命題須謹(jǐn)慎，探究顯身手
——從一道數(shù)列模擬題談起

☉江蘇省宿遷中學(xué) 張保安

每年各地的高考數(shù)學(xué)模擬題中，都會出現(xiàn)一批構(gòu)思新穎、亮點(diǎn)十足的原創(chuàng)題，此類問題往往很好地體現(xiàn)了“源于課本、高于課本、穩(wěn)中求變、應(yīng)用創(chuàng)新”的原則，以現(xiàn)行教材為依據(jù)，從知識層面、能力層面、素養(yǎng)層面等方面切入，力求求實(shí)、求變、求新、求活，知識全面，亮點(diǎn)頻出.同時(shí)，也有一些模擬題由于種種原因，考慮不全面，出現(xiàn)不嚴(yán)謹(jǐn)、不科學(xué)的情況.

一、問題呈現(xiàn)

【問題】（2019年無錫高三教學(xué)質(zhì)量檢測）已知數(shù)列{an}滿足2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），則（）.

A.a5≤4a2-3a1B.a2+a7≤a3+a6

C.3（a7-a6）≥a6-a3D.a2+a3≥a6+a7

本題設(shè)置巧妙，題意新穎，簡潔明了，以數(shù)列遞推關(guān)系式為問題背景，同時(shí)很好地綜合、交匯與融合了函數(shù)、不等式等相關(guān)知識，是一個(gè)非常不錯(cuò)的原創(chuàng)題.同時(shí)其又具備了函數(shù)中類似的關(guān)系式，為利用函數(shù)的凹凸性來處理問題指明方向，也為進(jìn)一步的規(guī)律總結(jié)、變式拓展提供條件.

二、解法剖析

思維方法1：結(jié)合條件中遞推數(shù)列的性質(zhì)，通過數(shù)列不等式的轉(zhuǎn)化，列出一系列對應(yīng)的數(shù)列不等式，再利用不等式的相關(guān)性質(zhì)加以綜合處理，并逐項(xiàng)進(jìn)行分析，進(jìn)而得到正確的結(jié)論.

解析1：由于2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），可得anan-1≤an+1-an（n∈N*，n≥2），

則知a7-a6≥a6-a5≥a5-a4≥a4-a3≥a3-a2≥a2-a1.

（1）結(jié)合不等式的性質(zhì)可得（a5-a4）+（a4-a3）+（a3-a2）≥3（a2-a1），

即a5-a2≥3（a2-a1），亦即a5≥4a2-3a1，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

（2）由以上不等式可知a7-a6≥a3-a2，

則有a2+a7≥a3+a6，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

（3）由以上不等式可得3（a7-a6）≥（a6-a5）+（a5-a4）+（a4-a3），即3（a7-a6）≥a6-a3，故選項(xiàng)C正確；

故選擇答案：C.

思維方法2：（函數(shù)凹凸性法）結(jié)合條件中遞推數(shù)列的性質(zhì)，有效地聯(lián)想起函數(shù)的凹凸性，并借助函數(shù)性質(zhì)，合理構(gòu)造特殊數(shù)列an=n2，利用函數(shù)的基本性質(zhì)以及數(shù)列的遞推關(guān)系式來逐項(xiàng)分析與判斷.

解析2：由于2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），可得anan-1≤an+1-an（n∈N*，n≥2），

聯(lián)想函數(shù)的凹凸性，可設(shè)an=n2，其滿足以上條件，那么

（1）a5-（4a2-3a1）=52-（4×22-3×12）=12＞0，則選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

（2）（a2+a7）-（a3+a6）=（22+72）-（32+62）=8＞0，則選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

（3）3（a7-a6）-（a6-a3）=3×（72-62）-（62-32）=12＞0，則選項(xiàng)C正確；

（4）（a2+a3）-（a6+a7）=（22+32）-（62+72）=-72＜0，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選擇答案：C.

點(diǎn)評：解析1從不等式的基本性質(zhì)入手，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式加以合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，只是選項(xiàng)D無法借助不等式的基本性質(zhì)來推理與分析；解析2從函數(shù)的凹凸性入手，構(gòu)造特殊數(shù)列，通過特殊化思維來處理，簡單易操作.

三、結(jié)論總結(jié)

通過以上問題及其相應(yīng)的解析過程，進(jìn)一步加以歸納總結(jié)，可得到以下兩個(gè)具有一般性的結(jié)論：

【結(jié)論1】已知數(shù)列{an}滿足2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），若m-n=p-q＞0（m，n，p，q∈N*，且m＞p），

則有am-an≥ap-aq.

證明：由于2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），

可得an-an-1≤an+1-an（n∈N*，n≥2），

則知an-an-1≥an-1-an-2≥…≥a3-a2≥a2-a1.

假定m-n=p-q=s＞0，

則s∈N*，

則知am-an=（am-am-1）+（am-1-am-2）+…+（an+1-an）

≥（ap-ap-1）+（ap-1-ap-2）+…+（aq+1-aq）=ap-aq，其中共有s個(gè)括號相加，

所以am-an≥ap-aq成立.

總結(jié)：類似于函數(shù)，可定義如下：若數(shù)列{an}滿足2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），則稱數(shù)列{an}為下凹數(shù)列.下凹數(shù)列所具備的以上性質(zhì)可以簡單歸納為：“下凹數(shù)列——下標(biāo)差相同，大下標(biāo)差大”.

