基于分形幾何的超聲速燃燒火焰形態(tài)表征方法研究

程柳維, 仲峰泉, 杜蒙蒙,, 顧洪斌, 張新宇,

(1. 中國空空導(dǎo)彈研究院, 河南 洛陽 471009; 2. 中國科學(xué)院力學(xué)研究所, 北京 100190; 3. 中國科學(xué)院大學(xué) 工程科學(xué)學(xué)院, 北京 100049)

0 引 言

具有自相似性的圖形稱為分形，分形幾何用于定量描述分形的不規(guī)則程度[1-2]。近年來，分形幾何方法應(yīng)用于科學(xué)問題分析取得了很多進(jìn)展。Sreenivasan等[3]最早把分形理論引入流體力學(xué)實驗測量中，并系統(tǒng)分析了剪切層、射流和邊界層等典型流場的分形維數(shù)。趙玉新等[4]應(yīng)用分形幾何方法，測量了超聲速混合層轉(zhuǎn)捩區(qū)和完全發(fā)展湍流區(qū)湍流界面的分形維數(shù)，發(fā)現(xiàn)湍流界面分形維數(shù)隨著湍流脈動的增強(qiáng)而增大。楊洪旻等[5]應(yīng)用分形幾何方法，提出了一種基于分形理論的湍流預(yù)混火焰?zhèn)鞑ニ俣饶Ｐ?，該模型將小尺度渦團(tuán)對湍流火焰的強(qiáng)化擴(kuò)散效應(yīng)歸結(jié)為旋渦對鋒面結(jié)構(gòu)的改變。蔣德明等[6]使用分形幾何方法分析了內(nèi)燃機(jī)預(yù)混湍流火焰圖像，結(jié)果表明預(yù)混湍流火焰結(jié)構(gòu)具有分形特征，可以用分形維數(shù)來定量描述火焰褶皺、扭曲及其與湍流強(qiáng)度的關(guān)系。Hiraoka等[7]通過直接數(shù)值模擬來分析湍流預(yù)混射流火焰的分形特征，結(jié)果表明火焰鋒面的分形維數(shù)隨著下游距離的增加而增大。

超聲速燃燒的火焰分布與火焰形態(tài)是決定燃燒效率和燃燒室性能的關(guān)鍵因素。超聲速燃燒是涉及燃料噴注、混合、化學(xué)反應(yīng)、激波以及湍流的多物理復(fù)雜過程，其火焰形態(tài)及其傳播特性受到燃料種類、來流條件以及噴注參數(shù)的影響，并且火焰形態(tài)具有很強(qiáng)的非定常脈動特性。因此，如何定量研究超聲速湍流火焰及其傳播速度一直是研究的難點。以往研究工作多將分形幾何用于低速燃燒的火焰形態(tài)分析，用于分析超聲速燃燒火焰的研究并不多見。為此，本文將分形幾何用于超聲速燃燒的火焰形態(tài)分析中，特別是采用分形幾何方法系統(tǒng)分析不同燃料、不同當(dāng)量比的超聲速火焰分形特征變化，并考察分形特征與超聲速燃燒湍流火焰?zhèn)鞑ニ俣鹊年P(guān)系。類似的超聲速火焰研究尚未見公開報道。

本文基于高速攝影獲得的火焰CH*自發(fā)光圖像，應(yīng)用分形幾何方法，采用分形維數(shù)表征火焰鋒面的褶皺、扭曲程度，驗證超聲速燃燒火焰形態(tài)的自相似性，建立湍流火焰?zhèn)鞑ニ俣扰c火焰邊界分形維數(shù)的關(guān)系?；诜中螏缀伪碚鞣椒?，研究馬赫數(shù)2.5的超聲速來流下，乙烯及氫/乙烯混合燃料的火焰分形維數(shù)變化規(guī)律，探討燃料當(dāng)量比、燃料組分對湍流火焰?zhèn)鞑ニ俣鹊挠绊憽?/p>

