深入理解教材 發(fā)展數(shù)學(xué)思維
——“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)思考與實(shí)踐

黎 陽，彭國慶

1.蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校，江蘇 蘇州 215021

2.蘇州工業(yè)園區(qū)景城學(xué)校，江蘇 蘇州 215021

教材理解；思維發(fā)展；教學(xué)實(shí)踐

“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”是蘇教版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書二年級下冊第四單元“認(rèn)識萬以內(nèi)的數(shù)”的起始知識點(diǎn)，是數(shù)的認(rèn)識的一部分，教材為什么這么重視千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識的教學(xué)？千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識這部分內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)是什么？又該如何進(jìn)行教學(xué)？筆者認(rèn)為，作為一名數(shù)學(xué)教師有必要對以上幾個(gè)問題進(jìn)行深入的思考，然后再付諸于實(shí)踐。

一、在深入解讀中理解教材

（一）繼承傳統(tǒng)不忘與時(shí)俱進(jìn)

幾千年來，我們的漢語言基本上采用把一個(gè)大數(shù)按照四位一級的分節(jié)法逐級讀、寫一個(gè)大數(shù)；這體現(xiàn)了我國固有的文化傳統(tǒng)和習(xí)慣，對于萬、億數(shù)字體系的這種讀寫習(xí)慣，我們一直延續(xù)至今。所以，現(xiàn)有的教材編排基本遵循了人們的讀、寫習(xí)慣，按照認(rèn)識萬以內(nèi)的數(shù)、認(rèn)識億以內(nèi)的數(shù)和億以上的數(shù)的認(rèn)識順序，編排自然數(shù)的認(rèn)識。當(dāng)我們的教育面向世界的時(shí)候，我們在進(jìn)行國際理解教育的時(shí)候，西方國家以“千”為基礎(chǔ)讀、寫大數(shù)的方法自然呈現(xiàn)在了我們面前，對于西方國家的三位一節(jié)的讀、寫方法，在繼承傳統(tǒng)的同時(shí)也要解放思想，所以，教材在既尊重中國的固有傳統(tǒng)，一定程度上又順應(yīng)國際化發(fā)展的需求的同時(shí)，突出了千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識的編排。

（二）做好鋪墊利于遷移類推

我國的計(jì)數(shù)習(xí)慣是四位一級分級計(jì)算的，千位是個(gè)級上的最后一個(gè)數(shù)位，相應(yīng)的千也就是個(gè)級中最大的一個(gè)計(jì)數(shù)單位，掌握了計(jì)數(shù)單位千以及相鄰的兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率，對于學(xué)生十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的認(rèn)識就有了較為完整的初步認(rèn)識，在接下來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，只要把千以內(nèi)的數(shù)的認(rèn)知方法遷移、推理到萬級、億級數(shù)的認(rèn)識就可以了。如萬級上的計(jì)數(shù)單位萬、十萬、百萬、千萬以及他們之間的進(jìn)率，可以采取個(gè)級數(shù)的計(jì)數(shù)單位個(gè)、十、百、千的進(jìn)率關(guān)系進(jìn)行推理，在讀、寫的方法上也可以用個(gè)級數(shù)的讀、寫法進(jìn)行遷移。因此，千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識是大數(shù)的認(rèn)識的重要基礎(chǔ)，所以，此內(nèi)容的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)后續(xù)知識，有利于促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

（三）知識融合凸顯學(xué)科整體

從計(jì)量單位上來看，我國采用的計(jì)量單位和國際計(jì)量單位接軌后，逐漸引入了千米、千克、噸、升等長度、質(zhì)量、容積單位，這些單位除了有些自身在讀法上用到計(jì)數(shù)單位千，還有些計(jì)量單位和低一級單位之間的進(jìn)率都是1000，這些都和“千”有著非常密切的關(guān)系。因此，突出“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”的教學(xué)，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)計(jì)量單位做好知識上的充分準(zhǔn)備，同時(shí)用一個(gè)看似點(diǎn)的小正方體表示1，十個(gè)小正方體組成的一條線段（本質(zhì)是長方體）表示一個(gè)十，10×10個(gè)小正方體拼成的一個(gè)面（本質(zhì)是長方體）表示一個(gè)百，10×10×10個(gè)小正方體拼成的一個(gè)大正方體就表示一個(gè)千，這樣把個(gè)、十、百、千四個(gè)計(jì)數(shù)單位和圖形與幾何的點(diǎn)、線、面、體對應(yīng)起來，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的完全融合，促進(jìn)了學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)結(jié)，還滲透了數(shù)學(xué)知識不斷發(fā)展的哲學(xué)觀。

