信號(hào)特征譜表示與平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)譜分解統(tǒng)一的研究

王宏禹，邱天爽

（大連理工大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)部，遼寧 大連 116024）

1 引言

信號(hào)展開主要有兩大類，一類是傅氏級(jí)數(shù)展開，另一類是以正交的特殊函數(shù)為基的展開，通常特殊函數(shù)采用的是斯圖謨—?jiǎng)⒕S爾（簡(jiǎn)稱斯—?jiǎng)ⅲ┨卣魑⒎址匠痰奶卣骱瘮?shù)Φ，與Φ相對(duì)應(yīng)的特征值λ，稱為微分方程的譜。為此，文獻(xiàn)[1]推導(dǎo)出了斯—?jiǎng)栴}特征值的上界估計(jì)，文獻(xiàn)[2]則進(jìn)一步研究了特征值及特征函數(shù)的漸進(jìn)估計(jì)，以及不連續(xù)斯—?jiǎng)⑺阕拥淖怨曹椥?，但迄今尚未見到該特征譜表示的數(shù)學(xué)式。

特征方程可以用其方程算子來表示，有3種方程算子：1) 特征矩陣方程算子，以矩陣A表示；2) 特征微分方程算子，即斯—?jiǎng)⑻卣魑⒎址匠趟阕?，以L表示；3) 與L相對(duì)應(yīng)的積分方程算子，以K表示。這3種方程算子都是厄爾密特的，故對(duì)特征譜表示的研究，也就是對(duì)厄爾密特算子譜表示的研究。目前，只有對(duì)有限維條件下厄爾密特特征矩陣方程算子A的譜表示研究成果，該結(jié)果是由諾依曼提出的，并由其推廣成為無窮維連續(xù)情況的譜表示，這種譜表示也稱為諾依曼譜表示，解決了長(zhǎng)期對(duì)原子譜數(shù)學(xué)理論問題的困擾。迄今為止，無窮維連續(xù)情況下微分算子L與積分算子K的譜表示是什么，L與K譜表示的關(guān)系又是什么，尚未見到文獻(xiàn)介紹。為此，本文對(duì)這一問題進(jìn)行了研究。

數(shù)學(xué)泛函分析具有高度統(tǒng)一性與廣泛實(shí)用性，確定性信號(hào)與平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的一些問題可以利用希爾伯特空間算子理論進(jìn)行研究并統(tǒng)一起來。文獻(xiàn)[3]對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)譜分解采用希爾伯特空間酉算子法，給出其與信號(hào)特征譜表示在數(shù)學(xué)上的聯(lián)系與統(tǒng)一，但存在一些數(shù)學(xué)物理意義不清楚的問題。為分析整個(gè)信號(hào)中對(duì)應(yīng)每一頻率的累積振幅(能量)分布情況，文獻(xiàn)[4]采用希爾伯特邊際譜來表征信號(hào)幅值隨頻率的變化。本文在此基礎(chǔ)上對(duì)酉算子法進(jìn)一步研究，結(jié)合信號(hào)特征譜得到更為清晰的數(shù)學(xué)解釋，并給出利用與隨機(jī)振幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加法對(duì)比的研究方法。此外，給出了確定性信號(hào)與平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)兩者的特征譜表示在數(shù)學(xué)上的聯(lián)系與統(tǒng)一。信號(hào)特征譜表示是一個(gè)反映目標(biāo)微動(dòng)本質(zhì)的較為穩(wěn)定的特征，平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)譜分解是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)時(shí)頻分析的有力工具。這 2種譜表示式相似，在信號(hào)處理中可以互相借鑒。本文利用對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)譜分解的隨機(jī)振幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加法及希爾伯特空間酉算子法進(jìn)行研究，明確了信號(hào)特征譜表示與平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)譜分解的聯(lián)系及數(shù)學(xué)上的統(tǒng)一，對(duì)于信號(hào)處理理論和應(yīng)用中關(guān)于譜分析的研究具有指導(dǎo)意義。