【結(jié)論2】已知數(shù)列{an}滿足2an≥an-1+an+1（n∈N*，n≥2），若m-n=p-q＞0（m，n，p，q∈N*，且m＞p），

則有am-an≤ap-aq.

證明：由于2an≥an-1+an+1（n∈N*，n≥2），

可得an-an-1≥an+1-an（n∈N*，n≥2），

則知an-an-1≤an-1-an-2≤…≤a3-a2≤a2-a1.

假定m-n=p-q=s＞0，

則s∈N*，

則知am-an=（am-am-1）+（am-1-am-2）+…+（an+1-an）

≤（ap-ap-1）+（ap-1-ap-2）+…+（aq+1-aq）

=ap-aq，其中共有s個(gè)括號相加，

所以am-an≤ap-aq成立.

總結(jié)：類似于函數(shù)，可定義如下：若數(shù)列{an}滿足2an≥an-1+an+1（n∈N*，n≥2），則稱數(shù)列{an}為上凸數(shù)列.上凸數(shù)列所具備的以上性質(zhì)可以簡單歸納為：“上凸數(shù)列——下標(biāo)差相同，大下標(biāo)差小”.

四、問題商榷

以上問題在解析2中通過特殊數(shù)列an=n2來處理，很好地達(dá)到正確判斷的目的.而根據(jù)題目條件“2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2）”，其實(shí)還可以構(gòu)造更為特殊的數(shù)列來分析與判斷.

以常數(shù)列an=1為例，其滿足題目條件（恰好取得等號），此時(shí)選項(xiàng)A中有a5=4a2-3a1，選項(xiàng)B中有a2+a7=a3+a6，選項(xiàng)C中有3（a7-a6）=a6-a3，選項(xiàng)D中有a2+a3=a6+a7，那么選項(xiàng)A、B、C、D均正確.

以特殊數(shù)列an=n為例，其也滿足題目條件（恰好取得等號），此時(shí)選項(xiàng)A中有a5=4a2-3a1，選項(xiàng)B中有a2+a7=a3+a6，選項(xiàng)C中有3（a7-a6）=a6-a3，選項(xiàng)D中有a2+a3＜a6+a7，那么選項(xiàng)A、B、C均正確.

通過以上兩個(gè)特殊數(shù)列的選擇，可知這與原問題的設(shè)置相矛盾.由此可以確定原問題的命題不夠嚴(yán)謹(jǐn)，建議加以適當(dāng)修改.

五、完善改進(jìn)

改進(jìn)1：去掉題目的“等號”條件與各選項(xiàng)中的“等號”條件，形成嚴(yán)格的“數(shù)列單調(diào)性”，可得到以下變式：

【變式1】已知數(shù)列{an}滿足2an＜an-1+an+1（n∈N*，n≥2），則（ ）.

A.a5＜4a2-3a1B.a2+a7＜a3+a6

C.3（a7-a6）＞a6-a3D.a2+a3＞a6+a7

通過這樣的改進(jìn)，對應(yīng)不等式中不包括等號，使得數(shù)列的單調(diào)性更明顯.具體的解析過程直接參考原問題的解析即可.

改進(jìn)2：完善題目條件中的語言敘述，使得滿足條件的任意數(shù)列{an}都有選項(xiàng)中的一個(gè)不等式成立，可得到以下變式：

【變式2】已知數(shù)列{an}滿足2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），對于滿足條件的任意數(shù)列{an}，都有（ ）.

A.a5≤4a2-3a1B.a2+a7≤a3+a6

C.3（a7-a6）≥a6-a3D.a2+a3≥a6+a7

通過這樣的改進(jìn)，使得相應(yīng)的不等式對任意滿足條件的數(shù)列都成立，這樣就可以有效地避免特殊數(shù)列條件下不等式成立而影響對正確答案的判斷的情況的發(fā)生.具體的解析過程直接參考原問題的解析過程即可.

六、反思拓展

其實(shí)，對于數(shù)學(xué)試卷的命題來說，關(guān)鍵是要通過數(shù)學(xué)問題來充分考查學(xué)生對數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想和方法的掌握情況，借此引導(dǎo)學(xué)生注重對數(shù)學(xué)能力的應(yīng)用.特別是在一些數(shù)學(xué)綜合問題的命制中，強(qiáng)調(diào)試題的層次性，并要合理調(diào)控好綜合度，不要盲目地加大綜合度.越是綜合度大、交匯性強(qiáng)的問題，越容易出現(xiàn)不嚴(yán)謹(jǐn)、不科學(xué)等方面的問題.同時(shí)對于綜合問題，強(qiáng)調(diào)采用“常技常法”來破解即可達(dá)到目的，而不是盲目地追求怪異方法、偏門偏科的內(nèi)容，堅(jiān)持多角度、多層次地考查.

在解題過程中，不能只滿足于獲得正確答案和“常技常法”，要總結(jié)解題的方法與經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，主動(dòng)對已完成的思維過程進(jìn)行周密且有批判性的再反思、再總結(jié)，對已形成的數(shù)學(xué)思想、方法和知識等從另一個(gè)角度以另一種方式進(jìn)行再認(rèn)識、再提升，進(jìn)而以求得新的深入認(rèn)識，或提出疑問作為新的思考起點(diǎn).W