1 實驗設(shè)計與分析方法

1.1 實驗設(shè)計

圖1為實驗使用的超聲速燃燒室結(jié)構(gòu)示意圖[8-9]。圖中紅框為主燃區(qū)，在該區(qū)域通過石英窗口對CH*自由基發(fā)光進(jìn)行拍攝。由于CH*自由基發(fā)光的波長在430nm左右，因此實驗通過高速相機(jī)配備中心波長為430nm的帶通濾光片進(jìn)行拍攝，拍攝頻率為10 000幀/s，曝光時間為1/16 000s，分辨率為1280pixel×240pixel。在燃燒室壁面布置了一系列靜壓測點，能夠得到實驗條件下燃燒室壁面的沿程靜壓分布。

圖1 超聲速燃燒實驗臺及其結(jié)構(gòu)示意圖(單位：mm)

Fig.1Supersoniccombustiontestfacilityanditsstructurediagram(unit:mm)

實驗的來流條件均為馬赫數(shù)2.5，總溫1850K，總壓1.23MPa，質(zhì)量流量1.35kg/s。來流總溫、馬赫數(shù)分別通過燒氫補(bǔ)氧加熱器與拉瓦爾噴管獲得。燃料均為氣態(tài)，成分如表1所示。燃料通過位于上壁面凹腔上游10mm處的壁面小孔垂直噴入燃燒室。燃燒當(dāng)量比在0.1～0.3之間。燃料點火后穩(wěn)定燃燒時間為實驗的有效時間，共2s。拍攝CH*發(fā)光的高速相機(jī)在燃燒前0.5s開始工作，拍攝時間共持續(xù)3.7s。

表1 燃料的組分及摩爾比例(單位：%) Table 1 Composition and molar ratio of fuel (unit: %)

1.2 分析方法

根據(jù)Helmhotz定理，流體中的渦管在運動中將不斷地拉伸和折疊，從而使湍流結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出分形特征[10]。湍流流場中存在很多尺度不同且連續(xù)變化的渦團(tuán)，這些渦團(tuán)的幾何特征和運動規(guī)律具有一定的統(tǒng)計意義上的自相似性。不同尺度的渦團(tuán)在同一時間和空間內(nèi)互相重疊，呈現(xiàn)出混沌和無序的現(xiàn)象。這種現(xiàn)象背后隱含著一定的有序性與相干結(jié)構(gòu)。因此,分形幾何可以用來很好地描述湍流這種擬序特征。沈?qū)W會等[11]將分形理論用于湍流研究中，研究結(jié)果表明分形理論有助于理解湍流的內(nèi)在規(guī)律和機(jī)理。

湍流火焰與層流火焰的不同主要在于:湍流火焰鋒面在湍流渦團(tuán)的強(qiáng)擾動下無法保持為規(guī)則而光滑的薄層。湍流火焰鋒面在受到劇烈扭曲和拉伸后發(fā)生褶皺和破碎，其表面積迅速增加，導(dǎo)致燃燒從局限在一個薄層發(fā)展到整個空間，從而使火焰?zhèn)鞑ニ俣蕊@著增大。湍流火焰鋒面這種褶皺不規(guī)則表面，正是分形幾何可以研究的對象。前人的研究表明，低速條件下湍流火焰鋒面具有統(tǒng)計意義上的自相似性[12]，但其滿足分形特征的尺度是有邊界的，兩端的邊界分別稱為內(nèi)外截止點。

Kolmogorov認(rèn)為，湍流具有不同尺度的旋渦結(jié)構(gòu)。流體的動能通過不同尺度結(jié)構(gòu)之間的傳遞過程，由積分尺度結(jié)構(gòu)把能量逐漸傳遞給最小尺度旋渦，即Kolmogorov尺度η。Kolmogorov尺度是湍流的最小尺度，此時動能僅能夠以熱能的形式耗散掉。因此，湍流火焰鋒面的內(nèi)截止點，即最小尺度為Kolmogorov尺度η。外截止點，即最大尺度為湍流積分尺度l[13-14]。Gouldin等[15]最早將分形理論應(yīng)用于湍流火焰的分析中，其提出的湍流火焰?zhèn)鞑ニ俣饶Ｐ徒⒃?個假設(shè)的基礎(chǔ)上：(1) 湍流燃燒速率并不是由卷吸作用所控制，而主要是由火焰面上的褶皺變形率控制，其表面的褶皺變形程度可以用分形理論來計算；(2) 湍流與層流的火焰?zhèn)鞑ニ俣戎鹊扔谄浠鹧驿h面的面積之比[16]，這與火焰鋒面的分形維數(shù)相關(guān)；(3) 層流火焰與湍流火焰的特征尺度分別為內(nèi)外截止點尺度。因此，有:

(1)

其中，ST和SL分別為湍流和層流火焰?zhèn)鞑ニ俣?，AT和AL分別為湍流和層流的火焰鋒面面積，D2和D1分別為火焰鋒面和火焰鋒面邊界曲線的分形維數(shù)，曲面與曲線分形維數(shù)之差為1。如果火焰鋒面邊界為具有分形特征的曲線，其分形維數(shù)將大于1。由式(1) 可知，火焰邊界的分形維數(shù)越大，湍流火焰?zhèn)鞑ニ俣仍酱蟆?/p>

1.3 分形維數(shù)計算方法

記盒數(shù)法是計算分形維數(shù)的一種常用方法。以圖2中曲線分形維數(shù)的計算為例，來說明該方法的應(yīng)用。用邊長為S的正方形盒子來互不交叉地覆蓋曲線，完全覆蓋曲線所需的最小盒子數(shù)為N(圖中紅色盒子數(shù)) 。

圖2 計盒數(shù)法示意圖Fig.2 Schematic diagram of box counting

顯然，盒子邊長S越小，所需的盒子數(shù)N越大。該曲線的分形維數(shù)即為盒子數(shù)N與盒子邊長S自然對數(shù)之比的相反數(shù)，如下式所示:

(2)

2 實驗結(jié)果及分析

2.1 湍流火焰邊界的自相似性

如果曲線的分形維數(shù)大于1，則說明該曲線具有自相似性。選取燃料乙烯、當(dāng)量比0.30的工況，通過CH*自發(fā)光圖像分析，來考察其火焰邊界的自相似性。圖3為該工況在穩(wěn)定燃燒時間內(nèi)某一瞬時的火焰邊界。如圖所示，上圖為火焰的整體邊界，紅色框為觀察窗的視野，綠色框內(nèi)為待考察的局部邊界。將綠色框的局部邊界放大到原來的兩倍，得到左下圖所示的圖像。重復(fù)該放大過程，得到右下圖所示的圖像。如果我們以不同的尺度來測量火焰邊界的長度，顯然在右下圖所在的尺度下，測量值更大。

圖3 穩(wěn)定燃燒時乙烯瞬態(tài)火焰邊界Fig.3 Transient flame boundary of ethylene during steady combustion

采用計盒數(shù)法計算火焰邊界的分形維數(shù)。該灰度圖像由一系列正方形像素排列而成，每個像素具有單一的灰度值。因此選取盒子邊長時以像素的寬度p為單位。選取不同的盒子邊長，覆蓋圖3火焰邊界所需的盒子數(shù)在表2中給出。

表2 計盒數(shù)法計算結(jié)果Table 2 Calculation results of box counting method

將盒子數(shù)和盒子邊長的自然對數(shù)lnN和lnS進(jìn)行線性擬合，結(jié)果如圖4所示。圖中的擬合優(yōu)度達(dá)0.996，線性度較好。根據(jù)式(2) 得到火焰邊界的分形維數(shù)為1.404，說明該火焰邊界具有典型的自相似性。

2.2 分形維數(shù)隨當(dāng)量比的變化

由于湍流具有強(qiáng)非定常性，湍流火焰邊界在不斷變化，其邊界的卷曲、褶皺程度也在不斷變化，因此有必要考察火焰邊界分形維數(shù)隨時間的變化規(guī)律。仍以圖3火焰為例，在穩(wěn)定燃燒的0.02s時間段內(nèi)，選取200個時刻，計算每個瞬態(tài)時刻火焰邊界的分形維數(shù)，結(jié)果如圖5所示。圖中分形維數(shù)隨時間上下波動，但其時均值基本不變，因此采用其時均值1.312來表征準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)燃燒下該火焰邊界的分形維數(shù)。