2 厄爾密特算子與正交投影算子

為了研究方便起見，先扼要介紹數(shù)學(xué)文獻(xiàn)上的厄爾密特算子與正交投影算子。

在n維線性空間Vn中，賦予2個(gè)n維矢量α與β的內(nèi)積則稱Vn是一個(gè)酉空間,也稱為內(nèi)積空間。在無窮維酉空間V中，若每個(gè)基本元素序列{fn(x) }均收斂于V中某一元素f(x)，即則稱無窮維酉空間V是完備的，完備的無窮維酉空間稱為希爾伯特空間(H空間)。在H空間中，矢量用函數(shù)表示，則矢量?jī)?nèi)積為

在這2種空間中，若線性算子L滿足下列表示

則L*稱為L(zhǎng)的共軛算子。當(dāng)L=L*時(shí)，L稱為自共軛算子或自伴隨算子，也稱為厄爾密特算子。厄爾密特算子L可以表示成一組正交投影算子Pi(i= 1 ,2,… ,∞)的線性組合，即

式(2)中 λi(i= 1 ,2,… ,∞)為L(zhǎng)的不同特征值。正交投影算子Pi定義為：1) 冪等的，即PiPi=Pi；2) 正交的，即PiPj= 0 ,i≠j；3) 歸一化的，即(對(duì)于酉空間)，

3 厄爾密特矩陣算子的特征分解與譜表示

N×N階厄爾密特矩陣算子A的特征方程為

其中，列矢量Φi(i= 1,2,… ,N)稱為特征解(假定特征解為正交歸一化)，相應(yīng)的實(shí)數(shù) λi(i= 1,2,… ,N)為特征值。將式(3)寫為矩陣形式，有

即U是酉矩陣，由式(4)與式(5)，得

1) 當(dāng)式(6)中特征值λi按降序順序排列時(shí)，即λ1≥ λ2≥ … ≥ λN，式(6)的表示稱為厄爾密特矩陣算子A的特征分解。對(duì)長(zhǎng)方形矩陣，需用奇異值分解處理。因這兩者在信號(hào)處理中均有重要應(yīng)用，并為眾所熟知，本文不對(duì)其詳細(xì)論述。

2) 當(dāng)式(6)中特征值λi按遞增順序排列時(shí)，即λ1≤ λ2≤ … ≤ λN時(shí)，式(6)的表示稱為厄爾密特矩陣算子A的譜表示，現(xiàn)詳細(xì)介紹如下。

若對(duì)角矩陣Λ主對(duì)角線上按λi大小按遞增順序處理，則Λ是唯一確定的，可唯一地表示為如式(7)所示的分解式。

其中，Qi(i= 1,2,… ,N)為對(duì)角陣。Qi(i= 1,2,…,N)的和為單位矩陣，即

此外，Qi為厄爾密特冪等矩陣，因QiQi=Qi，且Qi是正交的，即QiQj= 0，故Qi是正交投影矩陣。

現(xiàn)定義矩陣Pi為

將式(7)和式(8)代入式(6)，可得式(9)。

4 厄爾密特微分算子與積分算子的譜表示

4.1 特征微分方程及其譜表示

在信號(hào)處理中，信號(hào)展開基函數(shù)所用的正交特殊函數(shù)，均可用如式(10)所示形式微分算子L的特征微分方程(斯—?jiǎng)⑽⒎址匠?[5]得到，如式(11)所示。其中，p(x)、q(x)在所論區(qū)間都是連續(xù)的，且p(x) ＞ 0；λ稱為特征值，由無窮個(gè)λi組成，它們都是實(shí)數(shù)；與λi對(duì)應(yīng)的φi稱為特征函數(shù)，它們是正交的，即

將特征值按增序排列，可得到一個(gè)無限序列λ1, λ2,… ,λi,…這個(gè)序列稱為特征微分方程的譜。

在滿足適當(dāng)邊界條件下，對(duì) 2個(gè)函數(shù)f(x)與g(x)，式(10)所示的微分算子L滿足如式(13)所示的內(nèi)積關(guān)系。

