水下滑翔機穩(wěn)態(tài)螺旋運動的時空尺度分析

于鵬垚，沈 聰，甄春博，王天霖

(大連海事大學 船舶與海洋工程學院，遼寧 大連 116026)

0 引 言

水下滑翔機是一種新型的水下航行器，其通過改變自身凈浮力和質心位置來實現水下滑翔運動。與傳統(tǒng)AUV相比，水下滑翔機具有成本低、能耗低、續(xù)航力強等優(yōu)點，更適合大范圍、長航程的工作任務，不足之處在于水下滑翔機的航速低、機動性較差[1,2]。水下滑翔機可通過調節(jié)尾舵舵角或改變橫滾姿態(tài)實現轉向，相比于傳統(tǒng)的AUV，其在轉向調節(jié)過程通常需要較大的空間和較長的時間[3,4]。尤其對于利用橫滾姿態(tài)進行轉向調節(jié)的水下滑翔機，所需的時間和空間尺度更大。將滑翔機的轉向速度作為攝動參數，Mahmoudian等[5]推導了滑翔機穩(wěn)態(tài)轉向時轉向速度的近似解析表達式，Yang等[6]推廣此方法分析了裝有尾舵的滑翔機轉向性能。顧建農等[7]基于柯西霍夫方程實現了水下滑翔機的動力學建模和轉向運動仿真。朱時雨等[8]分析了水柱測量中的水下滑翔機轉向性能。為降低內部機構調節(jié)的能耗，在大多數工作時間內，水下滑翔機處于穩(wěn)態(tài)運動。水下滑翔機的穩(wěn)態(tài)螺旋運動，作為一種典型運動形式，常用于水下滑翔機航向的調節(jié)。Zhang等[9]建立了一種穩(wěn)態(tài)螺旋運動的快速求解方法，并與Seawing滑翔機的試驗結果進行對比驗證。趙寶強等[10]采用李雅普諾夫方法進行了螺旋運動穩(wěn)定性分析。Liu[11]采用理論與試驗方法分析了水下滑翔機的反螺旋運動。

當水下滑翔機在近海底或近壁面等限制水域運動時，水域的空間范圍會限制其轉向運動。水下滑翔機的轉彎運動通常可視為穩(wěn)態(tài)螺旋運動的一部分，因此，穩(wěn)態(tài)螺旋運動在時間、空間上的運動尺度特征可以為水下滑翔機在限制水域內的轉向運動提供指導。目前，在現有研究中尚未看到螺旋運動時空尺度特征的系統(tǒng)分析，文獻[9]也僅是給出了下潛過程中回轉半徑與滑塊轉角的變化規(guī)律，并未分析其他控制參數和尺度特征。本文從水下滑翔機的運動學和動力學微分方程入手，建立了穩(wěn)態(tài)螺旋運動的時間、空間尺度特征變化規(guī)律的研究思路，并以沈陽自動化研究所研制的Seawing水下滑翔機[9,12]（該水下滑翔機通過內部滑塊旋轉來實現轉向）為例開展研究。

1 運動學建模

引入慣性坐標系 E-ξηζ和體坐標系o-xyz來描述水下滑翔機的空間運動。如圖1所示，坐標軸 E-ζ與重力方向一致，坐標系o -xyz的 原點位于滑翔機的浮心，o-x軸沿著滑翔機的機身軸線指向首部方向， o-y軸指向右側機翼的方向。定義水下滑翔機在慣性坐標系下的位置和姿態(tài)分別為和定義水下滑翔機在體坐標系下的線速度和角速度分別為則水下滑翔機的運動學方程可表達為[13]：

