基于PARAFAC分解的大規(guī)模MU-MIMO稀疏信道估計

穆曉敏， 劉亞麗， 張建康,2， 趙凌霄

(1.鄭州大學 信息工程學院，河南 鄭州 450001； 2.東南大學 移動通信國家重點實驗室，江蘇 南京 210096)

0 引言

大規(guī)模MIMO(massive multiple input multiple output)技術是未來無線通信系統(tǒng)的關鍵技術之一[1-2].在實現(xiàn)高頻譜效率、功率效率和魯棒性等方面有巨大的潛力.大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的信道估計問題引起了研究人員的關注.特別是無線信道的稀疏性已被作為降低導頻開銷的方法來提高信道估計性能[1].在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，實際信道中包含豐富的多徑成分.用戶端在局部散射效應的影響下[3-4]，無線信道往往表現(xiàn)出稀疏多徑結構，且大部分的路徑增益相當?shù)?隨著帶寬和天線數(shù)目的增多，收益下降幅度也急劇攀升[5].由于傳統(tǒng)信道估計算法(如LS算法和MMSE算法等)的估計精度較低，無法滿足大規(guī)模MIMO系統(tǒng)對信道估計精度的要求.為了在不增加導頻開銷的前提下提高信道估計精度，一些學者提出了稀疏信道估計算法[6-7].Dai等[8]提出一種時頻聯(lián)合的上行稀疏信道估計算法，該算法利用時域的訓練序列和頻域的正交導頻序列作為時頻訓練信息，分別估計路徑延遲和路徑增益，在不增加導頻開銷的情況下提高信道估計精度.然而該算法只適用于時頻序列的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，這限制了該算法的應用.文獻[9]對于大規(guī)模MIMO稀疏上行信道的估計，提出了兩種基于貪心追蹤的壓縮感知方法.Wang等[10-11]考慮在FDD多用戶大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，通過利用空間相關性，在空間-頻率域中以稀疏形式建模信道，結合壓縮感知理論(compressed sensing，CS)，提出一種基于改進的正交匹配追蹤(OMP)算法來進行有效信道估計.與傳統(tǒng)信道估計算法相比，該算法不僅運算復雜度較低，而且收斂速度較快.然而，該算法重構精度較低，仍不能滿足系統(tǒng)對信道估計精度的要求，限制了該稀疏信道估計算法的應用.同時由于將信道建模成一維稀疏向量，一次僅能估計出單個用戶的信道狀態(tài)信息，難以實現(xiàn)多用戶的聯(lián)合信道估計.

綜上，考慮到三階張量分解在無線通信中可以充分利用空、時、頻多域信息，通過對接收信號多維矩陣建模，在低運算復雜度情況下只需少量導頻序列便能聯(lián)合估計信道矩陣[7，12]，筆者針對多用戶大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的上行鏈路信道估計問題，提出了一種基于張量分解的聯(lián)合信道估計方法.該方法將實際物理信道描述為稀疏表示的虛擬信道，再將基站端的接收信號構建信道矩陣、信號矩陣以及編碼矩陣為加載矩陣的PARAFAC模型.在滿足張量唯一性分解的條件下，利用雙線性交替最小二乘(bilinear alternating least squares，BALS)擬合算法進行迭代擬合，來估計多個用戶的信道狀態(tài)信息.筆者所提信道估計方法能夠在極少導頻數(shù)目的情況下聯(lián)合估計出多個用戶的信號矩陣與信道矩陣，從而降低了導頻資源的開銷，實現(xiàn)了高頻譜效率的通信傳輸.

1 系統(tǒng)模型

1.1 多用戶大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型

筆者考慮單小區(qū)多用戶大規(guī)模MIMO系統(tǒng)上行鏈路的信道估計問題，在基站端配置Nb根天線，服務K個單天線用戶.其系統(tǒng)模型如圖1所示.

圖1 大規(guī)模MU-MIMO系統(tǒng)模型Fig.1 Massive MU-MIMO system model

在上行鏈路傳輸中，其信道估計是在基站進行的.將用戶端到基站端之間對應的信道矩陣表示為H∈Nb×K，K個用戶傳送的符號矩陣為Xt∈K×N.若假定在整個觀測時間內(nèi)為靜態(tài)信道，可得在第t時隙基站端的接收信號Yt為：

Yt=HXt+Vt，

(1)

式中：Yt∈Nb×N和Vt∈Nb×N依次表示在第t(n=1,2,…,T)個時隙基站端接收到的信號所構成的矩陣與噪聲矩陣.

1.2 稀疏信道矩陣模型

用戶端到基站端的信道矩陣表示為H∈Nb×K，h(nb,k)表示用戶k和第Nb根接收天線之間的頻域等效信道衰落.假設噪聲服從CN(0，1)獨立同分布的復高斯噪聲.利用稀疏數(shù)學模型將第K個用戶與基站端的信道hk表示為[13]：

hk=Φkhnb∈Nb×1,

(2)

式中：hk(k=1,2,…,K)是信道矩陣H的第k列向量；hnb∈L×1為待估計的稀疏矩陣向量.假設信道稀疏度為Nb，即在L條路徑中最多只有Nb條路徑的路徑增益非零且Nb?L.

