淺析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的高三復(fù)習(xí)策略

江蘇省丹陽市呂叔湘中學(xué) 趙如國

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)歷來都是高考命題的重點，“能力立意”是高考數(shù)學(xué)命題的基本思想，在這一思想的指引下，高考命題者往往會以函數(shù)為載體，整體把握高中數(shù)學(xué)的教學(xué)特點，對學(xué)生綜合性的理解和應(yīng)用能力進(jìn)行考核.考慮到函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)知識體系中的重要地位，命題者經(jīng)常以這部分內(nèi)容為主設(shè)計綜合題，以檢查學(xué)生的邏輯推理能力、綜合分析能力及數(shù)學(xué)思維能力.鑒于此，教師要專注學(xué)生高三復(fù)習(xí)過程中在這一模塊的具體情況，并有策略地施加引導(dǎo).

一、強化學(xué)生認(rèn)識，提升他們復(fù)習(xí)的關(guān)注度

在高三復(fù)習(xí)時，由于整個高中階段的新課學(xué)習(xí)已經(jīng)結(jié)束，這時教師要引導(dǎo)學(xué)生，站在全局的高度，對導(dǎo)數(shù)與函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位有一個總體性的認(rèn)識，同時更要藉此引領(lǐng)學(xué)生把握該知識模塊與其他模塊之間的聯(lián)系.

為提升學(xué)生復(fù)習(xí)時的關(guān)注度，教師還要結(jié)合近年來對高考試卷的分析，引導(dǎo)學(xué)生明確高考在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分考核的側(cè)重點，讓學(xué)生知道復(fù)習(xí)過程中的著力點.一般來講，學(xué)生在進(jìn)行復(fù)習(xí)時，應(yīng)該要關(guān)注導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，能夠結(jié)合導(dǎo)數(shù)對函數(shù)的圖像特征進(jìn)行研究，并由此理清函數(shù)的具體性質(zhì).在高考試卷上，此類問題往往是以初等函數(shù)為背景來設(shè)計題目，甚至?xí)旁趬狠S題的位置.這也就提醒學(xué)生復(fù)習(xí)該模塊內(nèi)容時，要兼顧到基礎(chǔ)性和綜合性兩個方面，要求學(xué)生對基本概念進(jìn)行準(zhǔn)確的把握和理解，并提醒他們注意知識和方法的融會貫通，還要能夠聯(lián)系所學(xué)內(nèi)容解決最基礎(chǔ)的實際性問題.具體來講，學(xué)生在復(fù)習(xí)時要注意以下幾個方面的問題.

（1）重視函數(shù)的圖像和基本性質(zhì)，包括定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、最值和周期性等，尤其是指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合各類型函數(shù)的典型情形分析其函數(shù)的基本特征.

（2）重視函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容相互整合的綜合性問題，引導(dǎo)學(xué)生通過化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等展開分析和處理，同時也要指導(dǎo)學(xué)生將導(dǎo)數(shù)作為基本工具，藉此來研究函數(shù)的基本性質(zhì)，以及相關(guān)問題的證明.

（3）重視實際性問題的處理，引導(dǎo)學(xué)生充分利用建模思維，從實際問題情境中提煉出數(shù)學(xué)模型，并充分應(yīng)用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基本理論和方法，完成問題的分析和研究.

在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)時，我們要向?qū)W生強調(diào)某項內(nèi)容的重要性，不僅要強調(diào)“重要”二字，更要讓學(xué)生明確：重要在什么地方，要復(fù)習(xí)哪些內(nèi)容，具體該做哪些事兒.這樣才能讓學(xué)生的各項工作更有針對性，才能實現(xiàn)有條不紊地推進(jìn).

二、靈活運用各項工具，強化對基本概念和性質(zhì)的理解

函數(shù)的概念性非常強，它的性質(zhì)是數(shù)學(xué)問題處理的重要工具，定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等歷來都是高考命題的重點，幾乎可以說是每年必考，學(xué)生必須要靈活而深刻地掌握.圖像是函數(shù)的重要組成，能對函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行有效的刻畫，因此在復(fù)習(xí)過程中，教師要指導(dǎo)學(xué)生以數(shù)形結(jié)合思想為基礎(chǔ)，深刻把握函數(shù)及圖像的關(guān)系.

在復(fù)習(xí)過程中，教師還要充分意識到，二次函數(shù)的最值討論、零點分布等都是導(dǎo)數(shù)問題的基礎(chǔ)，這要求學(xué)生能夠反復(fù)過關(guān)，同時還要求學(xué)生能夠結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本性質(zhì)來描繪圖像，并領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想.在研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值問題時，導(dǎo)數(shù)是最有效的一項工具，教師要幫助學(xué)生形成使用導(dǎo)數(shù)巧妙分析問題的相關(guān)意識和思維習(xí)慣.

