基于彈性波理論的深水吊纜非線性運(yùn)動(dòng)研究

趙 藤，張 絨，王 淼

(重慶交通大學(xué), 重慶 400074)

0 引 言

作為海洋油氣資源開發(fā)重要前提和必要保證之一的水下安裝吊放模塊，隨著水下開發(fā)水深的增加和吊裝作業(yè)要求的不斷提高，其作業(yè)范圍由數(shù)十米的淺水（500 m以下）區(qū)域發(fā)展至數(shù)百米的深水（500～1 500 m）海域，甚至達(dá)到近2 000 m的超深水海域，同時(shí)其吊載質(zhì)量也隨水下安裝模塊的高度集成化與一體化由數(shù)噸增至數(shù)百噸[1]。深水、重載時(shí)吊纜在外部激勵(lì)作用下的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，特別是垂向運(yùn)動(dòng)，與淺水、輕載時(shí)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)呈現(xiàn)很大的不同，其原因?yàn)闇\水、輕載時(shí)的吊纜可視為剛體，吊纜的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)與力學(xué)特性可看作是線性的；隨著作業(yè)水深的增加和吊載質(zhì)量的不斷增大，吊纜自身彈性變形引起的伸縮將不可忽視，此時(shí)的吊纜應(yīng)視為彈性體，其運(yùn)動(dòng)響應(yīng)與力學(xué)特性亦已超出線性范圍而進(jìn)入非線性區(qū)域[2-3]。

繆國平等[4]指出水下纜索可看作撓性部件；Gault[5]采用懸鏈線法計(jì)算得到系泊纜索的幾何構(gòu)型和纜張力；Webster[6]采用非線性有限元方法，對系泊纜索在上端點(diǎn)簡諧激勵(lì)下的動(dòng)力特性和系泊阻尼做了廣泛的參數(shù)敏感性研究；Yang & Teng[7]采用基于索單元的幾何非線性有限元方法對一個(gè)具有非線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的合成纜索進(jìn)行了動(dòng)力分析。一般對輕載、淺水時(shí)吊纜進(jìn)行研究時(shí)多將其視為剛體，采用牛頓定律分析其運(yùn)動(dòng)而忽略了吊纜自身的變形。對于水下吊裝纜索而言，隨著長度的增加，其自身的彈性性能表現(xiàn)的異常突出。在突變載荷的作用下，吊索變形并非整體保持均勻，其運(yùn)動(dòng)也不會(huì)整體一致，變形和運(yùn)動(dòng)是一個(gè)不斷發(fā)展和傳播的過程，此過程可看作類似波動(dòng)的微觀過程，顯然此類問題已超出了經(jīng)典力學(xué)的求解范疇，而采用彈性動(dòng)力學(xué)中的彈性波理論可有效解決此類問題[8 - 9]。

1 深水吊纜動(dòng)力學(xué)建模

以彈性波理論為基礎(chǔ)，考慮吊纜的自身特點(diǎn)及彈性力學(xué)性能，忽略其彎曲、剪切及扭轉(zhuǎn)剛度，用 S0表示吊纜未被拉伸時(shí)的幾何形狀，表示靜態(tài)平衡位置，Sf表示吊纜動(dòng)態(tài)幾何構(gòu)型，吊纜的幾何構(gòu)型如圖1所示[10]。

圖1 吊纜動(dòng)態(tài)幾何構(gòu)型示意圖Fig. 1 The dynamic geometry of hoisting cable

建立弧坐標(biāo) s，吊纜一端連接母船，另一端與吊載連接，圖中給定的 Ri(s)和 Rf(s,t)分別表示吊纜上某一點(diǎn)在靜態(tài)平衡位置和動(dòng)態(tài)曲線上的位置向量，則吊纜相對于平衡位置的三維位移可表示為：

根據(jù)Hamilton原理，認(rèn)為吊纜的總能量由其自身的應(yīng)變能、動(dòng)能、重力勢能及外力所做的功幾部分組成，則描述吊纜瞬態(tài)應(yīng)變能的表達(dá)式為

其中： ef為吊纜瞬態(tài)的應(yīng)變能； sf為吊纜伸長后瞬態(tài)構(gòu)型的弧長坐標(biāo)； s°為吊纜未伸長時(shí)的弧長坐標(biāo)。

