)的原理，如圖1所示。

低通濾波濾除載波分量后的信號(hào)表達(dá)式為

由式(4)可得MSK差分的4條路徑為

記作S={S1,S2,S3,S4}。將基本路徑相位旋轉(zhuǎn)Δθ ，得到的復(fù)合網(wǎng)格，可以表示為

設(shè)x取值有M種，則系統(tǒng)路徑有4×M條。如M= 3 、x= 0 ,±1，MSK差分解調(diào)復(fù)合網(wǎng)格如圖 2所示。

圖1 相位比較法差分解調(diào)的原理

圖2 MSK差分解調(diào)復(fù)合網(wǎng)格

2.2 MSK差分復(fù)合網(wǎng)格解調(diào)算法

不妨令接收機(jī)采樣時(shí)刻t= (k+ 1 )T，則式(4)可以寫為

由式(6)可知 MSK差分僅存兩條基本路徑為

2條路徑似然函數(shù)值為

由式(7)可以得到如下判決

其中，為可能傳輸?shù)男蛄?，Six(t,)是傳輸序列對(duì)應(yīng)的路徑。實(shí)際接收機(jī)只能觀測(cè)到有限區(qū)間的信號(hào)，設(shè)觀測(cè)區(qū)間的碼元數(shù)目為N，每個(gè)碼元周期內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)目為1，則接收機(jī)總的似然函數(shù)值為

復(fù)合網(wǎng)格差分解調(diào)算法就是選取所觀察的N個(gè)碼元內(nèi)最大似然函數(shù)值對(duì)應(yīng)的序列作為解調(diào)符號(hào)直接輸出，簡(jiǎn)化方案步驟如下。

輸入接收信號(hào)r(t)，M，Δθ

輸出觀察區(qū)間內(nèi)解調(diào)結(jié)果

步驟1初始賦值。lk=0) = 0 ，x=0，j=0。

步驟2構(gòu)造網(wǎng)格。依據(jù)S=SejxΔθ，i=1,2，

ixi代表向下取整，構(gòu)造復(fù)合網(wǎng)格。

步驟3局部判決。利用式(7)和判決準(zhǔn)則式(8)得到序列的第j組判決，即x=±j時(shí)的判決結(jié)果。

步驟 4算似然值。根據(jù)公式(10)求得N個(gè)觀察區(qū)間內(nèi)第j組判決對(duì)應(yīng)接收機(jī)似然函數(shù)值后，令j=j+1。

步驟 5循環(huán)判決。若則停止循環(huán)，進(jìn)入步驟6，否則重復(fù)步驟3和步驟4。

步驟 6輸出結(jié)果。比較每條路徑l(α)似然函數(shù)值大小，選取最小值對(duì)應(yīng)的判決結(jié)果，即為N個(gè)觀察區(qū)間內(nèi)解調(diào)出的碼元序列。

3 算法性能及復(fù)雜度分析

3.1 算法性能分析

定理1假設(shè)信道噪聲是加性高斯白噪聲，信噪比為r，濾波器的特性是理想的，MSK信號(hào)按照準(zhǔn)則式(8)進(jìn)行1符號(hào)差分判決，則系統(tǒng)的解調(diào)誤碼率為

證明輸入MSK信號(hào)中加入高斯噪聲，并進(jìn)行歸一化處理得到

可得

由于x1，x2，y1，y2均是高斯分布，前后碼元的高斯噪聲相互獨(dú)立，由此可得a和b的概率密度函數(shù)為

其中，I0為零階貝塞爾函數(shù)，不考慮多普勒頻率偏移，信源碼元為±1的概率相等，由此求得系統(tǒng)總的誤碼率[15]為

定理2MSK差分復(fù)合路徑解調(diào)中，信道噪聲是加性高斯白噪聲，信噪比為r，若相位偏轉(zhuǎn)角度Δθ≤0.06π ，x=0,±1，…，存在xΔθ＞ Δθe，觀察數(shù)N→∞，此時(shí)解調(diào)性能為

證明由于差分解調(diào)算法根據(jù)前后碼元的相位差信息進(jìn)行解調(diào)，因此信號(hào)的初始相位對(duì)解調(diào)沒(méi)有影響，而且多普勒頻偏造成的相位干擾不積累，考慮到多普勒頻率偏移，式(6)可改寫為

