基于奇異值分解的雷達(dá)性能組合預(yù)測方法

，

(南京電子技術(shù)研究所,南京 210039)

0 引言

雷達(dá)是復(fù)雜的電子信息系統(tǒng)，在國防和現(xiàn)代化建設(shè)中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。近年來，隨著雷達(dá)研制技術(shù)的日益進(jìn)步，其數(shù)字化、集成化和智能化程度越來越高，伴隨而來的是保障作業(yè)難度的不斷加大。雷達(dá)交付使用后，維修保障能力已經(jīng)成為衡量其性能的重要指標(biāo)。為了適應(yīng)未來信息化戰(zhàn)爭對(duì)雷達(dá)保障手段的快速響應(yīng)能力、故障隔離能力和戰(zhàn)時(shí)修復(fù)能力的更高要求，迫切需要引入故障預(yù)測與健康管理技術(shù)[1](Prognostics and Health Management,PHM)。PHM技術(shù)是對(duì)傳統(tǒng)BIT和狀態(tài)監(jiān)控功能的進(jìn)一步拓展，預(yù)測能力的引入是其顯著特征。

對(duì)雷達(dá)進(jìn)行故障預(yù)測，可跟蹤雷達(dá)部件的性能降級(jí)變化，預(yù)防和排除故障，確定其剩余使用壽命并及時(shí)規(guī)劃備件。常用的預(yù)測方法分為三類：基于模型的預(yù)測方法、基于知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的預(yù)測方法以及基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的預(yù)測方法?；谀Ｐ偷姆椒ㄐ枰芯繉?duì)象的物理模型和失效機(jī)理，雖然預(yù)測準(zhǔn)確度高，但不適用于復(fù)雜系統(tǒng)；基于知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的預(yù)測方法包括專家系統(tǒng)法、可靠性數(shù)據(jù)分析法等等。專家系統(tǒng)中知識(shí)推理一般存在模糊性和不確定性，因此預(yù)測準(zhǔn)確度較低?？煽啃詳?shù)據(jù)分析法也存在可靠性指標(biāo)難以獲取、統(tǒng)計(jì)分析得到的結(jié)果具體到個(gè)體時(shí)意義不大等不足。相比之下，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的故障預(yù)測方法，在高性能計(jì)算存儲(chǔ)、數(shù)據(jù)分析挖掘技術(shù)飛速發(fā)展的今天，有現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用價(jià)值。

時(shí)間序列[2]是按照時(shí)間順序采集得到的一系列監(jiān)測樣本數(shù)據(jù)集合。通過監(jiān)測雷達(dá)的如接收信噪比、發(fā)射功率等關(guān)鍵部件性能參數(shù)，進(jìn)行建模和預(yù)測分析，能夠掌握雷達(dá)健康狀態(tài)的變化趨勢，以便在性能下降時(shí)及時(shí)采取措施，排除故障隱患，避免對(duì)所執(zhí)行任務(wù)造成消極影響。

雷達(dá)結(jié)構(gòu)組成復(fù)雜，失效機(jī)理多樣，各種線性與非線性因素相互交織。受元器件老化、環(huán)境應(yīng)力和工作應(yīng)力累積損傷等因素影響，性能監(jiān)測序列除了包含測量噪聲和異常值外，也呈現(xiàn)出某種趨勢性。雷達(dá)內(nèi)部不確定的相互作用又使得序列具有隨機(jī)性。對(duì)雷達(dá)性能監(jiān)測序列進(jìn)行建模預(yù)測，常用的模型包括如AR、ARMA等線性模型[3]和如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4]、函數(shù)系數(shù)自回歸模型等非線性模型?；诰€性模型的建模算法簡單高效、運(yùn)算速度快，但準(zhǔn)確度不高；基于非線性模型的算法建模效果好，但速度較慢，且易發(fā)生“過擬合”現(xiàn)象，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行機(jī)理復(fù)雜時(shí)難以徹底了解數(shù)據(jù)的規(guī)律，模型選擇困難。單一模型通常難以滿足預(yù)測的準(zhǔn)確度要求，利用組合預(yù)測克服單一預(yù)測模型缺陷[5]，方法主要包括：一是加權(quán)組合法，對(duì)多個(gè)模型的預(yù)測結(jié)果賦權(quán)，加權(quán)組合得到最終預(yù)測值；二是序列分解法，將序列分解為多個(gè)成分的疊加，對(duì)各成分分別執(zhí)行建模預(yù)測[6]；其他方法諸如對(duì)建模預(yù)測的殘差進(jìn)行修正等[7]。

