引導(dǎo)學(xué)生在探求數(shù)學(xué)原理和解題過(guò)程中提升素養(yǎng)
——兩種計(jì)數(shù)原理觀摩課

☉江蘇省金湖中學(xué) 陳萬(wàn)斌

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)，是培養(yǎng)現(xiàn)代公民不可缺少的要素.數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中重要的三個(gè)方面，而這三個(gè)方面又是數(shù)學(xué)基本思想的升華.數(shù)學(xué)基本思想是學(xué)生將知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰Φ臉蛄?，獲取的渠道主要在課堂，所以滲透核心素養(yǎng)的主要途徑還是課堂教學(xué).

教師在平時(shí)的課堂教學(xué)中如果注重課堂設(shè)計(jì)、關(guān)注數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生切實(shí)掌握數(shù)學(xué)思想，不僅能讓學(xué)生學(xué)到知識(shí)、方法、思想，還能讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)“理”，更能讓學(xué)生感悟、滲透數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此筆者在教學(xué)中非常重視引導(dǎo)學(xué)生尋求數(shù)“理”，下面是筆者在江蘇省鄭梁梅中學(xué)開(kāi)設(shè)的一節(jié)觀摩課，在此展現(xiàn)給大家.

一、教學(xué)目標(biāo)

（1）讓學(xué)生掌握分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理.

（2）正確地理解“完成一件事”的含義，能抓住問(wèn)題的特征，正確地選擇“分類”或“分步”.

（3）利用兩個(gè)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，滲透數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

二、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：抓住特征，厘清“分類”和“分步”.

教學(xué)難點(diǎn)：合理進(jìn)行分類或分步，利用計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題.

三、教學(xué)過(guò)程

（一）情境引入

師：早有所聞，江蘇省鄭梁梅中學(xué)的學(xué)生聰明好學(xué)，今天有了一次體驗(yàn)做“鄭中”教師的機(jī)會(huì).但險(xiǎn)些失去這次機(jī)會(huì)，金湖到漣水路途較遠(yuǎn)且客車一天上午僅有三個(gè)班次：7：00、8：00、10：00.

師：我乘客車從金湖到漣水有幾種方法？

生：有3種方法.

師：我當(dāng)時(shí)坐在車上，浮想聯(lián)翩，得到以下兩點(diǎn)感受.

感受一：（思考到達(dá)漣水的其他走法）

師：在江蘇省淮安市內(nèi)，就交通而言，漣水與其他縣有何區(qū)別？

生：漣水縣有飛機(jī)場(chǎng).

師：真羨慕漣水人，有飛機(jī)場(chǎng).

師：倘若從金湖到漣水有飛機(jī)航班（我就能很快趕到漣水）.

師寫(xiě)在黑板上：

乘客車：金湖到漣水有三班.

乘飛機(jī)：金湖到漣水有兩班.

師：這樣從金湖到漣水就有幾種走法？

生：3＋2＝5（種）.

師：為什么是3＋2，不是3×2？

生：每一類中的每一種方法都能“獨(dú)立地”“完成這件事”.

師：金湖有“湖”，漣水有“水”，不妨設(shè)還有水路可以到達(dá).

即乘船：金湖到漣水有四班，則金湖到漣水有幾種走法？

生：共有3＋2＋4＝9（種）.

師：你能聯(lián)想到什么？從數(shù)學(xué)角度抽象概括出一般性結(jié)論.

生：獨(dú)立地完成一件事共有k類方法，每一類分別為mi種方法（i=1，2，…，k），則完成這件事共有m1+m2+…+mk種方法.

師：數(shù)學(xué)家為了加深記憶，形象地稱之為“加法”原理.

師邊說(shuō)邊寫(xiě)：加法原理方法數(shù)為m1+m2+…+mk（分類）.

感受二：（可以經(jīng)過(guò)中轉(zhuǎn)站而分步到達(dá)）

師：我當(dāng)時(shí)還有一個(gè)想法，我們都屬于淮安市，各縣城與淮安市汽車總站每天通車次數(shù)很多，我可以怎么來(lái)？

生：如果金湖到淮安總站一天4班，淮安總站到漣水一天6班，則共有4×6＝24（種）走法.

