從一個(gè)數(shù)的歸類失敗談試題命制的嚴(yán)謹(jǐn)性

☉江蘇省徐州市賈汪區(qū)英才中學(xué) 徐 倩

“0.1010010001…，這是個(gè)什么數(shù)？”“無理數(shù)，還是有理數(shù)？”一次測試后，學(xué)生追著老師問.原本很簡單的一個(gè)數(shù)的歸類，怎么就整出這么多的問題呢？筆者對試題及網(wǎng)上的相似考題進(jìn)行了認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)了考題中存在的問題，現(xiàn)將分析所得呈現(xiàn)，供大家參考.

一、考題分析

試題：在這6個(gè)數(shù)中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.1 B.2 C.3 D.4

考點(diǎn)分析：本題是實(shí)數(shù)單元的常見考題，是指向概念的基礎(chǔ)題.一般出現(xiàn)在學(xué)習(xí)了算術(shù)平方根、平方根、立方根、無理數(shù)、實(shí)數(shù)等知識之后，重點(diǎn)考查立方根和算術(shù)平方根的計(jì)算、無理數(shù)的概念等知識.

解法分析：本題的解答是較為簡單的，我們只需先將一些帶根號的數(shù)進(jìn)行化簡，如然后確定其中的無理數(shù)，數(shù)一下個(gè)數(shù)便可得出答案.

考情分析：在考試時(shí)，不少學(xué)生沒有把握住無理數(shù)“無限不循環(huán)小數(shù)”的本質(zhì)屬性，而是從數(shù)的“外形”上辨別無理數(shù)，誤以為“含根號的數(shù)”“含π的數(shù)”“人為構(gòu)造的有規(guī)律的數(shù)”都是無理數(shù)，這樣得出的結(jié)果顯然是不對的.考試時(shí)，不少學(xué)生對0.1010010001…的歸類是心存疑慮的.有學(xué)生認(rèn)為，0.1010010001…是一個(gè)有規(guī)律的無限不循環(huán)小數(shù)，應(yīng)該是無理數(shù)；也有學(xué)生認(rèn)為，題目并沒有明示省略號中所隱含的規(guī)律，無法知曉這個(gè)數(shù)是不是具有“無限不循環(huán)”的屬性，因而也就不能將其歸入到無理數(shù)序列.所以，得出本題的答案與0.1010010001…的歸類是有很大關(guān)系的.事實(shí)上，學(xué)生對0.1010010001…的不同理解讓題目成為試卷的“問題考題”，嚴(yán)重影響了試卷的信度.

二、考題存在的問題

為了進(jìn)一步摸清這道考題存在的問題，筆者搜索了網(wǎng)上的相似考題.通過分析發(fā)現(xiàn)，包含0.1010010001…或類似數(shù)的題目大致分為兩類：一類除了給出數(shù)外，還在省略號后添加了規(guī)律說明——相鄰兩個(gè)1之間0的個(gè)數(shù)逐次增加1（下稱“題型1”）；另一類是只給出了數(shù)，沒有任何的規(guī)律說明（下稱“題型2”）.不管題型1還是題型2，其解題指向都是“判斷該數(shù)是否為無理數(shù)”.細(xì)細(xì)分析，題型1是規(guī)范的考題，學(xué)生能順利地找尋出其中的規(guī)律，并將其歸入到無理數(shù)中去，而題型2由于沒有規(guī)定數(shù)中省略掉的規(guī)律，省略號中究竟包含著怎樣的數(shù)不得而知，因而將其歸入有理數(shù)和無理數(shù)中的任何一類都是不適合的.上面的考題，就是以題型2的形式出現(xiàn)，因而學(xué)生解題時(shí)猶豫、解題后有疑慮也就不奇怪了.

在考試結(jié)束后，筆者與命題人進(jìn)行了交流，摸清了命題人的命題意圖.在教無理數(shù)時(shí)，命題人在得到無理數(shù)的定義后，還從外形上給無理數(shù)進(jìn)行了分類，給出了“根號型”“π型”“構(gòu)造型”三個(gè)類別.然而，由于教學(xué)中沒有明確“構(gòu)造型”無理數(shù)中數(shù)字規(guī)律的呈現(xiàn)方式，僅給出了幾個(gè)口述規(guī)律的數(shù)讓學(xué)生認(rèn)識了此類數(shù)的表象.在考卷命制時(shí)，命題人以為只要給定與課堂教學(xué)中形式類似的數(shù)，學(xué)生便可以識別“構(gòu)造型”無理數(shù).這種“想當(dāng)然”的命題思路，導(dǎo)致給出的試題嚴(yán)謹(jǐn)性缺失.在呈現(xiàn)給學(xué)生的文本中，看似給出的0.1010010001是有著規(guī)律的，命題人也以為學(xué)生會(huì)沿著這一“規(guī)律”解讀后面的省略號.然而，事實(shí)并不如命題人所愿，不少學(xué)生在考試中因省略號造成了思維障礙，沒能給出如命題人所愿的答案.

筆者認(rèn)為，命題人給出的這種數(shù)的表述，確實(shí)容易造成學(xué)生理解方面的差異.如果像本文中的考題那樣，對數(shù)后的省略號含義如果不以文本的形式加以明確，我們是無法讓學(xué)生對省略號形成統(tǒng)一的理解的，因而其解答也就難免出現(xiàn)偏差.事實(shí)上，對于0.1010010001…是什么數(shù)，不要說學(xué)生說不請，就是老師也說不清楚.試想，如果給定3.141592653…，而不去明確它就是圓周率π，誰能說這個(gè)數(shù)一定是無理數(shù)，它會(huì)不會(huì)是3.1415926533333…或3.141592653653653…，我們不得而知，從這個(gè)角度看，說3.141592653…是圓周率π顯然是不妥的.