則吊纜在瞬態(tài)構(gòu)型 χf時(shí)的應(yīng)變能為

其中：Ψsi為平衡位置 χi時(shí)吊纜的應(yīng)變能； Li為平衡位置時(shí)吊纜的長度； Ai為平衡位置 χi吊纜的橫截面積；E 為吊纜的彈性模量； Pi(si,t)為平衡時(shí)吊纜的靜態(tài)張力； ε為中心線拉伸后的拉格朗日應(yīng)變的動(dòng)態(tài)分量。

當(dāng)不考慮吊纜周圍流體時(shí)，其重力勢能可表示為：

其中：Ψgi為在平衡位置 χi時(shí)吊纜的重力勢能； ρ為吊纜的密度； lτ和 ln分別為切向與法向的方向余弦。

由浮力產(chǎn)生的勢能可表示如下：

吊纜在瞬態(tài)構(gòu)型 χf的動(dòng)能可表示為

其中 Vf為動(dòng)態(tài)吊纜構(gòu)型上質(zhì)點(diǎn)的絕對速度，其表達(dá)式為

作用于吊纜上的外力 F所做的功可表示為

其中外力 F可沿位移方向分為3個(gè)方向的分量 F1，F(xiàn)2和 F3。

根據(jù)Hamilton原理，有

將表達(dá)式（4）～式（9）代入式（10），可得3個(gè)方向吊纜三維非線性運(yùn)動(dòng)方程。

切向運(yùn)動(dòng)方程：

法向運(yùn)動(dòng)方程：

副法向運(yùn)動(dòng)方程：

假設(shè)吊纜的本構(gòu)關(guān)系為線性的，并僅考慮面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，忽略與副法向有關(guān)的項(xiàng)，結(jié)合彈性波的基本方程，可得吊纜非線性運(yùn)動(dòng)方程為：

2 深水吊纜非線性運(yùn)動(dòng)響應(yīng)數(shù)值求解

2.1 數(shù)值求解的有限差分法

考慮到求解速度與求解規(guī)模，對于大位移的吊纜內(nèi)在固有非線性問題，有限差分法是較為適宜的一種方法。但由于通用的差分格式無法適應(yīng)非線性較高的方程，因此根據(jù)泰勒展開推導(dǎo)得到更為適用的差分格式，如式（16）和式（17）所示。

與時(shí)間相關(guān)的位移和速度的差分格式為[11]：

其中， U ， v ， a 分別表示位移、速度和加速度； α1，α2， β1， β2分別為積分參數(shù)，分別取0.5，1.0，0.5，1.0。

式（18）中不同節(jié)點(diǎn)處法向和切向的加速度與吊纜非線性運(yùn)動(dòng)方程（14）和式（15）中的外部力之間的關(guān)系，可通過定義離散的動(dòng)力學(xué)方程得到：

式中： M為包括附加質(zhì)量在內(nèi)的單位長度纜索質(zhì)量；A為 加速度； V 為速度；U 為位移； Fexcit為外部激勵(lì)。

2.2 深水吊纜非線性運(yùn)動(dòng)響應(yīng)分析

采用空間差分格式（16）、式（17）和時(shí)間差分格式（18）求解深水吊纜非線性運(yùn)動(dòng)微分方程（14）和式（15），分析不同吊纜長度及吊載時(shí)吊纜的運(yùn)動(dòng)特性。

2.2.1 深水吊纜非線性運(yùn)動(dòng)響應(yīng)計(jì)算及驗(yàn)證

選取的計(jì)算參數(shù)參照文獻(xiàn)[12]，如表1所示。

采用表1中的計(jì)算參數(shù)，通過編程求解式（14）和式（15），分別計(jì)算4 500 m和3 000 m時(shí)不同上端激勵(lì)周期時(shí)吊纜的最大張力值，與試驗(yàn)值進(jìn)行對比，一并列于表2和表3中， 并根據(jù)表中數(shù)據(jù)繪制圖2和圖3。