例題展現(xiàn)：現(xiàn)有函數(shù)f（x）=（x-1）ex-kx2，試分析：

（1）當(dāng)k=1時，該函數(shù)的單調(diào)性特點；

（2）如果該函數(shù)在［0，＋∞）上單調(diào)遞增，確定k的取值范圍.

思路分析：（1）若k=1，則f（x）=（x-1）ex-x2，則f′（x）=ex+（x-1）ex-2x=x（ex-2）.令f′（x）=x（ex-2）＞0，可以解得x＞ln2或x＜0；再令f′（x）=x（ex-2）＜0，則有0＜x＜ln2，所以該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）和（ln2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，ln2）.

（2）對原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，f ′（x）=ex+（x-1）ex-2kx=x（ex-2k），如果該函數(shù)在［0，+∞）上單調(diào)遞增，則在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)，f′（x）=x（ex-2k）≥0恒成立，可以得出ex-2k≥0，即ex≥2k恒成立.由于ex≥1，所以2k≤1，因此有當(dāng)時，f′（x）=x（ex-2k）≥0，當(dāng)x取0時，上述不等式取等號.則本題所要確定的實數(shù)k的取值范圍為

三、積極認(rèn)識導(dǎo)數(shù)，明確其在函數(shù)問題中的重要作用

綜觀近幾年的高考試題，我們發(fā)現(xiàn)很多函數(shù)的問題可以從導(dǎo)數(shù)的角度展開分析，并最終獲得求解.為適應(yīng)這一需要，教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生更進(jìn)一步地研究和認(rèn)識導(dǎo)數(shù)，并結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求，有效展開復(fù)習(xí)，尤其要避免學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中將導(dǎo)數(shù)和函數(shù)割裂開來的行為.

教師在復(fù)習(xí)過程中要積極滲透導(dǎo)數(shù)的知識，并引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)性質(zhì)，以及圖像的變化特點出發(fā)，居高臨下地對導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的知識進(jìn)行整合，積極發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.此外，教師應(yīng)該要關(guān)注導(dǎo)數(shù)的幾何意義和內(nèi)涵，并由此引導(dǎo)學(xué)生探索相關(guān)內(nèi)容與幾何的關(guān)系，從而加深他們的理解.

學(xué)生還要積極從導(dǎo)數(shù)的角度出發(fā)，引領(lǐng)學(xué)生破解函數(shù)圖像的基本特點，同時也要引導(dǎo)學(xué)生分析方程的相關(guān)性質(zhì).經(jīng)過分析，學(xué)生能夠明確繪制某些函數(shù)的圖像時，直接處理難度較大，但是先從導(dǎo)數(shù)的角度出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生探明性質(zhì)、作出草圖，最后就能夠輕松完成任務(wù).

此外，學(xué)生在研究導(dǎo)數(shù)問題時，經(jīng)常會因為概念理解偏差而出現(xiàn)錯誤，因此教師必須要引導(dǎo)學(xué)生探明其實質(zhì)，并有意識地引導(dǎo)學(xué)生強化訓(xùn)練，幫助學(xué)生形成充分的理解和認(rèn)識.

四、結(jié)合實際場景，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合建模思維復(fù)習(xí)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)都是重要的數(shù)學(xué)模型，很多問題也都是理想化的，如果引導(dǎo)學(xué)生過分側(cè)重理想化的模型分析，則容易限制學(xué)生思維的發(fā)展，他們的認(rèn)識能力也很難因此而得到發(fā)展.同時，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該意識到當(dāng)前很多高考題也習(xí)慣將數(shù)學(xué)理論和實際場景聯(lián)系起來，并由此引導(dǎo)學(xué)生展開建模處理，藉此來提升他們的能力和思維.

例題展示：某地需要建造一座橋，現(xiàn)在已經(jīng)將兩側(cè)的橋墩建好，且已知橋墩距離為m米，余下的工程僅僅對應(yīng)著現(xiàn)有橋墩之間的路面工程和中間橋墩的建造.經(jīng)過預(yù)測，橋墩的建造費用是256萬元/個，每兩個橋墩之間距離為x米的路面建造費用為x萬元.假設(shè)這些橋墩都可以視為點，而且之間的距離也都是相等的，現(xiàn)在忽略其他因素，將剩下工程所需費用記作y萬元.試分析：

（1）y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如果m等于640，則應(yīng)該建造多少個橋墩，可以使得y的取值最??？

思路分析：（1）先假設(shè)需要新建橋墩數(shù)為n個，即（n+1）x=m，因此有，進(jìn)一步可以寫出函數(shù)式y(tǒng)=

綜上所述，在高三復(fù)習(xí)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生站在全局的高度，審視高中數(shù)學(xué)的知識框架和方法特點，有效指導(dǎo)他們完成對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)，由此提升他們的復(fù)習(xí)質(zhì)量.