式(19)與復(fù)合網(wǎng)格中的某條路徑相乘可得

復(fù)合網(wǎng)格中相位旋轉(zhuǎn)xΔθ對(duì)多普勒頻率偏移引起的相位誤差Δθe起到了補(bǔ)償作用，若存在xΔθ ≥ Δθe，復(fù)合網(wǎng)格中存在某條路徑的相位偏轉(zhuǎn)大于多普勒頻移引起的相位誤差；當(dāng) Δ θ ≤ 0 .06π ，此時(shí)接收到的信號(hào)經(jīng)過(guò)復(fù)合網(wǎng)格中某條路徑的相位補(bǔ)償后其相位誤差必定小于0.03π，即存在x使

胡穗延等[13]已證明在實(shí)際的差分解調(diào)系統(tǒng)中，若前后碼元相位差存在抖動(dòng)或干擾Δθe，當(dāng)Δθe≤ 0 .03π ，此時(shí)誤碼率曲線與 Δ θe= 0 的曲線幾乎重合，系統(tǒng)的誤碼率不受Δθe影響。因此存在x，使|Δ θe+xΔθ |≤ 0 .03π 時(shí)，對(duì)應(yīng)路徑的差分解調(diào)性能不受多普勒頻偏的影響。

該路徑的相位偏轉(zhuǎn)補(bǔ)償了多普勒頻偏引起的相位誤差，與多普勒頻偏信號(hào)最為契合，解調(diào)性能最優(yōu)，此時(shí)該路徑下的接收信號(hào)的似然函數(shù)值最大，通過(guò)似然函數(shù)值的比較即可將該條路徑選取出來(lái)，觀察數(shù)N的值越大，系統(tǒng)通過(guò)比較似然函數(shù)值選擇復(fù)雜網(wǎng)格中的路徑越準(zhǔn)確，系統(tǒng)的解調(diào)性能越優(yōu)[16-17]；同時(shí)觀察數(shù)N越大，系統(tǒng)解調(diào)碼元所需的時(shí)間越長(zhǎng)，系統(tǒng)解調(diào)的延時(shí)越大。當(dāng)觀察數(shù)N→∞，復(fù)合網(wǎng)格的差分解調(diào)性能近似等于沒(méi)有頻率偏移時(shí)的解調(diào)性能P= 0 .5e-r。

推論 1若接收機(jī)每個(gè)碼元周期內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)目為1，則

3.2 算法復(fù)雜度分析

差分復(fù)合網(wǎng)格解調(diào)算法通過(guò)增加 MSK差分解調(diào)路徑實(shí)現(xiàn)了對(duì)多普勒頻偏下信號(hào)的有效檢測(cè)，增加的復(fù)雜度取決于增加的路徑。已知基本路徑是2條，每個(gè)碼元周期內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)目為1，設(shè)需要判決的碼元數(shù)目為PN，可得通過(guò)基本路徑解調(diào)需要的計(jì)算量為O(PN)。經(jīng)過(guò)相位偏轉(zhuǎn)后形成的復(fù)合網(wǎng)格路徑數(shù)目為2M，根據(jù)2.2節(jié)差分復(fù)合網(wǎng)格解調(diào)步驟可得該方案需要的計(jì)算量為O(PNM)。差分復(fù)合路徑解調(diào)算法通過(guò)額外的路徑運(yùn)算，提高了一定的復(fù)雜度，以換取多普勒頻率偏移條件下解調(diào)性能的提高。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 抗多普勒頻偏性能仿真

文獻(xiàn)[11]將非相干解調(diào)的基本網(wǎng)格圖和相位旋轉(zhuǎn)網(wǎng)格結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了對(duì)信號(hào)初始相位和頻率偏移的有效跟蹤，算法性能接近相干解調(diào)，是現(xiàn)有抗多普勒頻移最優(yōu)的算法之一。因此，本文選擇在多普勒頻偏較大時(shí)與其進(jìn)行對(duì)比。仿真實(shí)驗(yàn)中，碼元數(shù)目PN= 1 06，觀察數(shù)N=PN， Δθ = 0 .06π ，M=5，即x= 0 ,±1 ,±2。在不同多普勒頻偏條件下進(jìn)行解調(diào)仿真，多普勒頻偏引起的相位誤差fT由 0.03遞增至0.09，步長(zhǎng)為0.03，利用Matlab仿真計(jì)算文獻(xiàn)[11]、1符號(hào)差分相干解調(diào)和本文算法在加性高斯信道下的誤碼率，同時(shí)將MSK相干、非相干解調(diào)理論限繪制出來(lái)作為參考線。