從計(jì)算結(jié)果可以看出，無論是4 500 m水深還是3 000 m水深，本文計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值的變化趨勢相同，特別是在周期低于6 s時(shí)，誤差較小，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值吻合較好。當(dāng)上端激勵(lì)周期超過6 s時(shí)，2種水深情況下計(jì)算值都比試驗(yàn)值偏小，誤差甚至達(dá)到30%以上。對此問題的解釋，首先看到無論是計(jì)算結(jié)果還是試驗(yàn)值，隨著上端激勵(lì)周期的不斷增加，纜張力呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢，其原因?yàn)楫?dāng)上端激勵(lì)周期較小時(shí)，此時(shí)的激勵(lì)頻率較高，上端激勵(lì)可以看作是“突變載荷”，“突變載荷”的作用效果使得吊纜中存在瞬間變化的沖擊張力，隨著上端激勵(lì)周期的逐漸增加，此時(shí)的激勵(lì)可以看作是緩慢變化的，上端激勵(lì)的“突變效應(yīng)”逐漸減小，吊纜內(nèi)的沖擊張力逐漸減小，在表面看來吊纜的張力也會(huì)響應(yīng)減小。文獻(xiàn)中采取等效截?cái)喾椒ㄟM(jìn)行試驗(yàn)，吊纜的長度為12 m，此時(shí)吊纜的張力與變形的關(guān)系仍符合胡克定律，呈線性關(guān)系。而本文計(jì)算考慮了吊纜的非線性效應(yīng)，隨著上端激勵(lì)周期的逐漸增加，吊纜的非線性程度也逐漸變大，因此吊纜張力計(jì)算結(jié)果隨著上端激勵(lì)增加而減小的程度勢必會(huì)增大，這說明是否考慮由吊纜彈性伸縮引起的非線性對于纜張力影響的差異還是較大的。由此可以看出，采用本文中的計(jì)算方法是準(zhǔn)確可靠的，可以作為后續(xù)理論分析與仿真計(jì)算的有效工具。

表1 計(jì)算參數(shù)Tab. 1 Calculation parameters

表2 3 000 m時(shí)不同激勵(lì)周期時(shí)吊纜張力值比較Tab. 2 The comparison of cable tension with different inspiring period when the length is 3 000 m

表3 4 500 m時(shí)不同激勵(lì)周期下吊纜張力值比較Tab. 3 The comparison of cable tension with different inspiring period when the length is 4 500 m

圖2 3 000 m時(shí)不同激勵(lì)周期時(shí)吊纜張力值比較Fig. 2 The comparison of cable tension with different inspiring period when the length is 3 000 m

圖3 4 500 m時(shí)不同激勵(lì)周期時(shí)吊纜張力值比較Fig. 3 The comparison of cable tension with different inspiring period when the length is 4 500 m

2.2.2 深水吊纜非線性運(yùn)動(dòng)響應(yīng)分析

不失一般性，為準(zhǔn)確掌握吊載在不同水深時(shí)的垂向運(yùn)動(dòng)特性，分析由吊纜長度的不同引起的吊纜伸縮性的變化對吊纜非線性運(yùn)動(dòng)的影響，考慮深水吊裝的實(shí)際作業(yè)海況及工作母船運(yùn)動(dòng)響應(yīng)特性，選取幅值為1 m，周期為4 s的諧波運(yùn)動(dòng)作為初始激勵(lì)，吊纜參數(shù)與表1相同，吊載質(zhì)量為10 t，計(jì)算時(shí)間為120 s，對不同水深時(shí)的吊載垂向運(yùn)動(dòng)響應(yīng)特性進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖4所示。由圖4可以看出，初始激勵(lì)為線性運(yùn)動(dòng)，吊載的垂向運(yùn)動(dòng)響應(yīng)時(shí)歷呈現(xiàn)隨機(jī)狀態(tài)，為明顯的非線性運(yùn)動(dòng)。而且，當(dāng)?shù)趵|長度為1 000 m時(shí)，吊載的垂向位移響應(yīng)呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，其響應(yīng)周期與初始激勵(lì)極為接近，幅值明顯超過初始激勵(lì)，甚至可以達(dá)到初始激勵(lì)的數(shù)倍，這說明當(dāng)前吊纜在選取的計(jì)算參數(shù)和初始激勵(lì)下出現(xiàn)了共振現(xiàn)象，因此在實(shí)際作業(yè)過程中應(yīng)盡量避免在此工況下進(jìn)行施工。

