基于分段快速模擬退火的零偏VSP全波形反演

韓璇穎,印興耀,曹丹平,梁 鍇

(1.中國石油化工股份有限公司石油物探技術(shù)研究院,江蘇南京211103;2.中國石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,山東青島266580)

VSP技術(shù)作為一種井中地震勘探方法,在地面地震、鉆井和地質(zhì)資料間發(fā)揮了橋梁作用。利用VSP資料可獲得井口附近地震頻帶尺度的可靠參數(shù),利用該參數(shù)可進(jìn)行地震地質(zhì)層位的標(biāo)定,成果解釋及油氣預(yù)測[1-2]。

STEWART[3]和LINES等[4]系統(tǒng)地研究了利用旅行時反演VSP資料速度的方法;鄒強(qiáng)等[5]利用阻抗和旅行時聯(lián)合反演層速度;姚忠瑞等[6]以北101井VSP測井為例,利用零偏VSP資料求取橫波速度;受旅行時拾取的誤差和地震波能量等多種因素的影響,得到的橫波速度不準(zhǔn)確[7]。全波形反演充分利用了旅行時及波場相關(guān)信息(如振幅、頻率和相位等)提高了反演的精度[8-9]。OWUSU等[10]利用阿拉伯灣VSP資料進(jìn)行全波形反演建立了合理的速度模型;EGOROV等[11]基于全波形反演得到了VSP資料的縱波速度及其數(shù)值范圍。

采用模擬退火(simulated annealing,SA)算法進(jìn)行零偏VSP全波形反演可以克服傳統(tǒng)局部優(yōu)化算法過于依賴初始模型和易陷入局部極值的不足[12-15]。作為一種非線性優(yōu)化算法,在足夠的模型擾動和迭代次數(shù)以及嚴(yán)格退火方案的條件下,SA算法是有效的[16],但在實際應(yīng)用中,因難以滿足上述條件而導(dǎo)致該算法效率不高。盡管零偏VSP資料的數(shù)據(jù)量小,但將SA算法應(yīng)用于耗時長﹑計算量大的零偏VSP全波形反演,效率問題不容忽視。

許多學(xué)者對SA算法加以改進(jìn)以提高效率,INGBER[17]提出了一種VFSA算法;劉海飛等[18]將局部搜索能力較強(qiáng)的單純形法和鮑威爾法引入SA算法,形成了基于SA算法的全局混合反演方法。李亞楠等[19]提出了一種改進(jìn)的自適應(yīng)差分演化算法,該算法融入了SA思想,提高了全局搜索能力。雖然這些改進(jìn)在一定程度上解決了SA算法耗時長的問題,但將SA算法應(yīng)用于零偏VSP全波形反演,計算效率仍然較低。改進(jìn)的算法雖然提高了局部搜索能力但一定程度上限制了整個算法的全局搜索能力,不易得到精確解。

本文在VFSA算法理論框架下,將高效、高精度的SFSA反演策略應(yīng)用于零偏VSP全波形反演,在不同階段采用了不同的擾動模型和退火方式,反演前期采用大擾動空間和較慢溫度衰減速度,充分發(fā)揮全局搜索能力,而后期采用小擾動空間和較快溫度衰減速度,有效提高了局部搜索能力及收斂速度,最終在井孔周圍獲得了可靠的地層速度,為精確的時深轉(zhuǎn)換及油氣預(yù)測奠定了基礎(chǔ)。

1 零偏VSP全波形反演的理論基礎(chǔ)

全波形反演的基礎(chǔ)為時間域聲波波動方程有限差分正演。當(dāng)震源為零時,二維各向同性均勻介質(zhì)的聲波方程為:

(1)

式中:v為縱波速度;f為波場;t為波傳播的時間。我們采用空間四階時間二階交錯網(wǎng)格差分方法[20]進(jìn)行正演模擬。相較于地面地震資料,零偏VSP資料的數(shù)據(jù)量小,有利于全局優(yōu)化算法的應(yīng)用。

地震全波形反演的目標(biāo)函數(shù),可用于衡量真實數(shù)據(jù)和模擬數(shù)據(jù)之間的匹配程度。將L2范數(shù)作為目標(biāo)函數(shù),其形式為:

(2)

式中:F為目標(biāo)函數(shù);d為真實的零偏VSP資料;f(v)為當(dāng)前速度模型的正演數(shù)據(jù)。在提高算法的效率同時為了避免陷入局部極值,本文將SFSA反演策略應(yīng)用于零偏VSP全波形反演,在反演的前、后階段分別采用相匹配的退火計劃和擾動模型,前期側(cè)重保留算法的全局優(yōu)化性能,后期強(qiáng)化算法的局部搜索性能,總體上提高了反演的尋優(yōu)效率及精度。

2 SA算法原理

2.1 退火計劃

SA算法采用不斷降低溫度的手段來控制整個算法的進(jìn)程。算法通常包括兩種形式:快速衰減的溫度和長馬爾可夫鏈以及緩慢衰減的溫度和短馬爾可夫鏈。我們需要綜合考慮計算效率和結(jié)果精度來平衡溫度的衰減速度和馬爾可夫鏈長度。溫度衰減過慢,會使算法的效率變低,反之,則可能陷入局部極值[21]。通常我們選取的溫度衰減速度較小,這是為了減小所需馬爾可夫鏈的長度。本文采用的退火計劃為[22]:

(3)

式中:T為當(dāng)前溫度;k為迭代次數(shù);T0為初始溫度;M為反演的參數(shù)數(shù)量(本文中M=1);α為接近1.0的常數(shù),表示衰減的快慢,通常為0.7≤α<1.0。

2.2 引入限制因子的擾動模型的產(chǎn)生

SA算法的新模型基于當(dāng)前模型擾動得出。蔣龍聰?shù)萚23]基于非均勻變異的思想提出了新模型參數(shù)公式為:

為進(jìn)一步提高局部搜索能力和效率,本文在擾動模型中引入了一個限制因子,該因子與迭代次數(shù)k成反比,目的是在迭代不斷增加的時候逐漸減小模型的擾動空間,即隨著迭代次數(shù)的增加,擾動模型將在和當(dāng)前模型不斷逼近的范圍中產(chǎn)生,從而更快得到最優(yōu)解。新公式可以表示為:

(6)

式中:b為限制因子,b(k)=1/(mk),其中系數(shù)m控制模型擾動空間的變化。

2.3 VFSA算法理論框架下的SFSA反演策略

基于VFSA算法理論框架,在不同階段分別采用不同的擾動模型和退火方式,相較于常規(guī)VFSA算法,本文提出了一種更具靈活性﹑高效和高精度的SFSA反演策略。根據(jù)該策略,可根據(jù)實際需要將反演劃分成不同的階段,分別調(diào)節(jié)不同階段時模型擾動空間大小和溫度衰減的速度?；驹瓌t為在充分發(fā)揮全局優(yōu)化性能尋找最優(yōu)解范圍的同時,快速收斂到最優(yōu)解。本文將反演階段劃分為兩段,迭代前期采用大擾動空間和較慢的溫度衰減速度;迭代后期采用小擾動空間和較快的溫度衰減速度。這里引入一個參數(shù):截斷迭代數(shù)K,以確定兩段法的前、后期次。在前期,當(dāng)?shù)螖?shù)小于截斷迭代數(shù)K時,擾動模型使用全局?jǐn)_動模式,遍歷整個解空間,采用傳統(tǒng)的VFSA算法,可得:

(7)

與此時擾動模式相匹配的退火計劃為α=0.99的公式(3),α值較大,溫度衰減緩慢,可有效地搜索和鎖定最優(yōu)解的范圍。在反演后期,即迭代次數(shù)大于截斷迭代數(shù)K時,需快速收斂到最優(yōu)解,為提高后期局部搜索的能力,我們使用公式(6)生成擾動模型,隨著迭代次數(shù)的增加,擾動空間不斷變小,不斷逼近最優(yōu)值,相應(yīng)的退火計劃為α=0.97的公式(3),α值較小,溫度的衰減速度快。根據(jù)不同階段的目的和特點,采用不同的公式,可提高整個反演過程的效率和精度。