如圖3所示，相比之下，fT= 0 .09時(shí)，1符號(hào)差分相干解調(diào)算法會(huì)出現(xiàn)2 dB左右的性能下降，而采用文獻(xiàn)[11]的算法在fT= 0 .03時(shí)就已基本失去解調(diào)的能力，常規(guī)相干解調(diào)在相對(duì)頻偏大于 1 0-4量級(jí)時(shí)也將失效。此時(shí)，即在多普勒頻偏引起的相位誤差Δθe= 2 πfT為 1 0-1rad數(shù)量級(jí)時(shí)，本文算法仍保持較好的解調(diào)性能。總體上看，本文所述基于差分復(fù)合網(wǎng)格的 MSK非相干解調(diào)算法誤碼率性能優(yōu)于文獻(xiàn)[11]算法和1符號(hào)差分相干解調(diào)方法。隨著相位誤差fT的增大，3種算法性能都出現(xiàn)下降。本文解調(diào)算法性能接近MSK非相干解調(diào)理論限，具有較好的抗頻偏性能，這是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)中選取的M為5，算法構(gòu)造的復(fù)合路徑能夠較好地補(bǔ)償接收信號(hào)中的頻偏，同時(shí)也印證了定理2的證明過(guò)程。下面則通過(guò)改變參數(shù)M的取值，分析復(fù)合路徑數(shù)將對(duì)解調(diào)性能產(chǎn)生的影響。

圖3 算法抗多普勒頻偏的性能

4.2 復(fù)合網(wǎng)格路徑數(shù)的影響

為了考察復(fù)合網(wǎng)格路徑數(shù)對(duì)解調(diào)性能的影響，令多普勒頻偏引起的相位誤差fT=0.11，碼元數(shù)目PN= 1 06，觀察數(shù)N=PN， Δθ = 0 .06π ，分別取M= 1 ,3,5,7,9，利用Matlab仿真本文算法和1符號(hào)差分相干解調(diào)算法在加性高斯信道下的誤碼率，同時(shí)將MSK相干、非相干解調(diào)理論限繪制出來(lái)作為參考線。結(jié)果如圖4所示，隨著M的增大，本文算法的性能逐漸提升，直至M=9時(shí)，算法解調(diào)性能接近非相干解調(diào)理論限。復(fù)合網(wǎng)格的相位偏移為xΔθ，x=0,±1,±2，…，M是x的取值數(shù)目，M越大復(fù)合網(wǎng)格的路徑數(shù)目越多，所構(gòu)造的復(fù)合網(wǎng)格能覆蓋的總相位偏移范圍越大。

當(dāng)M=3時(shí)，所構(gòu)造的復(fù)合路徑能覆蓋的最大相移為不足以覆蓋接收信號(hào)的多普勒頻偏造成的相移2πfT= 0 .22π，因此，算法性能退化至與1符號(hào)差分相干解調(diào)一致。而當(dāng)M=9時(shí)，所構(gòu)造的復(fù)合路徑能覆蓋的最大相移為xΔθmax= 0 .24π，顯然，大于接收信號(hào)的多普勒頻偏造成的相移0.22π ，且|xΔθ - 2πfT|＜ 0 .03π，依據(jù)定理 2，此時(shí)，本文算法能夠達(dá)到非相干解調(diào)理論限，仿真結(jié)果與理論預(yù)期吻合。當(dāng)然，如果進(jìn)一步增大M，性能將受限于非相干解調(diào)理論限，且由4.4節(jié)實(shí)驗(yàn)知道，復(fù)雜度和M成正比，所以實(shí)際應(yīng)用中需要權(quán)衡每條路徑的Δθ參數(shù)和M的選取以滿足定理2的要求。