三、關(guān)于考題命制的三點(diǎn)啟示

1.契合學(xué)情是考題命制的起點(diǎn)

基于多年調(diào)研考試與模擬考試的命題經(jīng)驗(yàn)，筆者認(rèn)為，契合學(xué)情是試題命制的起點(diǎn).任何一次考試，我們都應(yīng)建立在學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)狀和發(fā)展水平之上，任何超出學(xué)生認(rèn)知水平和解題能力的考試都是失敗的.試想，如果我們在考試中給出一道超學(xué)情范圍的考題，別說激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣了，就是摸清學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況也是不可能的.不管這種試題的難易如何，我們都沒有理由設(shè)置一些偏離學(xué)情的考題，讓學(xué)生將寶貴的考試時(shí)間耗費(fèi)在他們尚未達(dá)到的知識領(lǐng)域內(nèi).這樣的考題一旦出現(xiàn)，不管是對學(xué)業(yè)優(yōu)秀的學(xué)生，還是對基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，都是十分不公平的.本文中的試題，看似學(xué)生已經(jīng)具備了應(yīng)試的基礎(chǔ)知識，他們是能夠解決這一問題的，實(shí)際上他們對試題中省略號含義的解讀是無法到位的，這不是知識足與不足的問題，而是學(xué)生確實(shí)缺乏對此類問題進(jìn)行分析與解答的經(jīng)驗(yàn)，課堂中積累的少量與無理數(shù)相關(guān)的知識是經(jīng)不住一道不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目碱}的“摧殘”的.考后緊跟教師的追問，直接指向了無理數(shù)的本質(zhì)，這足見他們在問題解決時(shí)思維已經(jīng)走向深處，如果是在課堂上，這樣的探索是十分有益的.而摸底考試中，筆者認(rèn)為這種不利于學(xué)情正向發(fā)展的考題還是不命制為妙.

2.理解概念是考題命制的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)試題，指向的是數(shù)學(xué)的基本概念，不僅要考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解程度，還會(huì)關(guān)注到學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用狀況.因而，命制任何一道試題，命題人務(wù)必對試題所指向的數(shù)學(xué)概念有一個(gè)深入的理解，務(wù)求在真正理解概念的基礎(chǔ)上形成合格的考題.還是來說說本文中的這道考題，顯然命題人沒有真正理解有理數(shù)的概念.通過溝通交流，筆者發(fā)現(xiàn)，他在課上注重教給學(xué)生的是無理數(shù)的外形，而非“無限不循環(huán)小數(shù)”這一內(nèi)核.由此足見，他自己也沒能把無理數(shù)的概念了然于胸，而是在“外形”是否合規(guī)上下功夫，導(dǎo)致試題中給出了0.1010010001…這一形似而缺神的數(shù)，造成學(xué)生理解上的混亂，嚴(yán)重干擾了學(xué)生對無理數(shù)本質(zhì)屬性的把握.這樣的考題的出現(xiàn)，從某種意義上來講，與命題人本人對數(shù)學(xué)概念深度解讀不到位是有著很大的關(guān)系的.如此考查成效，也給我們這些身在一線的教師一個(gè)啟示，那就是，命制每一道考題要首先厘清其涉及的數(shù)學(xué)概念，在考核概念的本質(zhì)上下功夫做文章，而不能出一些“流于數(shù)學(xué)的外形，無視數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)”的考題干擾學(xué)生的數(shù)學(xué)視聽，影響學(xué)生數(shù)學(xué)“四基”的鞏固與“四能”的發(fā)展.

3.表意準(zhǔn)確是考題命制的要求

不管哪一門學(xué)科，哪一場考試，都是指向?qū)W情的，都是想要真正了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況的，因而，從摸清學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況的角度考慮，我們所命制的試題其表意一定要準(zhǔn)確無誤.這應(yīng)該成為試題命制的基本要求.在試題命制時(shí)，一旦一些含糊其辭的文本作為試題內(nèi)容呈現(xiàn)，很可能會(huì)引發(fā)學(xué)生在考試中異樣的思考，導(dǎo)致考情失真，讓試卷信度降低.數(shù)學(xué)試題，尤其是初中數(shù)學(xué)試題的命制，我們要關(guān)注多種不同的信息載體的規(guī)范性.命制試題，不僅要關(guān)注到文本的敘述是否準(zhǔn)確，還要注意符號的使用是否合規(guī)，圖形的匹配是否到位……只有當(dāng)我們把這一切都納入視野，做到極致了，一份好的考卷才有可能出現(xiàn)在學(xué)生的眼前，從而成就一次有效的教學(xué)測量.很顯然，本文中的這道考題是不合規(guī)的.最起碼，它在表述數(shù)0.1010010001…的內(nèi)在規(guī)律上是不到位的.命題人誤將自己的想法和學(xué)生可能理解的規(guī)律自以為是地“埋”在了省略號中，而沒有通過文本進(jìn)行追加描述，不同的學(xué)生產(chǎn)生理解上的偏差是再正常不過的.而那些真正理解無理數(shù)含義的學(xué)生，考完后追著老師問，足見他們已經(jīng)知道試題的問題所在了.毋庸置疑，這樣的試卷“敗筆”，問題不在學(xué)生，命題人是要為這場意外“埋單”的.