序列分解常采用的小波分解方法單純從頻域拆分序列，并未考慮隱藏在性能監(jiān)測序列中的物理規(guī)律。通常認(rèn)為雷達(dá)性能參數(shù)的趨勢成分和隨機(jī)成分是由互不相關(guān)的失效因素或作用機(jī)制產(chǎn)生的，相應(yīng)地，性能監(jiān)測序列中的趨勢子序列和隨機(jī)子序列也彼此不相關(guān)，若采用單一模型對(duì)序列建模預(yù)測，難以結(jié)合序列真實(shí)規(guī)律，導(dǎo)致預(yù)測準(zhǔn)確度不高。奇異值分解濾波(Singular Value Decomposition Filtering Algorithm, SVDFA)算法[8]可以將原始序列拆分成若干互不相關(guān)的成分，因此，研究采用SVDF算法來獲得雷達(dá)性能監(jiān)測序列的趨勢和隨機(jī)兩種成分，更符合真實(shí)物理規(guī)律。然后，分別對(duì)兩種序列成分采用相適應(yīng)的模型進(jìn)行建模預(yù)測，以獲得最佳的預(yù)測效果。為了便于討論，研究的監(jiān)測序列為經(jīng)過異常值剔除和濾波消噪后的序列。

1 AR和RBFNN預(yù)測模型

1.1 自回歸模型

自回歸模型(Autoregressive Model, AR)是一種應(yīng)用廣泛的時(shí)間序列分析模型。模型建立了零均值平穩(wěn)序列{Yt}當(dāng)前時(shí)刻t的監(jiān)測值和之前p個(gè)時(shí)刻點(diǎn)的監(jiān)測值之間的關(guān)系，通常記為AR(p)，p為模型的階數(shù)。模型形式為：

Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+εt,t∈N

(1)

φ1,…,φp為待定參數(shù)，{εt}為零均值獨(dú)立同分布隨機(jī)序列。

AR模型的單步預(yù)測值可表示為：

(2)

構(gòu)建AR模型的算法流程如圖1所示。

圖1 AR模型建模預(yù)測流程

常用的定階準(zhǔn)則有傳統(tǒng)的Box-Jenkins方法[9]、白噪聲檢驗(yàn)準(zhǔn)則、誤差平方和最小準(zhǔn)則、Akaike信息準(zhǔn)則等[10]。建模過程如下。

Step1：對(duì)序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，若不平穩(wěn)，則進(jìn)行差分處理直至序列平穩(wěn)，記下差分次數(shù)；

Step2：將平穩(wěn)序列零均值化，記下均值；

Step3：采用BIC定階準(zhǔn)則確定模型階數(shù)p；

Step5：基于構(gòu)建的AR模型執(zhí)行單步預(yù)測，并且對(duì)預(yù)測結(jié)果均值、差分還原。

序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)可采用逆序檢驗(yàn)、游程檢驗(yàn)等方法[11]。傳統(tǒng)的Box-Jenkins方法利用數(shù)據(jù)的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)確定模型階數(shù)，受主觀因素影響大且不適用于工程。這里采用BIC準(zhǔn)則為AR模型定階。BIC[10]準(zhǔn)則值如下：

(3)

1.2 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Radial Basis Function Neural Network, RBFNN)是一種多輸入、單輸出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，結(jié)構(gòu)簡單，通常由輸入層、隱層、輸出層三層結(jié)構(gòu)組成。學(xué)習(xí)速度較快，逼近能力強(qiáng)。輸入層與隱層之間全連接的權(quán)值為1，隱層通過一系列中心對(duì)稱的非線性函數(shù)對(duì)輸入層的輸入矢量進(jìn)行非線性映射，在輸出層進(jìn)行加權(quán)輸出。對(duì)監(jiān)測值序列{Y1,Y2,…,Yn}構(gòu)建RBFNN預(yù)測模型，t時(shí)刻的輸入矢量為m維矢量{Yt,Yt-1,…,Yt-m+1}。結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖

輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)目確定的常見方法主要有：偽鄰近點(diǎn)法[12]、飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法[13]、自相關(guān)法[14]和奇異值分解法等。傳統(tǒng)的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)目確定方法主要包括“均方誤差門限法”、“留一法”[15]等。本文利用偏自相關(guān)法確定輸入矢量維數(shù)。采用高斯函數(shù)作為隱層神經(jīng)元激活函數(shù)：

(4)

其中:cj為激活函數(shù)的中心點(diǎn)，bj為寬度參數(shù)，M為隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)，則輸出層的輸出：