小組討論.

師：兩種線路時(shí)間上要“協(xié)調(diào)”起來(lái).（課后思考）

師：你能從中類比得到什么結(jié)論？

生展示并回答：通過(guò)類比加法原理知道，如完成這件事，需要k個(gè)步驟，每一步都有mi（i=1，2，…，k）種方法，且每一步缺一不可，則共有m1×m2×…×mk種方法.

師：你們看叫什么原理好呢？區(qū)別在哪兒？

生：這叫乘法原理，如果采用“分類”完成這件事，就用加法原理；如果采用“分步”完成這件事，就用“乘法”原理.

（二）探求新知

師：這就是今天所講的兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，讓學(xué)生打開(kāi)課本瀏覽書(shū)中的兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的敘述.你們有什么啟發(fā)？

生：（1）理解“完成這件事”的具體含義；完成這件事要分清是分類還是分步；分類用加法原理，分步用乘法原理；（2）數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于實(shí)際生活，我們學(xué)會(huì)了抽象概括；數(shù)學(xué)又高于生活，數(shù)學(xué)也是活生生的，與我們的生活息息相關(guān).

師：按照這兩種想法，我到漣水可以有幾種方法？你能想到什么？

生：共有3＋2＋4＋4×6＝33（種）.

師：有何啟發(fā)？為什么呢？

生：先分類后分步；考慮問(wèn)題一般先從大局考慮，即先分類.

師：如何區(qū)別“分類”和“分步”呢？

生：從中提煉出“完成這件事”的真正含義，“這件事”是分類完成還是分步完成，“分類”或“分步”是由“完成這件事”所決定的.

師：你們能舉例說(shuō)明“分類”和“分步”的區(qū)別嗎？

學(xué)生討論、代表展示；教師進(jìn)行評(píng)論、點(diǎn)撥、鼓勵(lì).

（三）學(xué)以致用

問(wèn)題1：3本不同的語(yǔ)文書(shū)，4本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，2本不同的英語(yǔ)書(shū)，從中任取1本書(shū)，你有多少種選法？

生：3+4+2=9（種）.

師：為什么相加呢？

生：完成“選1本書(shū)”這件事，分三類書(shū)種，因而采用加法原理.

變題1：從中任選2本不同學(xué)科的書(shū)，有多少種選法？

生：先分三類，即：（1）選擇語(yǔ)文、數(shù)學(xué)書(shū)各1本，（2）選擇語(yǔ)文、英語(yǔ)書(shū)各1本，（3）選擇數(shù)學(xué)、英語(yǔ)書(shū)各1本.而每一類再采用分步完成，故選法總數(shù)=3×4+3×2+4×2=26（種）.

師：你有何啟發(fā)？

生：解決問(wèn)題應(yīng)考慮“先分類再分步”的思路.

變題2：從中選3本含語(yǔ)、數(shù)、英學(xué)科的書(shū)，有多少種選法？

生：3×4×2=24（種），“完成這件事”是采用“分步”解決的，因而采用乘法原理.

師：抓住題意的特征和含義，進(jìn)行分類或分步.

（四）鞏固提高

（1）例題探求.

例題1：從0、1、2、3、4中取三個(gè)不同的數(shù)字能組成多少個(gè)三位數(shù)？

教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)框圖.

生：完成這件事分三步，先在百位上填數(shù)，之后在十位上填數(shù)，最后在個(gè)位上填數(shù)，共有4×4×3=48（個(gè)）.

師：本題的解決對(duì)我們有何啟發(fā)？

生：畫(huà)框圖比較直觀明朗，容易理解.

師補(bǔ)充：要求學(xué)生有建模能力.

模型化能力：（畫(huà)框圖）培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

例題2：4名同學(xué)參加語(yǔ)、數(shù)、外三項(xiàng)不同的比賽，每位學(xué)生必須參加且只能參加一項(xiàng)比賽，有多少種不同的方案？

生：這件事就是“共4名同學(xué)，每名同學(xué)選擇一項(xiàng)比賽”，4名同學(xué)都選定比賽科目后就算是“完成”事情，所以需要分四步完成，即有3×3×3×3=34（種）.