圖4 不同纜長時(shí)初始激勵(lì)位移與吊載垂向位移時(shí)歷Fig. 4 The initial motivation displacement and load vertical displacement of cable under the different cable length

圖5 不同纜長時(shí)吊載響應(yīng)頻譜分析Fig. 5 The response spectrum analysis of hoisting load under the different cable length

為了更為清晰的得到吊纜垂向運(yùn)動(dòng)響應(yīng)周期與初始激勵(lì)的關(guān)系，將圖4中的運(yùn)動(dòng)時(shí)歷進(jìn)行頻譜分析，結(jié)果如圖5所示。由圖5可以看出，吊纜上端初始激勵(lì)的主頻率為一特定的值，為線性運(yùn)動(dòng)；而吊載響應(yīng)的主頻率有2個(gè)（L=1 000 m除外），大體分布于吊纜上端激勵(lì)頻率的兩側(cè)，由此亦可以說明吊載運(yùn)動(dòng)響應(yīng)是非線性的。其中一個(gè)主頻率為0.3，另一頻率的值隨著吊纜長度的增加逐漸減小，且頻率0.3所對應(yīng)的譜密度峰值逐漸減小，另一頻率的峰值逐漸增加，這說明吊載垂向運(yùn)動(dòng)響應(yīng)周期隨吊纜長度的變化而發(fā)生改變，也就是說吊纜長度是影響吊載垂向運(yùn)動(dòng)響應(yīng)周期的重要因素之一。

將纜長3 000 m和4 500 m時(shí)吊載處垂向位移幅值的計(jì)算結(jié)果繪制成圖6。通過分析計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，激勵(lì)周期在4 s以內(nèi)時(shí)，纜長3 000 m和4 500 m吊載處的垂向位移幅值基本保持一致，隨著激勵(lì)周期增加，3 000 m時(shí)吊載處的垂向位移幅值要大于4 500 m，且相差程度越來越大，這與纜長的變化引起吊纜自身彈性伸縮量的不同有直接關(guān)系。計(jì)算結(jié)果表明，吊纜上端激勵(lì)周期影響吊纜垂向運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的重要因素之一，故在考察上端激勵(lì)對吊纜非線性運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的影響時(shí)，除考慮激勵(lì)幅值等因素外，還需關(guān)注上端激勵(lì)周期。

圖6 不同吊纜長度的吊載垂向位移隨吊纜上端激勵(lì)變化情況Fig. 6 The variation of load vertical displacement with different inspiring period and cable length

3 結(jié) 語

以彈性波理論為基礎(chǔ)，從能量的角度出發(fā)，根據(jù)Hamilton原理建立了吊纜的動(dòng)態(tài)模型，推導(dǎo)出吊纜在法向、切向和副法向3個(gè)方向的三維非線性運(yùn)動(dòng)方程，考慮平面運(yùn)動(dòng)，通過泰勒展開得到各自的非線性表達(dá)，根據(jù)方程的特點(diǎn)，采用有限差分方法進(jìn)行求解，參照文獻(xiàn)中給定的參數(shù)對深水吊纜的非線性運(yùn)動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，通過與文獻(xiàn)中不同上端激勵(lì)周期時(shí)纜張力試驗(yàn)值的比較，驗(yàn)證了求解方法的準(zhǔn)確性和可靠性，同時(shí)分析了出現(xiàn)誤差的原因；以諧波運(yùn)動(dòng)作為初始激勵(lì)，計(jì)算不同水深時(shí)的吊載垂向運(yùn)動(dòng)響應(yīng)并進(jìn)行頻譜分析，結(jié)果表明初始激勵(lì)為只有一個(gè)主頻率的線性運(yùn)動(dòng)，但吊載的垂向運(yùn)動(dòng)響應(yīng)時(shí)歷呈現(xiàn)隨機(jī)狀態(tài)，出現(xiàn)2個(gè)主頻率，為明顯的非線性運(yùn)動(dòng)；同時(shí)給出了纜長4 500 m和3 000 m吊載處的垂向位移的計(jì)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)隨著激勵(lì)周期增加，3 000 m時(shí)吊載處的垂向位移幅值要大于4 500 m，且相差程度越來越大。