（四）直觀教學(xué)突出意義理解

學(xué)生學(xué)習(xí)“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”，首先就是要理解千以內(nèi)數(shù)的實(shí)際意義。而數(shù)具有一定的抽象性，數(shù)越大其高度的抽象性就越會成為學(xué)生理解數(shù)的意義的障礙。為了讓學(xué)生切實(shí)理解千以內(nèi)數(shù)的意義，教材重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由具體到抽象的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生經(jīng)歷用方塊表示數(shù)到用計(jì)數(shù)器表示數(shù)，再到用數(shù)字符號表示數(shù)的過程，讓學(xué)生逐步從具體學(xué)習(xí)過程，過渡到抽象理解數(shù)的意義，從直觀感知數(shù)的大小到直觀感知數(shù)位順序和位值原則，再到用抽象的符號表示數(shù)實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的跨越。

二、在教材比較中把握重點(diǎn)

知道了“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”這部分內(nèi)容的重要性之后，我們還要把握好“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”的教學(xué)重點(diǎn)。比較蘇教版實(shí)驗(yàn)小學(xué)數(shù)學(xué)教科書和義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書，我們發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)版教科書主要是編排了整百、一千以及整百數(shù)的大小比較，義務(wù)教育教科書則主要編排了整百數(shù)、非整百數(shù)的認(rèn)識和組成，以及讀千以內(nèi)的數(shù)，和千這個(gè)計(jì)數(shù)單位。對比新舊兩個(gè)版本的教科書，我們不難發(fā)現(xiàn)義務(wù)教育教科書增添的內(nèi)容也正是我們要教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。

（一）理解十進(jìn)制規(guī)則

十進(jìn)制規(guī)則是人們數(shù)數(shù)、計(jì)數(shù)時(shí)常用到的一個(gè)非常重要的規(guī)則，這種規(guī)則的初步建立，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)起到非常好的鋪墊作用，而學(xué)生在學(xué)習(xí)“千以內(nèi)的數(shù)的認(rèn)識”的時(shí)候，只學(xué)習(xí)了個(gè)、十、百這三個(gè)計(jì)數(shù)單位，再加上一個(gè)千就是完整的個(gè)級的四個(gè)計(jì)數(shù)單位，而這四個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)制都是十進(jìn)制的，千是個(gè)級中最大的一個(gè)計(jì)數(shù)單位。學(xué)習(xí)千這個(gè)計(jì)數(shù)單位之后，可以逐步遷移到萬級、億級，因此，千的認(rèn)識和學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生更好地理解十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，所以，我們在教學(xué)的過程中有必要對個(gè)、十、百、千這四個(gè)計(jì)數(shù)單位進(jìn)行一次梳理，幫助學(xué)生初步完善個(gè)級計(jì)數(shù)單位間的十進(jìn)制關(guān)系。

（二）理解位值原則

每一個(gè)數(shù)字都有它自身的大小，也就是本身的值，但是同一個(gè)數(shù)字，寫在不同的數(shù)位上，所表示的數(shù)的大小也不同，也就是一個(gè)數(shù)字還有位置值，如何深刻幫助學(xué)生理解數(shù)的位置原則，理解每個(gè)數(shù)位上數(shù)的大小，也是在“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”這節(jié)課中需要重點(diǎn)突出的地方。學(xué)生在理解了數(shù)字的本身大小和位置值的基礎(chǔ)上，便于理解數(shù)的組成。

（三）掌握認(rèn)讀方法

學(xué)生在學(xué)習(xí)“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”之前，學(xué)生只有百以內(nèi)數(shù)的認(rèn)讀學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)然，學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中也會接觸到許多千以內(nèi)的數(shù)，在其他學(xué)習(xí)途徑中也會認(rèn)讀一些千以內(nèi)的數(shù)，但是對于千以內(nèi)的數(shù)連續(xù)認(rèn)讀還是存在一些問題的，尤其是一些拐彎數(shù)到整百整十?dāng)?shù)、整百數(shù)的連續(xù)認(rèn)讀上容易出錯(cuò)，在認(rèn)讀拐彎數(shù)和整百整十?dāng)?shù)的過程中，理解十進(jìn)制原則非常重要。

三、在有效教學(xué)中發(fā)展思維

（一）有效導(dǎo)入，問題引發(fā)思考

良好的開端是成功的一半，我們在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的時(shí)候，總是想方設(shè)法設(shè)計(jì)一個(gè)比較精巧的導(dǎo)入，能夠一下子把學(xué)生快速引入到新知的學(xué)習(xí)中去。在本節(jié)課的教學(xué)導(dǎo)入環(huán)節(jié)，執(zhí)教老師根據(jù)文獻(xiàn)和外出學(xué)習(xí)經(jīng)歷，前后設(shè)計(jì)了如下三個(gè)方案：