3 測試及應(yīng)用

3.1 系數(shù)測試

本文正演模擬的縱波速度模型如圖1a所示,最大深度為900m;空間采樣間隔Δx=Δz=10m;時間采樣間隔為1ms;爆炸震源位于0處,產(chǎn)生主頻為30Hz的雷克子波。在偏移距為20m處設(shè)置井位進(jìn)行觀察。圖1b為正演得到的零偏VSP資料的地震記錄。

圖1 縱波速度模型(a)和零偏VSP地震記錄(b)

根據(jù)SFSA零偏VSP全波形反演的效果進(jìn)行系數(shù)測試以確定m和K的最佳值。系數(shù)測試的初始溫度為10℃,終止溫度為1×10-6℃,馬爾科夫鏈長為15,迭代次數(shù)為529。首先設(shè)定m值,取K=10,50,100,150,200,300時分別進(jìn)行測試,反演效果最好的為該條件下的最佳K值;然后設(shè)定K值,取m=1,2,3,4,10,50時分別進(jìn)行測試,反演效果最好的為該條件下的最佳m值。需要注意的是,當(dāng)m<1時,迭代次數(shù)k略大于截斷迭代數(shù)K,反演后期開始時,模型的擾動空間陡增(圖2a),會使得前期得到的較小最優(yōu)解空間沒有意義,不符合隨著迭代次數(shù)增加模型的空間擾動量不斷減小的趨勢。當(dāng)m=0.5時,反演得到的速度與模型速度的對比如圖2b所示,誤差較大(圖2c),反演效果不理想,因此m的值不應(yīng)小于1。

當(dāng)m=3的時候,速度反演結(jié)果如圖3所示,可以看出,當(dāng)K值較小(圖3a)時,反演結(jié)果不理想;當(dāng)K=100(圖3b)時,反演的速度和模型速度對比誤差最小,反演結(jié)果可靠;當(dāng)K值較大(圖3c)時,結(jié)果同樣不理想。從溫度和擾動空間隨迭代次數(shù)的變化情況(圖4)可以看出,K值較小時(圖4a),溫度降低快,尚未得到最佳擾動模型空間時,空間擾動量已經(jīng)變小,算法易陷入局部極值;當(dāng)K=100時(圖4b),前期溫度降低慢,空間擾動量較大利于充分尋優(yōu),后期溫度快速降低,空間擾動量無突變的減小,變化較為合理;當(dāng)K值較大時(圖4c),反演后期空間擾動量陡降,會使擾動模型出現(xiàn)突變,不利于找到速度的最優(yōu)解。

圖2 m=0.5時的反演結(jié)果a 空間擾動量隨迭代次數(shù)的變化情況; b 反演得到的速度與模型速度的對比; c 速度反演的誤差

結(jié)合m=3且K=50,150,200的其他3組測試結(jié)果表明,K為[100,150]時,反演結(jié)果可靠。根據(jù)m=1,2,4,10,50時的測試結(jié)果可知,K取值[100,150]最合理。由于不同m對應(yīng)最佳K的取值范圍相同,故僅需對該范圍內(nèi)任意K值(如K=100)時m=1,2,3,4,10,50分別進(jìn)行反演測試。K=100時,反演結(jié)果和模型的平均相對誤差依次為2.35%,0.60%,0.53%,0.51%,3.64%,10.05%。圖5 顯示了K=100時部分m值的反演結(jié)果和誤差曲線,可以看出,m太小或者太大均會導(dǎo)致不合適的擾動空間變化,影響反演的效果,m為[2,4]時,反演效果較理想。下文均采用K=100,m=3進(jìn)行反演。

3.2 零偏VSP縱波速度反演

分別采用VFSA和SFSA反演零偏VSP資料的縱波速度。為驗證SFSA反演的高效性和高精度性,我們進(jìn)行了兩組測試:反演Ⅰ和反演Ⅱ。初始速度均為1500m/s,終止溫度均為1×10-6℃。