圖4 乙烯火焰邊界分形維數(shù)計算結(jié)果與擬合曲線

Fig.4Calculationresultsandfittingcurvesoffractaldimensionofethyleneflameboundary

圖5 分形維數(shù)隨時間的變化Fig.5 The change of fractal dimension with time

圖6給出了乙烯在不同當(dāng)量比下的典型瞬態(tài)火焰圖像，圖中將原始的灰度圖像進(jìn)行了偽彩處理。圖7為不同當(dāng)量比下燃燒室壁面壓力測量數(shù)據(jù)沿程分布。圖8為根據(jù)壓力測量數(shù)據(jù)以及燃燒室一維流動分析方法得到的平均馬赫數(shù)沿程分布[15]。如圖6所示，超聲速火焰形態(tài)隨當(dāng)量比φ的增大逐漸由凹腔穩(wěn)焰模式過渡到射流穩(wěn)焰模式，火焰分布區(qū)域向上游移動，同時火焰區(qū)域擴(kuò)大，并且火焰邊界變得更加不規(guī)則。隨著釋熱開始位置的前移，相應(yīng)的燃燒室壓力抬升位置和馬赫數(shù)開始迅速下降的位置也從凹腔區(qū)域前移到燃料噴注點上游，如圖7和8所示。

圖9給出了不同當(dāng)量比條件下乙烯火焰邊界的分形維數(shù)，分形維數(shù)在1.05～1.32之間。如圖所示，隨著當(dāng)量比的提高，火焰邊界的分形維數(shù)逐漸增大。

對圖中的數(shù)據(jù)點進(jìn)行線性擬合，其擬合優(yōu)度為0.902，這說明火焰邊界的分形維數(shù)隨當(dāng)量比近似線性增加，線性關(guān)系如下式所示:

D1=1.73φ+0.79

(3)

呈現(xiàn)這種變化，是因為低當(dāng)量比時，火焰主要穩(wěn)定在凹腔后緣位置，火焰受到超聲速氣流的沖刷，相對穩(wěn)定；隨著當(dāng)量比增大，火焰區(qū)逐漸前移至噴注點附近，這時燃料射流穿透增強(qiáng)，噴注點前形成弓形激波，并導(dǎo)致邊界層分離，壓力抬升位置前移，火焰邊界變形與破碎程度加劇，從而使得火焰邊界的分形維數(shù)增大。分形維數(shù)的增大意味著火焰面積在不斷增大，湍流火焰?zhèn)鞑ニ俣纫仓饾u增大。

圖6 不同當(dāng)量比條件下乙烯瞬態(tài)火焰分布

Fig.6Transientflamedistributionofethyleneatdifferentequivalentratios

圖7 不同當(dāng)量比下燃燒室壓力分布Fig.7 Pressure distribution of combustor at different equivalent ratios

圖8 不同當(dāng)量比下燃燒室平均馬赫數(shù)分布

Fig.8AverageMachnumberdistributionofcombustoratdifferentequivalentratios

圖9 乙烯火焰邊界分形維數(shù)隨當(dāng)量比的變化

Fig.9Variationoffractaldimensionofethyleneflameboundarywithequivalentratio

根據(jù)湍流尺度理論[17]，Kolmogorov尺度η與湍流積分尺度l有以下關(guān)系：

(4)

其中，ut為湍流脈動特征速度，ν為運動粘性系數(shù)，Ret為以ut為特征速度的雷諾數(shù)。結(jié)合式(1) 、(3) 和(4) ，可得湍流、層流火焰?zhèn)鞑ニ俣戎扰c當(dāng)量比的關(guān)系：

(5)

如式(5) 所示，如果已知湍流脈動特征速度ut、湍流積分尺度l和運動粘性系數(shù)ν，就可以獲得該工況下不同當(dāng)量比湍流和層流火焰?zhèn)鞑ニ俣戎取?/p>