方案1：出示一堆堆放雜亂的小方塊，讓學(xué)生猜一猜，一共有多少個(gè)小方塊，而后電腦整理，引導(dǎo)學(xué)生來數(shù)。

方案2：出示千字文，讓學(xué)生估一估有多少個(gè)字？讓學(xué)生猜一猜，引導(dǎo)學(xué)生來數(shù)。

方案3：出示一個(gè)由不滿一千個(gè)小正方體拼成的一個(gè)大立體圖形，提問：想不想知道用了多少個(gè)小方塊？

比較這三種方案，感覺前兩種方案雖然提供的素材不同，但是基本思路是一致的，都是讓學(xué)生先猜再數(shù)，但是整體試教后發(fā)現(xiàn)學(xué)生根本沒有大數(shù)的感覺，這種猜一猜純粹是無根據(jù)、無參照地亂猜，就是為了猜而猜，這種導(dǎo)入方式對于學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)學(xué)習(xí)態(tài)度的形成不能起到幫助作用，因此，決定放棄前兩種導(dǎo)入方式，改為方案3，讓學(xué)生直面數(shù)學(xué)問題，要想知道一共用了多少個(gè)小方塊，就要數(shù)一數(shù)，進(jìn)而快速引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入數(shù)數(shù)環(huán)節(jié)，在開頭數(shù)數(shù)的環(huán)節(jié)中復(fù)習(xí)百、十、個(gè)之間的進(jìn)率關(guān)系，詳見教學(xué)片段1。

【教學(xué)片段1】

師：大頭兒子用小正方體搭成了一個(gè)這樣的圖形，要想知道他一共用了多少個(gè)這樣的小正方體，我們可以怎么辦？

生：可以數(shù)一數(shù)。

師：可以怎樣數(shù)呢？

生1：可以一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)。

生2：可以一十一十地?cái)?shù)。

生3：先把前面最左邊的一列數(shù)出來，如果正好是十個(gè)，就可以一列一列地?cái)?shù)，然后如果前面正好是一百個(gè)，就可以一百一百地?cái)?shù)。

師：大家都想到了數(shù)的方法，而且基本上也形成共識，先一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，然后可以一十一十地?cái)?shù)，最后一百一百地?cái)?shù)。我們就按照大家想到的來數(shù)一數(shù)。

（二）數(shù)形結(jié)合，具體走向抽象

數(shù)是對現(xiàn)實(shí)世界中物體多少的抽象，數(shù)的認(rèn)識過程就是把數(shù)的多少與最終的數(shù)字符號對應(yīng)起來的過程。如何幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)、理解數(shù)，借助幾何直觀把數(shù)形結(jié)合起來，可以有效幫助學(xué)生經(jīng)歷由具體的量到數(shù)的抽象認(rèn)識過程。在教學(xué)認(rèn)識整百數(shù)的時(shí)候，用一百個(gè)小正方體擺成的一個(gè)長方體告訴學(xué)生是一百，這樣的三板就是有300個(gè)小正方體，然后激發(fā)學(xué)生思考如何只用三顆珠子就表示出300，學(xué)生對照具體的三百個(gè)小正方體和計(jì)數(shù)器上的三顆珠子以及數(shù)300，經(jīng)歷了具體到抽象的過程，把計(jì)數(shù)器上百位上的3與具體的300對應(yīng)起來，詳見教學(xué)片段2。

【教學(xué)片段2】

師：十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)，十個(gè)十就是一個(gè)百，這樣的一板就有100個(gè)小正方體。然后我們一百一百地?cái)?shù)，這樣的三板有多少個(gè)小正方體？

生：300。

師：這么多的小正方體用3顆珠子就可以表示出來？想一想如何表示呢？

生：用計(jì)數(shù)器，在百位上撥三顆珠子就可以了。

師：雖然計(jì)數(shù)器百位上只有三顆珠子，但是這三顆珠子卻表示了300個(gè)小正方體這么多。

師：繼續(xù)增添小正方體，現(xiàn)在有多少個(gè)小正方體？

生：324個(gè)。

師：怎樣在計(jì)數(shù)器上表示出來？

生：百位上已經(jīng)有了3顆珠子，十位上添2顆珠子，個(gè)位上再添4顆珠子，這樣就是324個(gè)了。

（三）經(jīng)歷過程，理解數(shù)學(xué)規(guī)則

數(shù)是數(shù)出來的，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)數(shù)的過程，充分感受自然數(shù)的基數(shù)性和有序性。課中安排十個(gè)十個(gè)數(shù)和一個(gè)一個(gè)數(shù)這兩個(gè)層次的數(shù)數(shù)活動(dòng)，并且在數(shù)數(shù)的關(guān)鍵處適當(dāng)停頓，比如在十個(gè)十個(gè)數(shù)到890的時(shí)候，讓學(xué)生意識到再添上一個(gè)十就是九百，感受十進(jìn)制規(guī)則；再一個(gè)一個(gè)數(shù)到999的時(shí)候，讓學(xué)生充分感受數(shù)的位置值，即9所在的數(shù)位不同，表示的數(shù)的大小也是不一樣的，再提問添一個(gè)1是多少的問題，引發(fā)學(xué)生對千計(jì)數(shù)單位的需求，感知999和1000之間的關(guān)系，同時(shí)經(jīng)歷三次連續(xù)進(jìn)位，深刻感受十進(jìn)制規(guī)則，詳見教學(xué)片段3。