式(2)中的Φk∈Nb×L為第K個用戶的過完備字典矩陣(在本文中設置L=10Nb)，表示為：

Φk(nb,l)=exp[2jπ(nb-1)(l-1)/l],

(3)

則用戶端到基站端的信道矩陣可以和寫為：

H=[h1,h1,…h(huán)k].

(4)

1.3 發(fā)送信號矩陣

用戶在第t個時隙內(nèi)發(fā)送的符號序列矩陣為Xt∈K×N，考慮通過Khatri-Rao 空時(KRST)編碼來提高信號的抗干擾能力.首先將第t個時隙的信號矩陣Xt∈K×N劃分成N個符號塊矢量表示的形式，Xt,n∈K×1表示第t(t=1,2,…,T)個時隙的第n(n=1,2,…,N)個符號塊矢量.

Xn=[x1,n,x2,n,…,xt,n，…,xT,n]∈K×T.

(5)

將符號塊矢量左乘選擇星座旋轉(zhuǎn)矩陣Θ∈K×K[14-15]，并將其乘積做對角化處理diag(Θxt,n)∈K×K.

(6)

式中：FK∈K×K是DFT變換矩陣;α=exp(j2π/K).最后diag(Θst,n)右乘可以使編碼矩陣增加寬度的范德蒙矩陣CT∈K×M，從而實現(xiàn)對信號矩陣的預編碼處理，提高信號的抗衰落能力.

綜上，可得基站端的接收信號為：

Yt,n=HnDt[(ΘXn)T]CT+Vt,n,t=1,2，…,T.

(7)

式中：Yt,n∈Nb×K、Vt,n分別指第n個符號矢量、第t個時隙基站端的接收信號矩陣與噪聲矩陣；Hn∈Nb×K表示在第n個符號塊的復合信道矩陣；Dt(·)表示將第t時隙的發(fā)送信號矩陣進行對角化操作.為簡化公式書寫，令Sn=(ΘXn)T∈T×K.

2 PARAFAC建模及其唯一性分解條件

2.1 PARAFAC模型構建

考慮將基站端在第t個時隙接收到的信號矩陣沿著時間軸t依次堆疊，形成一組三階張量接收信號Y∈Nb×T×M：

V(nb,t,m),

(8)

式中：Y∈Nb×T×M表示第t(n=1,2,…,T)時隙、第m(m=1,2,…，M)個符號、第nb(nb=1,2,…，Nb)根天線上的接收信號張量，以H、S和C為3個因子加載矩陣；V(nb,t,m)表示三階噪聲矩陣.

2.2 PARAFAC模型唯一性分解條件

根據(jù)PARAFAC模型的唯一性分解條件可得[16]：

kH+kS+kC≥2(K+1).

(9)

式中：kH、kC和kS分別為矩陣H、S和C的kruskal秩(k-秩).根據(jù)k-秩的定義，若要PARAFAC模型能夠唯一性分解，則必須要有：

min(kH+kS+kC)≥2,

(10)

此時，在存在尺度模糊和排列模糊的條件下可得：

(11)

式中：Π∈K×K為排列模糊矩陣；Δi∈K×K(i=1,2,3)為尺度模糊矩陣，而且Δ1Δ2Δ3=IK.其中，矩陣C滿k-秩，可得矩陣Π為單位矩陣，由矩陣的性質(zhì)可知排列模糊矩陣Π與尺度模糊矩陣Δi的乘積為單位陣，可判斷Δ2同樣為單位矩陣,因此PARAFAC模型的排列模糊已被消除.進而運用自動增益控制(auto gain control，AGC)算法[17]，把發(fā)送信號矩陣的首行元素設置為1來消除尺度模糊.

根據(jù)k-秩的性質(zhì)可知：H、S和C這3個因子矩陣滿k-秩，則式(9)可寫成：

min(Nb,K)+min(T,K)+min(M,K)≥2(K+1).

(12)

由式(12)可知，在PARAFAC模型滿足唯一性分解的前提下，可以通過合理的設置基站端天線數(shù)目、時隙長度以及編碼長度來優(yōu)化系統(tǒng)參數(shù)配置.

3 BALS擬合算法

3.1 BALS擬合算法介紹

PARAFAC模型通常采用三線性交替最小二乘算法(trilinear alternating least square，TALS)來對接收信號進行處理.該算法簡單，應用廣泛，但其存在較多無效迭代，延長了迭代達到收斂所需要的時間.因此，為了提高TALS的收斂速度，將TALS中的某個加載矩陣設置為已知，那么TALS 算法轉(zhuǎn)化為BALS算法[13].同等條件下，BALS算法所需的迭代次數(shù)和單次迭代的計算復雜度都小于TALS算法，且具有更快的收斂速度.