圖1 坐標系與質量分布Fig. 1 Coordinate systems and mass distribution

其中，REB和RB?可用水下滑翔機的姿態(tài)角來表達。采用簡 化形式 c·=cos(·)， s·=sin(·)， t·=tan(·)表達三角函數，則有

2 動力學建模

水下滑翔機可以視為不同種結構組成的多體系統(tǒng)，包括機身及與機身固結在一起的所有結構mrb，可在機身內部平移和旋轉的滑塊結構mp，位置不變質量可變的浮力調節(jié)機構mb。mrb，mp，mb的質心在體坐標系中的位置分別為向量rrb， rp，rb。rrx為mp的質心沿著o-x 軸的位置，γ為mp繞 o-x軸的轉角。其中，γ=0對應mp的質心處在體坐標的o-xz平面內，此時滑翔機將在垂直平面內做直線運動；γ≠0將導致滑翔機所受的升力偏離垂直平面，升力在水平面中的分量將作為向心力使其產生螺旋轉向運動，如圖2所示。

圖2 螺旋轉向運動的力學機理Fig. 2 Mechanisms of turning spiraling motion

水下滑翔機在水下運動時，會帶動其周圍的附連水共同運動，水下滑翔機及其附連水系統(tǒng)的總體動能可以表達為：

其中：M為系統(tǒng)的廣義質量矩陣；MA， JA和CA分別為體坐標系下附連水的質量矩陣，轉動慣量矩陣和耦合項矩陣；為體坐標系固定質量的轉動慣量矩陣；為單位對角矩陣。

進一步表達有

其中：G 和B分別為水下滑翔機的重力和浮力，rCG為體坐標系下的重心位置向量，FB和MB分別為體坐標系下水下滑翔機的粘性水動力和水動力矩。對于FB和MB，可結合滑翔機運動速度和水動力系數來計算[9,13]。

將式（6）、式（7）代入式（8）、式（9），即得到水下滑翔機穩(wěn)態(tài)運動的動力學方程：

3 穩(wěn)態(tài)螺旋運動的時空描述

基于水下滑翔機的運動學方程和動力學方程，當給定其控制輸入量和 b ，?，υ，ω的初值后，即可實現水下滑翔機的三維空間運動仿真。對于依靠質心移動實現轉向的水下滑翔機，其運動姿態(tài)的控制輸入量包括移動滑塊沿軸的位置、移動滑塊繞軸的轉角和凈浮力質量mb。本文以Seawing水下滑翔機為例進行分析，水下滑翔機自身的質量參數和水動力參數見文獻[9]。將運動狀態(tài)量 b，?，υ，ω的初值取為零向量，并將控制參數取值為 γ=20°，rrx=0.42m，mb=0.3 kg，得到水下滑翔機的運動軌跡、運動速度變化規(guī)律分別如圖3和圖4所示。從圖3可以看出，可采用回轉半徑，螺距和回轉周期來表達水下滑翔機的空間和時間尺度特征。其中，回轉半徑 R的方向與滑翔機繞 o-ζ軸的角速度方向一致，螺距 H的方向與滑翔機沿 o-ζ軸的線速度方向一致，回轉周期 T為滑翔機一個周期回轉運動的時間。若水下滑翔機需要轉向某一角度，可以利用轉向角數值和螺旋運動的時空尺度特征，換算得到對應轉向運動所需的時間、空間量。

圖3 水下滑翔機的螺旋運動軌跡Fig. 3 The spiral motion trajectory of an underwater glider

圖4 運動速度隨時間的變化規(guī)律Fig. 4 Variation of the velocity with the time

從圖4可以看出，隨著時間的變化，水下滑翔機的運動速度 υ， ω將逐漸穩(wěn)定，相應的水下滑翔機運動也將逐漸達到穩(wěn)態(tài)。為進一步定量地驗證本文穩(wěn)態(tài)運動仿真方法的正確性，將本文回轉半徑的分析結果與文獻[9]中的結果進行對比，如圖5所示，其中, mb=0.3 kg?？梢钥闯觯?種方法結果的變化趨勢一致，但量值上存在較小的差別，原因為文獻[9]中為采用遞歸方法實現穩(wěn)態(tài)螺旋運動的快速分析，在推導過程中忽略了質量矩陣中影響較小的耦合項，而本文方法從滑翔機的運動微分方程入手，更為詳細地計入了質量矩陣?？傮w看來，本文的運動仿真方法可用于水下滑翔機穩(wěn)態(tài)螺旋運動時空尺度的分析。