(5)

2 奇異值分解濾波算法

SVDF算法[8]簡單易用，且占用計(jì)算機(jī)資源少。將SVDF算法應(yīng)用于監(jiān)測序列的分解，后續(xù)對(duì)不同成分分別建模預(yù)測。對(duì)于零均值化的監(jiān)測序列{Y1,Y2,…,Yn}， SVDFA算法可以將序列分解成若干個(gè)子序列且互不相關(guān)，算法步驟如下：

Step1：根據(jù)監(jiān)測值序列構(gòu)造N×m維矩陣：

(6)

其中:m=[(n+1)/2]，[·]表示取整數(shù)，N=n-m+1。

Step2：將矩陣ΠN×m進(jìn)行奇異值分解：

Π=UΓVT

(7)

U為N階正交矩陣，V為m階正交矩陣，

(8)

其中:Δq×q是矩陣Π的奇異值δ1,δ2,…,δq組成的對(duì)角矩陣，且δ1≥δ2≥…≥δq>0。

Step3：門限η設(shè)定(0<η<1)，得到正整數(shù)r：

(9)

保留前r個(gè)奇異值，將后q-r個(gè)奇異值置0，得到:

(10)

其中:Δr×r是矩陣Π的前r個(gè)奇異值δ1,δ2,…,δr組成的對(duì)角矩陣。

Step4：重新構(gòu)建矩陣：

(11)

將矩陣還原為輸出值序列。

利用奇異值分解濾波算法將序列分為m個(gè)子序列，與每個(gè)奇異值對(duì)應(yīng)的互不相關(guān)的序列如圖3所示。奇異值越大，所對(duì)應(yīng)的序列成分越大。將較大奇異值對(duì)應(yīng)的部分序列看作雷達(dá)監(jiān)測序列中占主要成分的趨勢部分，剩余部分看作是隨機(jī)成分。SVDFA劃分的m個(gè)子序列組成了這兩種成分，不同模型將分別用來對(duì)兩成分建模預(yù)測。

圖3 互不相關(guān)的隨機(jī)序列

3 基于SVDF的組合預(yù)測方法

雷達(dá)中不同的影響因素使得性能監(jiān)測序列包含不同成分，應(yīng)當(dāng)根據(jù)各成分特點(diǎn)選擇相適應(yīng)的模型進(jìn)行建模。性能監(jiān)測序列中的趨勢成分體現(xiàn)了雷達(dá)工作性能的中長期變化規(guī)律，經(jīng)平穩(wěn)化處理后采用RBFNN模型進(jìn)行建模，對(duì)隨機(jī)成分采用AR模型建模，發(fā)揮AR和RBFNN模型各自優(yōu)勢，提高預(yù)測準(zhǔn)確度。聯(lián)合兩類模型的組合預(yù)測原理如圖4所示。

圖4 聯(lián)合RBFNN與AR的組合預(yù)測原理

將監(jiān)測序列分成趨勢成分和隨機(jī)成分時(shí)，奇異值分解算法濾波門限的選取直接影響預(yù)測的效果。采用均方誤差來衡量預(yù)測性能，并將其作為代價(jià)函數(shù)MSE(η)，認(rèn)為使得MSE最小的閾值η是劃分趨勢子序列和隨機(jī)子序列的最佳門限，符合產(chǎn)生序列的物理規(guī)律。

(12)

(13)

選取門限時(shí)，首先選定合適的上下限和逼近步長。當(dāng)步長大時(shí)，總計(jì)算時(shí)間短，但易錯(cuò)過最佳門限；步長小時(shí)，雖然接近最佳門限的概率更大，但計(jì)算量也更大。求解最佳分解門限的算法步驟如下：

Step1：設(shè)定門限η的上限ηmax和下限ηmin以及步長Δη；

Step2：初始分解門限η=ηmin+Δη，循環(huán)次數(shù)j=1；

Step3：按照當(dāng)前門限用SVDF方法分解序列，分別對(duì)兩條子序列建模，對(duì)未來值進(jìn)行單步預(yù)測，計(jì)算組合預(yù)測誤差MSE；

