高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題的幾種類型及評(píng)析*

☉四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 劉成龍

☉四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 胡 琳

數(shù)學(xué)是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的重要途徑.數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，是思維的學(xué)科，對(duì)于培養(yǎng)人的思辨能力、科學(xué)精神等方面有著重要的作用，而思辨能力和科學(xué)精神正是發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造力的必備要素.數(shù)學(xué)中充滿了創(chuàng)造，整個(gè)數(shù)學(xué)史就是一部創(chuàng)造史，可以說(shuō)，沒(méi)有創(chuàng)造就沒(méi)有數(shù)學(xué)．［1］因此，數(shù)學(xué)對(duì)于培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力具有巨大的作用，正如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（下文簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）所說(shuō)“要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用.”［1］

數(shù)學(xué)教育與創(chuàng)新意識(shí)密切相關(guān).《課程標(biāo)準(zhǔn)》把“創(chuàng)新意識(shí)”確定為數(shù)學(xué)教學(xué)的十大核心概念之一，強(qiáng)調(diào)“創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終.”［2］《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（下文簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：“數(shù)學(xué)教育承載著培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的任務(wù)，要促進(jìn)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.”［3］創(chuàng)新意識(shí)表現(xiàn)為：對(duì)新穎的信息、情境和設(shè)問(wèn)，能選擇有效的方法和手段分析、處理信息，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究，提出解決問(wèn)題的思路，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題.［4］

創(chuàng)新作為第一動(dòng)力，高考命題也應(yīng)體現(xiàn)這一導(dǎo)向.［5］高校要選拔具有創(chuàng)新潛質(zhì)的人才，高考數(shù)學(xué)就必須重視對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的考查.［5］創(chuàng)新成為了歷年高考中新的熱點(diǎn)和亮點(diǎn).高考命題中創(chuàng)新體現(xiàn)在四個(gè)方面：試題題型創(chuàng)新、試題內(nèi)容創(chuàng)新、命題理念創(chuàng)新和問(wèn)題解答方法創(chuàng)新.［5］由此，高考創(chuàng)新型試題成為評(píng)價(jià)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要題型.所謂高考創(chuàng)新型試題，是指從衡量考生的發(fā)展性學(xué)力和創(chuàng)造性學(xué)力著手突出能力考查的試題.［6］本文重點(diǎn)評(píng)析了近幾年高考創(chuàng)新型試題的四大類型：立德樹(shù)人型、趣味邏輯型、公式證明型、問(wèn)題推廣型.

一、立德樹(shù)人型

立德樹(shù)人，簡(jiǎn)而言之，即建立德行，為后人樹(shù)立榜樣，培養(yǎng)人才.黨的十九大報(bào)告明確提出“落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù).”在教育部制定的落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的配套文件《關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》中指出：“全面貫徹黨的教育方針，堅(jiān)持立德樹(shù)人，加強(qiáng)社會(huì)主義核心價(jià)值體系教育，完善中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育，形成愛(ài)學(xué)習(xí)、愛(ài)勞動(dòng)、愛(ài)祖國(guó)活動(dòng)的有效形式和長(zhǎng)效機(jī)制，增強(qiáng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感、創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.”［1］數(shù)學(xué)教育應(yīng)該發(fā)揮“數(shù)學(xué)教學(xué)具有的德育功能”.［6］通過(guò)德育滲透，培養(yǎng)人，塑造人.近幾年的高考命題堅(jiān)持立德樹(shù)人的基本導(dǎo)向，命制了一系列立德樹(shù)人型試題，意在通過(guò)德育滲透，培養(yǎng)學(xué)生良好的道德品行，可謂是高考命題中的獨(dú)特創(chuàng)新.

例1（2018年全國(guó)Ⅱ卷理科第8題）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（ ）.

評(píng)析：本例以哥德巴赫猜想為載體，既凸顯了我國(guó)在哥德巴赫猜想研究上的領(lǐng)先地位，也對(duì)普及數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)積極研究世界性難題并取得了巨大成就的故事有積極的意義.同時(shí)也對(duì)育人有益：一方面，可以弘揚(yáng)中華優(yōu)秀文化，增強(qiáng)文化自信；另一方面，可以培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義情懷，增強(qiáng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感，引導(dǎo)學(xué)生形成正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀.本例借助數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)文化浸潤(rùn)，體現(xiàn)育人導(dǎo)向，育人于無(wú)聲無(wú)息之中.