2.3 分形維數(shù)隨燃料成分的變化

圖10為燃料B(20%H2+80%C2H4) 和C(50%H2+50%C2H4) 在不同當(dāng)量比條件下的瞬時火焰形態(tài)。圖11為不同當(dāng)量比下燃燒室的壓力分布。如圖所示，隨著當(dāng)量比增大，燃燒區(qū)域前移，壓力抬升位置前移到噴注點上游。相同當(dāng)量比下，氫含量更高的燃料C燃燒明顯更強(qiáng)，壓力峰值更大。圖12為燃料B和C火焰邊界分形維數(shù)隨當(dāng)量比的變化,分形維數(shù)在1.05～1.36之間。對圖12中的數(shù)據(jù)點進(jìn)行線性擬合，兩條曲線的擬合優(yōu)度分別為0.919和0.815，說明燃料B、C火焰邊界分形維數(shù)隨當(dāng)量比近似線性增大。在當(dāng)量比增大過程中，火焰邊界分形維數(shù)的增大反映了湍流火焰?zhèn)鞑ニ俣鹊脑龃?，其機(jī)理與乙烯燃燒類似。對比燃料B和C的數(shù)據(jù)可見，隨著氫含量的增加，相同當(dāng)量比下，火焰邊界分形維數(shù)有所增大，湍流火焰?zhèn)鞑ニ俣仍龃?，和圖10中的火焰形態(tài)結(jié)果一致。

Fig.10InstantaneousformoffuelBandCatdifferentequivalentratios

(a) 燃料B

(b) 燃料C

Fig.11Pressuredistributionofcombustoratdifferentequivalentratios

圖12 不同當(dāng)量比燃料B和C火焰邊界分形維數(shù)及其擬合曲線

Fig.12FractaldimensionofflameboundaryoffuelBandCatdifferentequivalentratiosandtheirfittingcurves

3 結(jié) 論

本文將分形幾何用于超聲速燃燒火焰形態(tài)的定量分析，采用計盒數(shù)法確定了火焰邊界的分形維數(shù)，建立了湍流火焰?zhèn)鞑ニ俣扰c火焰邊界分形維數(shù)的關(guān)系，驗證了超聲速燃燒火焰形態(tài)的自相似性，獲得了火焰邊界分形維數(shù)隨當(dāng)量比和燃料組分的變化結(jié)果。主要結(jié)論有：

(1) 超聲速燃燒火焰邊界具有自相似性，分形維數(shù)在1.05～1.36之間變化。在燃燒穩(wěn)定的時間段內(nèi)，火焰邊界的瞬態(tài)分形維數(shù)隨時間上下波動，但時均值基本不變。

(2) 在本文研究的當(dāng)量比范圍內(nèi)，超聲速火焰邊界的分形維數(shù)隨當(dāng)量比近似線性增加，說明火焰邊界的卷曲、褶皺程度增加，湍流火焰?zhèn)鞑ニ俣仍龃蟆?/p>

(3) 火焰邊界的分形維數(shù)隨氫含量的增加而增大，這說明氫的加入導(dǎo)致燃燒增強(qiáng)，火焰邊界的卷曲、褶皺程度增加，湍流火焰?zhèn)鞑ニ俣仍龃蟆?/p>

本文嘗試采用分形幾何方法對超聲速燃燒的火焰形態(tài)進(jìn)行定量分析，初步獲得了可以定量表征火焰特性的數(shù)據(jù)與變化規(guī)律。研究的最大當(dāng)量比為0.3，對于單路噴油來說，已不算小。如果繼續(xù)增大當(dāng)量比，受燃燒室小擴(kuò)張角的影響，該構(gòu)型燃燒室容易出現(xiàn)熱壅塞，從而影響入口條件。在今后工作中，針對大擴(kuò)張角燃燒室，將研究高當(dāng)量比條件下是否依然遵循該規(guī)律。隨著光學(xué)測試手段的不斷提高，如平面激光誘導(dǎo)熒光等技術(shù)的應(yīng)用，可以獲得更為清晰的火焰鋒面圖像，從而采用分形幾何方法可以獲得更準(zhǔn)確的火焰表征結(jié)果。