Step4：η=η+Δη，j=j+1，重復(fù)Step3直至η=ηmax；

Step5：輸出最小MSE對(duì)應(yīng)的j，最終選定的閾值為η=ηmin+j·Δη。

圖5 基于SVDF的組合預(yù)測算法流程

主要步驟如下。

Step1：輸入歷史值監(jiān)測序列；

Step2：確定拆分門限η；

Step3：設(shè)定當(dāng)前時(shí)刻為初始時(shí)刻；

Step4：利用η值將序列{Yt-L+1,Yt-L+2,…,Yt}調(diào)用SVDFA拆分為趨勢子序列和隨機(jī)子序列；

Step5：若當(dāng)前時(shí)刻為初始時(shí)刻，則對(duì)趨勢子序列進(jìn)行平穩(wěn)化和RBFNN建模，對(duì)隨機(jī)子序列進(jìn)行AR建模，預(yù)測兩成分序列下一時(shí)刻值；若當(dāng)前時(shí)刻不是初始時(shí)刻，采用之前建得的RBFNN和AR模型繼續(xù)預(yù)測；

Step6：合并成分子序列的預(yù)測值得到下一時(shí)刻預(yù)測結(jié)果；

Step7：判斷預(yù)測結(jié)果是否滿足準(zhǔn)確度要求，若滿足且預(yù)測未結(jié)束，返回Step4；若不滿足，則返回Step3。流程結(jié)束時(shí)，得到預(yù)測值序列。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真采用的監(jiān)測序列為雷達(dá)信噪比的監(jiān)測序列，如圖6所示，已經(jīng)過異常值剔除和濾波消噪處理。信噪比越小，意味著有用信號(hào)中混雜的噪聲越多，表示雷達(dá)的工作性能下降，是表征雷達(dá)健康狀態(tài)的重要參數(shù)。

圖6 信噪比監(jiān)測序列

設(shè)置建模序列長度為500，預(yù)測評(píng)價(jià)序列長度為100。設(shè)置閾值下限為0.60，上限為0.96，步長0.02。序列{Yt}={Y1,Y2,…,Y500}的成分可表示為：

{Yt}={Tt}+{Rt}

(14)

其中:{Tt}={T1,T2,…,T500}為趨勢部分，{Rt}={R1,R2,…,R500}為隨機(jī)部分。如圖7所示。

圖7 SVD方法分解子序列

表1 所建AR(10)模型參數(shù)

利用SVDF組合方法、單一AR模型方法、單一RBFNN模型方法、均方誤差倒數(shù)加權(quán)組合方法的預(yù)測結(jié)果對(duì)比如圖8、表2所示。

預(yù)測方法MSESVDF組合預(yù)測2.6542e-04單一AR預(yù)測0.0066單一RBFNN預(yù)測0.1737均方誤差倒數(shù)加權(quán)組合預(yù)測0.0072

仿真結(jié)果表明，基于奇異值分解的組合預(yù)測算法的預(yù)測MSE僅是單一AR模型的4.02%，是單一RBFNN模型的0.15%；即使與均方誤差倒數(shù)加權(quán)組合預(yù)測算法比較，也僅為后者的3.68%。由于單一的AR模型難以準(zhǔn)確建模序列中的非線性成分，預(yù)測效果并不理想；而單一的RBFNN模型較適用于平滑序列的建模預(yù)測，且對(duì)數(shù)據(jù)質(zhì)量有著苛刻要求，未能發(fā)揮其優(yōu)勢。均方誤差倒數(shù)加權(quán)的預(yù)測方法要求各預(yù)測結(jié)果獨(dú)立無偏，在實(shí)際應(yīng)用中難以滿足適用條件。

5 結(jié)束語

針對(duì)雷達(dá)性能參數(shù)進(jìn)行建模預(yù)測，所選用的模型應(yīng)能真實(shí)反映隱藏在監(jiān)測序列中的物理規(guī)律。雷達(dá)結(jié)構(gòu)組成復(fù)雜，彼此不相關(guān)的線性與非線性失效因素使得單一模型很難發(fā)揮效力。研究基于奇異值分解濾波算法提出了一種聯(lián)合AR、RBFNN模型的組合預(yù)測算法，在最小化代價(jià)函數(shù)的條件下尋優(yōu)確定閾值來拆分序列，使所得的趨勢成分和隨機(jī)成分最大程度上與真實(shí)失效規(guī)律匹配，同時(shí)發(fā)揮兩種模型的各自優(yōu)勢，從而提高預(yù)測準(zhǔn)確度。仿真結(jié)果證實(shí)了算法的有效性，將預(yù)測性能提升一個(gè)數(shù)量級(jí)。

如何更加準(zhǔn)確地選取分解閾值，如何針對(duì)更多的不相關(guān)失效因素細(xì)分序列，以及發(fā)揮模型在預(yù)測中的最佳性能，將是下一步研究的方向。