二、趣味邏輯型

《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》對(duì)邏輯的解釋是思維的規(guī)律.《辭海》對(duì)邏輯的解釋是研究思維形式及其規(guī)律的科學(xué).因此邏輯是創(chuàng)造的起點(diǎn).趣味邏輯型試題是指含有有趣情境、考查學(xué)生邏輯知識(shí)的試題.趣味邏輯型試題為考生營(yíng)造出一種輕松的氛圍，給人的印象是推理有趣、推理好玩，推理過(guò)程中思維量較大，思維品質(zhì)要求較高，但幾乎不需要算，趣味邏輯型試題涉及的推理一般具有趣味性、邏輯性、思考性、挑戰(zhàn)性和智慧性.［7］此類試題主要考查學(xué)生的閱讀能力、抽象能力和推理能力：閱讀提取有用信息—抽象成圖表或條件推理關(guān)系—推理得到結(jié)論.解答趣味邏輯型試題的常見(jiàn)方法有：代入法、假設(shè)法、排除法、找突破口法、圖表法等.試題所涉及的常見(jiàn)題型有：真假型、排序型、匹配型等.趣味邏輯型試題是高考數(shù)學(xué)命題的一種創(chuàng)新，既為考生緊張的狀態(tài)開(kāi)辟了休憩的驛站，也拓寬了考生的視野，還讓考生真切地感受到邏輯就在身邊，邏輯離我們的生活是那么近.

例2 （2017年全國(guó)Ⅱ卷理科第7題）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)．老師說(shuō)：你們四人中有兩位優(yōu)秀，兩位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)．看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)．根據(jù)以上信息，則（ ）.

A.乙可以知道四人的成績(jī)

B.丁可以知道四人的成績(jī)

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)

D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)

評(píng)析：本例為趣味邏輯型試題的經(jīng)典案例：以學(xué)生詢問(wèn)成績(jī)?yōu)樗夭?，展示的情景貼近生活實(shí)際，與兒時(shí)的腦筋急轉(zhuǎn)彎問(wèn)題有較大的相似之處，呈現(xiàn)出一定的趣味性和推理性，這在一定程度上使考生緊張的情緒得到放松，體現(xiàn)了命題者對(duì)考生的人文關(guān)懷.同時(shí)，老師和學(xué)生的對(duì)話看似平淡，實(shí)則蘊(yùn)含思辨性和邏輯性，對(duì)學(xué)生的邏輯思維與推理能力等都有所考查.

三、公式證明型

公式證明型試題是指直接將教材中的公式證明設(shè)置為高考試題.該類試題是命題形式上的一大創(chuàng)新，旨在引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)回歸教材、重視教材.近20年以來(lái)，在2010年四川卷首次開(kāi)發(fā)公式證明型試題，當(dāng)然開(kāi)發(fā)的過(guò)程中也經(jīng)受了勇氣和信心的考驗(yàn).據(jù)四川命題組消息稱，在2010年四川卷命制公式證明型試題時(shí)引發(fā)了命題者們的激烈爭(zhēng)論：絕大部分命題者認(rèn)為命制公式證明型試題是命題創(chuàng)新，值得提倡；部分命題者認(rèn)為此類題型從未考過(guò)（近20年未考過(guò)），不利于高考命題的穩(wěn)定，經(jīng)過(guò)激烈的辯論，最后還是決定選用公式證明型試題，但略有變化的是設(shè)置為兩個(gè)小問(wèn)：第一問(wèn)證明公式，第二問(wèn)設(shè)置為公式的應(yīng)用.我們揣測(cè)，這樣的設(shè)置是對(duì)該題型的一種試探與嘗試.實(shí)踐表明，公式證明型試題是一種成功的創(chuàng)新型試題，值得堅(jiān)持，這從2011年高考陜西卷文理科第18題考“敘述并證明余弦定理”、2012年高考陜西卷理科第18題考“三垂線定理及逆定理的證明”、2013年高考陜西卷理科第18題考“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)”可以得到印證.