因此，式(10)所示的微分算子L是厄爾密特的。

4.2 厄爾密特微分算子及其特征微分方程格林函數(shù)的關(guān)系

任意函數(shù)f(x)可表示為正交的歸一化特征函數(shù) φk(x)的無限展開式，如式(14)所示。

若 φk(x)是正交歸一化的，即

利用式(15)可得展開系數(shù)ck為

式(14)所示的f(x)可以表示為以式(10)所示的微分算子L的非齊次微分方程，如式(17)所示

的解。根據(jù)線性系統(tǒng)的理論，u(x)為系統(tǒng)的輸入，f(x) 為輸出。根據(jù)式(11)、式(13)和式(17)，將g=φk代入式(13)中，得

利用式(9)可得系數(shù)ck的表示式，為

將式(19)所示的ck代入式(14)，可得

其中，g(x,)ξ為

因式(20)為輸入u(ξ)與輸出f(x)的積分形式，故g(x,ξ)是與時(shí)變系數(shù)微分算子L對(duì)應(yīng)的線性時(shí)變系統(tǒng)的格林函數(shù)[6]。當(dāng)輸入u(x) = δ ( ξ -x0)時(shí)，由式(20)得到輸出，如式(22)所示。

即對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)，格林函數(shù)g(x,x0)為于x0處施加單位脈沖而在x處所得的輸出f(x)。由式(17)和式(22)可得

式(23)表明，厄爾密特微分算子L是其特征微分方程格林函數(shù)g(x,x0)的逆算子[7]。

4.3 積分算子方程與特征積分方程

在數(shù)學(xué)中，積分算子K方程定義為

其中，K(x,ξ)稱為核函數(shù)。根據(jù)線性系統(tǒng)的理論，若u(x)為輸入，f(x)為輸出，其輸入與輸出關(guān)系的積分表示式應(yīng)該為

若K(x,ξ)選擇為如式(21)所示的特征微分方程的格林函數(shù)g(x,ξ)，則積分算子K的輸入與輸出關(guān)系方程為

而微分算子L輸入與輸出關(guān)系的方程如式(22)所示，將式(25)代入式(22)，可得LK=1，故當(dāng)K(x, ξ ) =g(x, ξ)時(shí)，微分算子L與其相對(duì)應(yīng)的厄爾密特積分算子K是互逆的，即，由此可得對(duì)應(yīng)的特征積分方程表示為

其中，μi為特征積分方程的特征值，與對(duì)應(yīng)的特征微分方程特征值λi是互逆的，即

長(zhǎng)期以來，人們對(duì)于如式(11)特征微分方程是否存在與其對(duì)應(yīng)的特征積分方程認(rèn)識(shí)不夠清晰。由于式(11)是線性時(shí)變系數(shù)微分方程，對(duì)其采用通常積分方法，除調(diào)和微分方程外，難以得到與其對(duì)應(yīng)的特征積分方程表示式。本文通過采用特征微分方程格林函數(shù)g(x,ξ)和特征積分方程核函數(shù)K(x,ξ)的關(guān)系，則可以解決這個(gè)認(rèn)識(shí)不清的問題[8]。另外，目前對(duì)特征積分方程的深入研究，只限于其核函數(shù)K(x,ξ)是可分離的或退化的，即K(x,ξ)=這種形式，也需要得到進(jìn)一步的研究解決。

4.4 厄爾密特微分算子與積分算子的譜表示之間的統(tǒng)一關(guān)系

根據(jù)4.2節(jié)的研究，厄爾密特微分算子L與其格林函數(shù)g(x,ξ)的關(guān)系為L(zhǎng)g(x, ξ )= δ (x- ξ )，當(dāng)ξ=x時(shí)，可得