圖5 本文方法的驗證Fig. 5 Validation of the method presented in this paper

4 時空尺度的分析

根據水下滑翔機沿垂向的運動方向進行分類，水下滑翔機的穩(wěn)態(tài)螺旋運動可分為上浮螺旋運動和下潛螺旋運動。當重力大于浮力，即mb＞0時，滑翔機將進行下潛螺旋運動，此時需調節(jié) rrx使水下滑翔機的重心在浮心的前方，從而保證滑翔機沿著機頭的方向滑行。而當重力小于浮力，即mb＜0時，滑翔機將進行上浮螺旋運動，此時需調節(jié) rrx使滑翔機的重心在浮心的后方。以Seawing水下滑翔機為例進行研究，通過改變滑翔機下潛和上浮運動中的控制參數，系統(tǒng)地設計一系列穩(wěn)態(tài)運動計算工況，進而分析水下滑翔機的時間、空間尺度特征隨控制輸入參數間的變化規(guī)律。

在下潛和上浮運動中保持 rrx和mb的取值不變，通過改變進行穩(wěn)態(tài)運動的計算，可得螺旋運動的時空尺度特征隨轉角的變化規(guī)律，如圖6所示。其中，, mb=0.3 kg，對應下潛螺旋運動； rrx=0.42m,mb=0.3 kg，對應上浮螺旋運動。可以看出，回轉半徑R 關于坐標原點中心對稱，其方向與轉角的方向一致；螺距 H 和回轉周期關于位置左右對稱。隨著轉角 γ絕對值的增大，上浮和下潛螺旋運動中回轉半徑 R 、螺距 H 和回轉周期的絕對值均減小。這表明在有限尺度的空間中轉向時，可考慮增大來降低轉向過程中所需的時間、空間尺度。

在下潛和上浮運動中保持 γ和mb的取值不變，通過改變 rrx進行穩(wěn)態(tài)運動的計算，可得到時空尺度特征隨 rrx的變化規(guī)律，如圖7所示。其中， mb=0.3 kg,γ=90°和mb=-0.3 kg, γ =90°，分別對應下潛螺旋運動和上浮螺旋運動?？梢钥闯?，在下潛螺旋運動中，回轉半徑、螺距和回轉周期 T均存在最大值；在上浮螺旋運動中，回轉半徑 R存在最大值，而且上浮過程中的回轉周期要小于下潛過程。 rrx在0.4～0.405 m附近時，水下滑翔機的重心和浮心的縱向位置比較接近。盡管在最值位置兩側的單調范圍中調節(jié) rrx，均可降低所需的時空尺度，但總體來看，當調節(jié) rrx來減小水下滑翔機的重心和浮心的縱向距離（使 rrx接近0.4～0.405 m范圍），更有助于快速地降低螺旋轉向過程中的時間、空間尺度。

圖6 時空尺度隨轉角的變化規(guī)律Fig. 6 Relationship between the temporal and spatial scales and the rotation angle

圖7 時空尺度隨縱向位置的變化規(guī)律Fig. 7 Relationship between the temporal and spatial scales and the longitudinal position of the movable block

圖8 時空尺度隨凈浮力的變化規(guī)律Fig. 8 Relationship between the temporal and spatial scales and the net buoyancy

5 結 語

本文通過對水下滑翔機穩(wěn)態(tài)螺旋運動的時間、空間尺度進行分析，得到如下結論：1）建立水下滑翔機的穩(wěn)態(tài)螺旋運動仿真方法，并驗證了該方法的正確。2）系統(tǒng)地分析了穩(wěn)態(tài)螺旋運動的時空尺度特征隨控制輸入參數間的變化規(guī)律，發(fā)現了上浮和下潛運動中變化規(guī)律的不同之處。3）當通過調節(jié)移動滑塊的轉角或縱向位置來降低螺旋運動中的時間、空間尺度時，可考慮增大滑塊轉角、減小水下滑翔機的重心和浮心的縱向距離來實現。4）當通過調節(jié)凈浮力來降低螺旋運動中的時間、空間尺度時，在下潛過程中可考慮降低凈浮力，在上浮過程中應根據轉向時刻mb的具體量值來調節(jié)。