例3（2010年四川卷理科第19題）（Ⅰ）①證明兩角和的余弦公式C（α+β）∶cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；②由C（α+β）推導(dǎo)兩角和的正弦公式S（α+β）∶sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

評(píng)析：本例要求證明教材中的兩角和的正余弦公式，屬于命題形式上的創(chuàng)新.這打破了一直以來(lái)不考書上命題、公式、法則等證明的命題模式.實(shí)際上，試題本身并不難，但這一“首發(fā)效應(yīng)”使得許多考生都手足無(wú)措，據(jù)閱卷場(chǎng)反饋的信息來(lái)看，2010年四川近50萬(wàn)考生僅有大概70人得了滿分，這讓我們深刻反思教學(xué)中對(duì)教材的忽視，無(wú)疑對(duì)死記硬背、機(jī)械模仿的學(xué)習(xí)方式敲響了警鐘.對(duì)改變教學(xué)活動(dòng)重心，引導(dǎo)教學(xué)回歸教材，關(guān)注知識(shí)的形成過(guò)程、發(fā)展過(guò)程、理解與內(nèi)化過(guò)程有導(dǎo)向作用.從教學(xué)導(dǎo)向這一層面可以充分看出開(kāi)發(fā)公式證明型試題的價(jià)值所在.

四、問(wèn)題推廣型

數(shù)學(xué)推廣是指在一定范圍內(nèi)或一定層次上對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、法則進(jìn)行拓展，使之在更大范圍或更高層次上成立，此外，也指對(duì)條件、結(jié)論進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析以后，對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)改變，使得到的新命題為真.［8］張景中院士指出：“推廣是數(shù)學(xué)研究中極其重要的手段之一，數(shù)學(xué)自身的發(fā)展在很大程度上依賴于推廣.數(shù)學(xué)家總是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，向未知的領(lǐng)域擴(kuò)展，從實(shí)際的概念及問(wèn)題推廣出各式各樣的新概念、新問(wèn)題.”［9］問(wèn)題推廣型試題是指將已有問(wèn)題的條件或結(jié)論推廣到更一般的情形的試題.從定義上看，問(wèn)題推廣型試題顯然是一種典型的創(chuàng)新型試題.創(chuàng)新體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是在試題設(shè)置上打破了傳統(tǒng)解答（或證明）已知問(wèn)題的模式，二是推廣的過(guò)程就是創(chuàng)新的過(guò)程.命題推廣型試題有利于培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，這對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)有益，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有利.同時(shí)也有利于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)研究的一般思路：研究特殊問(wèn)題→提出一般問(wèn)題→解決新問(wèn)題.

例4 （2012年湖北卷理科第22題）（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0），其中r為有理數(shù)，且0

（Ⅱ）試用（Ⅰ）的結(jié)果證明如下命題：設(shè)a1≥0，a2≥0，b1，b2為正有理數(shù).若b1+b2=1，則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2.

（Ⅲ）請(qǐng)將（Ⅱ）中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.注：當(dāng)α為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式（xα）′=αxα-1.

評(píng)析：本例第（Ⅲ）問(wèn)打破了傳統(tǒng)證明已知結(jié)論的模式，需要學(xué)生先提出猜想再進(jìn)行證明，這在2012年之前的高考命題和平常的模擬訓(xùn)練中幾乎沒(méi)有涉及，是一類典型的結(jié)論開(kāi)放型試題，呈現(xiàn)出高度的創(chuàng)新性.解答時(shí)，首先需要學(xué)生根據(jù)第（Ⅱ）問(wèn)條件中變?cè)膫€(gè)數(shù)、非負(fù)性、和的特殊性及結(jié)論中變?cè)奈恢谩⑦\(yùn)算的變化（冪的積到積的和），初步判斷變?cè)獋€(gè)數(shù)、變?cè)偷闹祵?duì)結(jié)論的影響，進(jìn)而模仿已有的結(jié)論猜想出更一般的命題，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和提問(wèn)意識(shí)尤為重要；其次，學(xué)生需要證明猜想的正確性，在這一過(guò)程中學(xué)生往往需要將已有的特殊情形的證明方法遷移到一般的情形中，這對(duì)學(xué)生的遷移能力要求較高.總之，問(wèn)題推廣型試題充滿了創(chuàng)造的成分.無(wú)獨(dú)有偶，2012年福建卷理科第17題要求學(xué)生將五個(gè)特殊的三角式子推廣為三角恒等式并證明.特別指出，盡管從2013年到2018年的高考命題中沒(méi)有命制問(wèn)題推廣型試題，但是我們認(rèn)為該題型必將成為未來(lái)高考命題創(chuàng)新的焦點(diǎn).

創(chuàng)新型試題作為高考的一種重要題型，在人才選拔、立德樹(shù)人、思維發(fā)展、教學(xué)導(dǎo)向等方面具有積極的作用.因此，我們相信在未來(lái)的高考命題中會(huì)開(kāi)發(fā)出更多類型的創(chuàng)新型試題.