而厄爾密特微分算子L與其對(duì)應(yīng)的厄爾密特積分算子K的關(guān)系為

由式(28)與式(29)，得K的表示式為

即式(30)就是厄爾密特積分算子K的譜表示式，其數(shù)學(xué)物理意義如下。

1) 當(dāng)積分算子K方程的核函數(shù)K(x,ξ)=g(x,ξ)與輸入u= δ (x- ξ )時(shí)，由式(24)與式(25)得

其中，f(x)為輸出。

2) 根據(jù)格林函數(shù)定義，線性時(shí)變系統(tǒng)的格林函數(shù)g(x,ξ)為ξ時(shí)刻輸入δ( ξ)于時(shí)刻x的輸出，線性時(shí)不變系統(tǒng)的格林函數(shù)g(x,ξ)與時(shí)刻ξ無關(guān)，僅與x-ξ有關(guān)，即g(x, ξ ) =g(x- ξ )。現(xiàn)g(x,x)應(yīng)該定義為線性時(shí)變系統(tǒng)于x-ξ時(shí)刻輸入單位脈沖δ(x-ξ)在x時(shí)刻的輸出。

這樣，如式(30)所示的厄爾密特積分算子K的譜表示可以認(rèn)為是格林函數(shù)g(x,x)與g(x,x)對(duì)應(yīng)的輸出信號(hào)f(x)的譜表示式。

將式(15)歸一化特征函數(shù) φi(x) (i= 1 ,2,…)的形式表示成離散和形式，得

這種以投影算子Pi(i= 1 ,2,…) 表示不僅具有一般化意義，并且譜是按一定順序排列的意義也更加清晰。

由式(29)、式(32)和式(33)可得厄爾密特微分算子L的譜表示式，如式(34)所示。

由式(33)與式(34)可見L與K譜表示式在數(shù)學(xué)上的表示是相同的，因此，為了研究方便，下文對(duì)它們統(tǒng)一表示為，但應(yīng)明確λi為L(zhǎng)或K何者的特征值。

式(33)與式(34)是離散和或無限級(jí)數(shù)表示式，若它們平均收斂成為一函數(shù)，可表示成為積分式。為此，先介紹一取值為正交投影算子Pi的函數(shù)E(λ)，其定義如式(35)所示。

由此可得

當(dāng) λi(i= 1 ,2,…) 無限接近時(shí)，可利用勒貝格積分，即

其中，lim表示趨向非常小的劃分區(qū)間[i+1,i],i= 1 ,2,…。由式(35)和式(36)可得

其中，I為恒等算子。這樣，式(33)與式(34)可分別表示為

由式(31)可知，對(duì)厄爾密特積分算子K，K=f(x)，因此，式(39)中K還可表示為輸出信號(hào)f(x)的特征譜表示式，即

5 2種不同譜理論在數(shù)學(xué)上的聯(lián)系與統(tǒng)一

譜理論分為正弦譜理論與特征譜理論（即厄爾密特算子譜理論），前者是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)譜理論，也稱為維納譜理論，后者是原子譜理論，也稱為諾依曼譜理論。這2種譜表示式相似，可在數(shù)學(xué)上統(tǒng)一起來。下面依據(jù)對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)譜分解理論研究方法，對(duì)其進(jìn)行討論。

5.1 隨機(jī)振幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加法

對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(t)，若其自相關(guān)函數(shù)rxx(τ)是周期性的，可以通過傅里葉級(jí)數(shù)展開，得到x(t)的譜分解式，如式(41)所示。

其中，T為周期；展開系數(shù)ξn是正交(不相關(guān))的隨機(jī)變量，可由式(42)確定。

當(dāng)rxx(τ)是非周期的，式(41)中ξn不再正交，且該式不再對(duì)每一個(gè)t都成立。因此，這種情況的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(t)一般是不能用傅里葉級(jí)數(shù)展開得到其譜分解的。已有證明，若ω0足夠小，可找到一個(gè)級(jí)數(shù)x?(t)，如式(43)所示。

給出x(t)一個(gè)比較精確的均方逼近，有

即當(dāng)ω0→0時(shí)，x(t)仍可用傅里葉級(jí)數(shù)展開。若令

則有

將式(45)代入式(46)中，得

上式ω0→0的極限形式，即各相鄰譜線間距非常小時(shí)，可由勒貝格積分得到隨機(jī)積分，如式(48)所示。

即為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(t)的譜分解。該式表明x(t)是由無限個(gè)頻率由小到大連續(xù)變化的隨機(jī)幅度簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加而成。