（2）重溫例題.

回到例題1.

師：你們有其他解題方法嗎？

生展示：先不管百位上不能安排“0”這一特殊情況，即總體考慮，然后把不滿足要求的情形去掉.即有5×4×3-4×3=48（個(gè)）.

師：有何啟發(fā)？

生：這叫逆推法，也叫排除法、去雜法.

師補(bǔ)充：需要學(xué)生有反推、倒推的邏輯思維能力.

邏輯化能力：培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

回到例題2：把4封不同的信放入3個(gè)不同的郵箱，有幾種不同方案？

生：4+4+4=12（種）.

師：其他同學(xué)的答案也是12種嗎？

小組思考.

生：應(yīng)該與4名學(xué)生選擇3種比賽題意的本質(zhì)一樣，就是“把每一封信投入信箱”就算完成任務(wù)，應(yīng)該是“分步”完成這件事，采用乘法原理，即3×3×3×3=34（種）.

師：實(shí)際生活中，郵寄4封信你是這樣處理的嗎？有何啟發(fā)？

生：不是這樣處理的.讀懂題意，分四步完成這件事，即把每一封信逐一投完，事情就算完成.

師：要從習(xí)題的表面讀出題中隱含的數(shù)學(xué)層面的意思，即能從實(shí)際問(wèn)題抽象概括出數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓實(shí)際問(wèn)題呈現(xiàn)“數(shù)學(xué)味”，即對(duì)問(wèn)題進(jìn)行“數(shù)學(xué)”形式的“抽象”和等價(jià)轉(zhuǎn)化.

數(shù)學(xué)化能力：對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

變題1：4名同學(xué)參加語(yǔ)、數(shù)、外三科不同的比賽，每科競(jìng)賽只允許一名學(xué)生參加，有多少種不同方案？

生：應(yīng)該是“分步”完成事情，采用乘法原理，即3×3×3×3=34（種）.

師：有沒(méi)有不同意見(jiàn)？

生：應(yīng)該是4×4×4=43（種），本質(zhì)差不多，方法為化歸法.

師：抓住問(wèn)題的“主語(yǔ)”為“科目”，理解“完成這件事”的含義是語(yǔ)、數(shù)、外三個(gè)科目分別被“選定”.

師：思考用計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的步驟？

師生共同總結(jié)：用計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題分四個(gè)步驟，即：讀題抓特征、分類后分步、建模再計(jì)算、結(jié)果要檢驗(yàn).

感悟提升：教會(huì)學(xué)生知識(shí)、方法及解題思想是教好學(xué)生最基本的要求，從現(xiàn)代的人才需求和學(xué)生終身發(fā)展要求來(lái)看，必須培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，學(xué)生只有具備較高的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，才能站得更高，看得更遠(yuǎn)，掌握更牢，學(xué)得更透，才能適應(yīng)其一生的發(fā)展需要.核心素養(yǎng)的提高不是空泛的，要落實(shí)到具體的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程之中，那么，如何在課堂中加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)呢？筆者認(rèn)為：一是在知識(shí)的展現(xiàn)過(guò)程中，滲透數(shù)學(xué)思想，提高核心素養(yǎng).因此學(xué)生應(yīng)該有足夠的時(shí)間去經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程.二是在知識(shí)的抽象過(guò)程中，滲透數(shù)學(xué)思想，提高核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)家華羅庚曾強(qiáng)調(diào)：既能把薄的書(shū)讀成厚的，又能把厚的書(shū)讀成薄的.讀薄就是通過(guò)抽象抓住本質(zhì)，抓住重點(diǎn)，因?yàn)橹挥凶プ”举|(zhì)才能更好的理解和提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).三是在解題思路的探索過(guò)程中，滲透數(shù)學(xué)思想，提高核心素養(yǎng).學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察，獨(dú)立思考，合作交流；要引導(dǎo)學(xué)生親自去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，掌握方法.四是在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，滲透數(shù)學(xué)思想，提高核心素養(yǎng).問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，學(xué)生通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題可以鞏固學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，可以在解題的過(guò)程中培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、滲透數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).W