圖4 復(fù)雜網(wǎng)格路徑數(shù)的影響

4.3 觀測(cè)區(qū)間的影響

為了考察觀測(cè)區(qū)間長(zhǎng)度對(duì)解調(diào)性能的影響，令多普勒頻偏引起的相位誤差fT=0.1，Δθ = 0 .06π，M= 9 ，即x= 0 ,± 1 ,±2 ,±3 ,±4，碼元數(shù)目為PN= 1 06，觀測(cè)區(qū)間分別取N= 1 ,5,10,20,50,106，利用Matlab仿真本文算法和 1符號(hào)差分相干解調(diào)算法在加性高斯信道下的誤碼率，同時(shí)將MSK相干、非相干解調(diào)理論限繪制出來(lái)作為參考線。結(jié)果如圖 5所示，相同信噪比條件下，隨著觀察區(qū)間N越大，本文算法解調(diào)誤碼率呈現(xiàn)降低的趨勢(shì)，當(dāng)N≥20時(shí)，解調(diào)性能接近非相干解調(diào)理論限。從整體上看，本文算法性能優(yōu)于1符號(hào)差分相干解調(diào)算法，但是觀察數(shù)N越大，系統(tǒng)解調(diào)碼元所需的時(shí)間越長(zhǎng)，系統(tǒng)解調(diào)的延時(shí)越大，因此需要權(quán)衡算法的解調(diào)性能和延時(shí)，因此可取N=20。

4.4 復(fù)雜度分析

為了考察算法的時(shí)間復(fù)雜度，利用Matlab仿真環(huán)境實(shí)現(xiàn)本文算法、傳統(tǒng)相干解調(diào)、1符號(hào)差分相干解調(diào)和文獻(xiàn)[11]算法，統(tǒng)計(jì)解調(diào)消耗的時(shí)間。

碼元總數(shù)PN設(shè)置為510，本文算法與文獻(xiàn)[11]算法的相位偏轉(zhuǎn)數(shù)目M分別設(shè)置為從1至9遞增，觀測(cè)區(qū)間取N=20，進(jìn)行1 000次蒙特卡洛解調(diào)實(shí)驗(yàn)，求取各自平均值。傳統(tǒng)相干解調(diào)、1符號(hào)差分相干解調(diào)耗時(shí)作為參照，由于復(fù)雜度與M無(wú)關(guān)，因此在圖6中呈現(xiàn)水平線的趨勢(shì)。

圖5 觀測(cè)區(qū)間的影響

圖6 各算法運(yùn)算時(shí)間比較

由圖6可見，當(dāng)M=1時(shí)本文算法解調(diào)時(shí)間近似等于1符號(hào)差分解調(diào)算法的解調(diào)時(shí)間，隨著相位偏轉(zhuǎn)數(shù)目M的增大，仿真實(shí)驗(yàn)的解調(diào)時(shí)間呈線性增大的趨勢(shì)。但本文算法解調(diào)時(shí)間遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[11]的所用時(shí)間，這是因?yàn)楸疚乃惴ㄐ枰牟蓸勇蔬h(yuǎn)低于文獻(xiàn)[11]采樣率，且本文算法的路徑數(shù)目為2M，文獻(xiàn)[11]MSK解調(diào)算法的路徑總數(shù)為16M。由此可得本文算法在復(fù)雜度和判決時(shí)間上優(yōu)于同類算法，略高于1符號(hào)差分算法對(duì)應(yīng)值。

5 結(jié)束語(yǔ)

提出了一種基于差分復(fù)合網(wǎng)格的MSK解調(diào)方案，在多普勒頻偏引起的相位誤差為 1 0-1rad數(shù)量級(jí)的情況下仍能接近MSK非相干解調(diào)誤碼率的理論限，且在復(fù)雜度和判決時(shí)間上優(yōu)于同類算法，略高于1符號(hào)差分算法對(duì)應(yīng)值，對(duì)于解調(diào)時(shí)載波恢復(fù)困難等情況或盲解調(diào)具有實(shí)用意義。本文僅是針對(duì)MSK信號(hào)的復(fù)合網(wǎng)格差分解調(diào)，下一步可以將復(fù)合網(wǎng)格差分解調(diào)算的法擴(kuò)展到 CPM 等信號(hào)解調(diào)上，進(jìn)一步增強(qiáng)算法的適用性。