由式(40)與式(48)，信號(hào)f(x)特征譜表示與平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(t)的譜分解相對(duì)應(yīng)的關(guān)系如表 1所示。

由表1可見，信號(hào)f(x)特征譜表示與平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(t)譜分解在數(shù)學(xué)表示上相同，因此，可將它們統(tǒng)一起來。

5.2 酉算子法

為了更清楚地了解平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)譜分解的酉算子法，先介紹研究它的廣義調(diào)和分析法。

5.2.1 廣義調(diào)和分析法

平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)是功率型信號(hào)，是不存在傅里葉變換的，需要用廣義變換進(jìn)行調(diào)和分析研究。平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(t)的廣義變換定義為

設(shè) ω1= ω + ε ,ω2= ω - ε ，由式(49)可得

這樣，Z( ω + ε ) -Z(ω - ε )是過程的傅里葉變換，即

由式(51)可得

令ε→0，式(52)的左側(cè)項(xiàng)趨于x(t)，右側(cè)項(xiàng)雖然Z(ω)不可微，但可寫為斯蒂爾吉斯(J. J. Stieltjes)積分，即對(duì)x(t)的譜分解式，如式(53)所示。

下面，從線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系對(duì)廣義變換進(jìn)行研究。理想帶通線性系統(tǒng)如圖1所示，系統(tǒng)函數(shù)如式(54)所示。

圖1 理想帶通線性系統(tǒng)

它的脈沖函數(shù)hω1ω2(t)為

表1 f(x)特征譜表示與x(t)譜分解式相對(duì)應(yīng)的關(guān)系

當(dāng)x(t)輸入此線性系統(tǒng)時(shí)，其輸出yω1ω2(t)為

當(dāng)t=0時(shí)，有

即x(t)的廣義變換相當(dāng)x(t)輸入理想帶通線性時(shí)不變系統(tǒng)式(54)的輸出于零時(shí)刻的結(jié)果，由于x(t)輸入的是理想帶通線性系統(tǒng)，可無失真地得到x(t)的輸出，因此

對(duì)于理想全通線性系統(tǒng)，可視為由圖2所示的系列理想帶通線性系統(tǒng)所組成，如式(59)所示。

圖2 理想全通線性系統(tǒng)組成

當(dāng)ω0→0時(shí)，式(59)可表示為

由式(46)與式(48)得

應(yīng)注意，為了表示方便起見，將x(n-1)ω0,nω0(0)簡(jiǎn)寫為xnω0( 0)，而當(dāng)ω0→0時(shí)，xnω0( 0)由式(61)容易得出如式(62)所示的正交關(guān)系。

根據(jù)上述研究，可對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)連續(xù)信號(hào)x(t)的譜分解式(48)的物理意義做進(jìn)一步說明為，x(t)是由無限個(gè)不同頻率(即連續(xù)變化頻率)互相正交隨機(jī)幅度的復(fù)正弦波疊加而成，各不同頻率復(fù)正弦波的隨機(jī)幅度

5.2.2 酉算子法

現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過程的希爾伯特空間的介紹，僅限于由具有二階矩隨機(jī)變量x與y的內(nèi)積定義的，即

因此，本文改由為離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(k)譜分解的研究。若x(k)是零均值的，其自相關(guān)函數(shù)rxx(m)為

即rxx(m)只依賴時(shí)移m，而與時(shí)間k無關(guān)。

目前在數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，只見到對(duì)酉空間Vn中酉算子L的介紹，其定義為

其中，α、β為Vn空間中任意2個(gè)矢量。對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過程的希爾伯特空間，尚未見到其酉算子U的明確介紹，本文套用式(64)定義來研究。由式(63)可知rxx(m)與時(shí)間k無關(guān)，只依賴時(shí)移m，因此，平穩(wěn)隨機(jī)過程元素x(k)可以認(rèn)為由時(shí)移算子U遞推產(chǎn)生的，即

rxx(m)可表示為

因此，時(shí)移算子U滿足式(65)定義，是酉算子。此外，由于rxx(m)是偶函數(shù)，即

U算子還符合厄爾密特算子定義的要求，可將其表示為如式(67)所示的酉算子譜表示式。

當(dāng)k=0時(shí)，U0=1，表明U0是恒等算子，于是可得

式(68)表明u(ω)是理想全通線性系統(tǒng)或理想全通濾波器，可將其視為由一系列理想帶通濾波器所組成，如圖2所示。在酉算子譜表示中，理想帶通濾波器unω0(ω)(為u(n-1)ω0,nω0(ω )的簡(jiǎn)寫，n=1,2,…)系列就是正交投影算子Pn=unω0(ω),n= 1 ,2,… 系列，因?yàn)樗鼈儩M足正交投影算子的要求，即PnPn-i=0,