PARAFAC分解模型按照Kiers水平形式展開可得：

(13)

采用BALS算法對PARAFAC分解模型擬合求解.由于編碼矩陣C已知，因此本節(jié)的代價函數(shù)為：

(14)

式中：‖·‖F(xiàn)是指Frobenius范數(shù)，利用交替最小二乘法[12]，可以得到信道矩陣H和信號矩陣S的迭代擬合公式：

(15)

(16)

利用公式(15)和(16)中的矩陣更新來迭代擬合，其過程直至收斂，其性能相對于ALS擬合有明顯的改善.同樣BALS擬合算法在第一次迭代之前，需要將未知矩陣初始化處理為隨機矩陣，從而避免落入到BALS算法中一些特定的慢收斂數(shù)據(jù)集合.

基于BALS擬合的迭代算法步驟如下：

步驟2i←i+1；

3.2 算法復雜度分析

4 仿真結果與分析

4.1 仿真算法性能分析

(17)

從圖2仿真結果可以看出，在滿足唯一性分解條件的前提下，基于張量分解的BALS信道估計算法性能明顯優(yōu)于基于導頻的信道估計方法.

圖2 BALS算法與導頻估計算法的NMSE對比Fig.2 Comparison of BALS algorithm and pilot estimation algorithm NMSE

圖3仿真分析了兩種信道估計方法的系統(tǒng)誤比特率(BER)性能.結果顯示BALS算法的BER性能隨著ES的增加，呈現(xiàn)出減小的趨勢.在ES=20 dB時，BALS算法比基于導頻的信道估計方法高出了近5 dB.在BER取值為10-2時，本文BALS方法與理想的信道(已知信道狀態(tài)信息)僅約有3 dB的差距.

圖3 BSLA算法的BER性能比較Fig.3 BER performance comparison of BSLA algorithm

4.2 算法估計性能分析

本節(jié)仿真分析了基站端的天線數(shù)目、時間長度及編碼長度等各個參數(shù)的選取對信道估計性能的影響，以助于系統(tǒng)進行合理的參數(shù)設置.

圖4給出了基站端天線數(shù)目不同時信道估計的NMSE.從圖4可以看出，隨著基站端天線數(shù)目的增多，算法估計性能有所提升，隨之而來的是復雜度的增加，且性能的提升有限.因此合理的設置基站端的天線數(shù)目對系統(tǒng)整體精度的提高有重大意義.

圖4 基站端天線數(shù)目對估計性能的影響Fig.4 Effect of number of base station antennas on estimation performance

圖5 多種算法性能對比Fig.5 Comparison on performance of multiple algorithms

圖6 不同時隙長度對信道的NMSE的影響Fig.6 Effect of different time frame lengths on channel NMSE

圖5所示結果驗證了所提算法的有效性.由于利用PARAFAC建模，充分利用多維信息，保留了數(shù)據(jù)結構的整體性，其算法性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的基于導頻的信道估計方法；同時較經(jīng)典的OMP算法與CoSaMP算法有較為明顯的提升.充分顯示了本文方法的有效性，提高了估計精度，且僅需少量導頻，提高了系統(tǒng)的傳輸效率.

圖6仿真結果分析了參數(shù)Nb=32、K=M=10時，時隙長度T對算法性能的影響.由圖6可以看出,當T增加時，數(shù)據(jù)觀測時間增長，從而獲得了更多與系統(tǒng)相關的信息，所提算法具有更高的估計精度,但是系統(tǒng)的復雜度也將大幅度增加.

圖7 不同時編碼長度對信道的NMSE的影響Fig.7 Effect of different code lengths on channel NMSE

圖7給出了Nb=32，K=T=20時，編碼矩陣C的編碼長度M對算法性能的影響，仿真結果表明,隨著M的增加，編碼信息的冗余度得到相應的提高，使得信號的抗衰落能力增強，從而使信道估計精度提升.但由于擬合算法的復雜度與M有關，無限制地增大M來換取性能的提升是不明智的，同時需要兼顧PARAFAC模型分解的唯一性條件，在滿足存在唯一解的前提下，對參數(shù)設置進行折中考慮，以便將此方法更好地發(fā)揮作用.

5 結論

筆者針對多用戶大規(guī)模MIMO上行鏈路的應用場景，提出了一種基于PARAFAC模型的稀疏信道估計方案.本方案首先利用稀疏表示的相關數(shù)學理論，將信道建模為虛擬的稀疏信道，同時對信號矩陣進行編碼，以提高其抗衰落能力.核心工作在于將基站端的接收信號進行PARAFAC建模，繼而采用BALS算法來擬合估計信道矩陣.仿真結果表明，筆者所提稀疏信道矩陣估計方法，在只需要少量導頻的情況下，其估計精度優(yōu)于其他的估計方法，有效地提高了系統(tǒng)的傳輸性能.筆者將稀疏理論與張量分解相結合，拓寬了PARAFAC模型在通信信號處理領域的應用范圍，為后續(xù)研究打下基礎.