圖3 不同K值對應(yīng)的反演結(jié)果與真實值對比(m=3)a K=10; b K=100; c K=300

圖4 溫度和空間擾動量隨迭代次數(shù)的變化情況a K=10; b K=100; c K=300

圖5 不同m值對應(yīng)的反演結(jié)果及誤差曲線(K=100)a 反演的速度與真實速度的對比; b 速度反演的誤差

反演Ⅰ的初始溫度為100℃,馬爾可夫鏈長度為200,VFSA反演和SFSA反演的迭代次數(shù)分別為912和604。反演Ⅰ的結(jié)果及誤差對比如圖6所示。分別將圖6中兩種反演方法得到的地震記錄與真實模型得到的地震記錄(h=600m)進(jìn)行對比,結(jié)果如圖7所示,可以看出,在反演Ⅰ中,兩種反演方法都得到了理想的效果,但SFSA法迭代次數(shù)少,用時少,且誤差小,相較于VFSA,其效率提高了約50%。

反演Ⅱ的初始溫度為10℃,馬爾可夫鏈長度為20,VFSA反演和SFSA反演的迭代次數(shù)分別為798和529,SFSA反演效率約為VFSA反演效率的1.5倍。圖8a和圖8b分別為VFSA反演和SFSA反演得到的速度與模型速度的對比,圖8c為兩種方法誤差的對比,圖9為兩種方法反演得到的速度對應(yīng)的地震記錄與模型地震記錄的對比,可以看出VFSA反演得到的結(jié)果誤差較大,而采用SFSA反演可得到可靠解。圖10為反演Ⅱ中分別采用VFSA反演和SFSA反演時能量隨迭代次數(shù)的變化情況。能量代表著誤差,在較低的初始溫度和較短的馬爾可夫鏈長度的情況下,VFSA反演后期能量收斂的速度很慢,故誤差較大;而SFSA反演收斂速度相對較快,故在更小的迭代次數(shù)條件下SFSA反演可獲得更好的效果?；谂c反演Ⅱ相同的條件進(jìn)行添加噪聲測試,當(dāng)?shù)卣鹩涗浀男旁氡萊SN分別為4和2時,反演結(jié)果及其與模型值的誤差分別如圖11和圖12所示,可以看出,SFSA反演比VFSA反演的效率和精度更高。

圖6 反演Ⅰ的結(jié)果a VFSA反演得到的速度與真實速度; b SFSA反演得到的速度與真實速度; c 速度反演的誤差

圖7 反演Ⅰ得到的地震記錄與真實模型得到的地震記錄(h=600m)a VFSA; b SFSA; c 地震記錄的誤差

圖8 反演Ⅱ的結(jié)果a VFSA反演得到的速度與真實速度; b SFSA反演得到的速度與真實速度; c 速度反演的誤差

圖9 利用反演Ⅱ的模型得到的地震記錄與真實模型得到的地震記錄(h=600m)a VFSA; b SFSA; c地震記錄的誤差

圖10 反演Ⅱ中能量隨迭代次數(shù)變化情況a VFSA; b SFSA

圖11 添加噪聲測試結(jié)果(RSN=4)a VFSA反演得到的速度與真實速度; b SFSA反演得到的速度與真實速度; c 速度反演的誤差

圖12 添加噪聲測試結(jié)果(RSN=2)a VFSA反演得到的速度與真實速度; b SFSA反演得到的速度與真實速度; c 速度反演的誤差

4 結(jié)束語

本文提出將SFSA反演策略應(yīng)用于零偏VSP全波形反演。以兩段法為例,將反演分為前、后兩個階段,前期有效鎖定最優(yōu)解的范圍,后期反演結(jié)果快速收斂。模型測試證明,SFSA反演可明顯提高收斂速度,效率約為基于VFSA反演的1.5倍,還可以在比VFSA反演迭代次數(shù)更少的情況下獲得更可靠的縱波速度?；赟FSA的零偏VSP全波形反演具有高效性和高精度性,這為之后地震地質(zhì)層位標(biāo)定,成果解釋及油氣預(yù)測奠定了基礎(chǔ)。本文僅討論了反演過程中m和K的取值范圍,二者最優(yōu)值的選取還需要進(jìn)一步研究。