對(duì)離散平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(k)，可用時(shí)移算子U遞推來研究，即x(k) =Uk x( 0)，而用U算子譜表示來研究，可得出x(k)的譜表示式，下面就來推導(dǎo)。

為了解清楚起見，將上式寫成離散和形式

因unω0(ω )是理想帶通濾波器，只能將同一頻段的xnω0( 0)無失真地輸出，于是，由式(70)得

利用式(59)并將其寫成連續(xù)形式，得x(k)的譜分解式，如式(72)所示。

另外，將式(60)代入式(69)，也可得出式(72)為

由上述研究，在離散平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(k)的自相關(guān)函數(shù)研究中，引入時(shí)移算子U，該算子成為隨機(jī)變量希爾伯特空間的酉算子。這個(gè)酉算子的譜表示與函數(shù)希爾伯特空間微分算子L與積分算子K的譜表示相似，其中U與L或K對(duì)應(yīng)， ejω與λ對(duì)應(yīng)，通過這種聯(lián)系，可將信號(hào)特征譜表示與平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)譜分解在數(shù)學(xué)上統(tǒng)一起來。

6 2種信號(hào)特征譜表示的聯(lián)系與統(tǒng)一

確定性信號(hào)f(x)與平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(t)均有其各自的信號(hào)特征展開與特征譜表示，因此存在全似在數(shù)學(xué)上是否有聯(lián)系及統(tǒng)一的問題。平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的特征展開與特征譜表示已有研究，即為人們所熟知的卡—洛展開[9-10]，直接給出平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)與確定性信號(hào)特征展開及特征譜表示的關(guān)系，如表2所示。

由表2可見，確定性信號(hào)f(x)與平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(t)的特征展開與特征譜表示在數(shù)學(xué)上表示相同，它們可統(tǒng)一起來。

7 結(jié)束語(yǔ)

特征微分方程的格林函數(shù)g(x,ξ)在信號(hào)特征展開與特征譜表示研究中具有重要的意義與作用，解決了正交多項(xiàng)式的斯—?jiǎng)⑽⒎址匠虥]有與其對(duì)應(yīng)的特征積分方程的問題。本文的g(x,x)，其意義為線性時(shí)變系統(tǒng)于x-ξ時(shí)刻輸入單位脈沖而在x時(shí)刻所得的輸出。

特征微分算子L與g(x,x)的關(guān)系為L(zhǎng)g(x,x)=1，即L為g(x,x)的逆算子。當(dāng)特征積分算子方程的核函數(shù)時(shí)，特征積分算子K與特征微分算子L的關(guān)系為L(zhǎng)K=1，即L與K是互逆關(guān)系。

特征微分算子L與特征積分算子K均是厄爾密特的，厄爾密特算子L與K的譜表示可統(tǒng)一為離散和形式和連續(xù)函數(shù)形式，即L或K=

表2 2種信號(hào)特征展開與特征譜表示的關(guān)系

對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(t)的譜分解利用與隨機(jī)振幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加法的對(duì)比及對(duì)文獻(xiàn)[3]提出的酉算子法做進(jìn)一步研究，得出與信號(hào)特征譜表示相同的數(shù)學(xué)表示式，從而可將兩者統(tǒng)一起來。

由此可見，確定性信號(hào)與平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)兩者的特征譜表示明顯地存在數(shù)學(xué)上的統(tǒng)一關(guān)系，這對(duì)于深化對(duì)信號(hào)譜分析本質(zhì)的理解有重要意義。