【教學(xué)片段3】

生：是九百。把十位的十顆珠子退下去，然后向百位進(jìn)1。

師：再接著十個(gè)十個(gè)數(shù)到九百六十。

師：接下來再一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，從九百六十?dāng)?shù)到九百九十九。

師：觀察計(jì)數(shù)器，你有什么想說的？

生：計(jì)數(shù)器上雖然都是有9顆珠子，但是這9顆珠子表示的大小是不一樣的。個(gè)位上的9顆珠子表示的是9個(gè)1，十位上的9顆珠子表示的是9個(gè)十，百位上的9顆珠子表示的是9個(gè)百。

師：在計(jì)數(shù)器上每個(gè)珠子所在的位置不同，表示的數(shù)的大小也是不一樣的。在數(shù)位上，數(shù)所在的位置不同，表示數(shù)的大小也是不同的。

環(huán)境對施工質(zhì)量的影響是非常大的，施工也會反過來破壞環(huán)境。砂子是建筑的必備材料，在施工中會產(chǎn)生大量揚(yáng)塵，降低施工現(xiàn)場周邊的空氣質(zhì)量，進(jìn)而威脅到居民的健康。施工中用到最多的就是水，很多單位并未對廢水進(jìn)行處理就隨處排放，這會對周邊農(nóng)田產(chǎn)生嚴(yán)重污染。施工現(xiàn)場溫濕度的變化會影響澆筑過程，若不能保持內(nèi)部結(jié)構(gòu)和外部溫度的統(tǒng)一，澆筑結(jié)構(gòu)很可能會出現(xiàn)裂縫。可見環(huán)境和施工的影響是相互，采取相應(yīng)的環(huán)保措施，并測量現(xiàn)場實(shí)時(shí)溫度，能夠有效提升施工質(zhì)量。

師：現(xiàn)在計(jì)數(shù)器上表示的數(shù)是999，如果我在計(jì)數(shù)器的個(gè)位上再添一個(gè)珠子，是多少呢？

生：就是一千。個(gè)位添1就是十，滿十向十位進(jìn)一，這樣十位也滿十了，再向百位進(jìn)一；百位也滿十了，向千位進(jìn)一，就是一千。

師：我這個(gè)計(jì)數(shù)器上沒有千位，怎么辦？

生：在百位的左面添一位就是千位。

（四）知識梳理，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

學(xué)生學(xué)習(xí)的最終效果是把新知識與舊知識進(jìn)行有效融合，形成知識網(wǎng)。知識的融合，需要對新舊知識進(jìn)行必要的梳理，這樣的梳理過程要成為課堂上學(xué)生經(jīng)常性的思維活動(dòng)，這樣既有利于學(xué)生對新知識的理解，有利于新舊知識的融匯貫通，還有利于學(xué)生知識建構(gòu)能力的培養(yǎng)。在課的結(jié)尾部分也就是學(xué)生已經(jīng)數(shù)出了這個(gè)立體圖形是用999個(gè)小正方體拼成的，教師抓住時(shí)機(jī)順勢添1，再次梳理計(jì)數(shù)單位間的關(guān)系形成完整知識網(wǎng)絡(luò)，詳見教學(xué)片段4。

【教學(xué)片段4】

師：我們把大頭兒子所用的小方塊的個(gè)數(shù)數(shù)出來吧。怎樣數(shù)比較快？

生：先一百一百地?cái)?shù)，再十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)，最后一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)。

師生一起數(shù)，數(shù)到了最后一共數(shù)了999個(gè)。

師：現(xiàn)在如果把剩下的九個(gè)添一個(gè)就是幾個(gè)？（課件演示在9個(gè)小正方體上添1個(gè)小正方體）

生：10個(gè)。

師：再十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)，這樣的十個(gè)就是多少個(gè)？（課件演示十個(gè)、十個(gè)湊成一板）

生：100個(gè)。

師：再接著一百一百地?cái)?shù)，這樣的十個(gè)就是多少個(gè)？（課件演示一板、一板湊成一個(gè)大正方體）

生：1000個(gè)。

師：通過剛才的再回顧，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：十個(gè)一是十，十個(gè)十是一百，十個(gè)一百是一千。

生2：相鄰計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率都是10。

生3：一千里有10個(gè)百，一百里有10個(gè)十，一個(gè)十里有10個(gè)一。

師：這樣的一個(gè)大正方體里面就有一千個(gè)這樣的小正方體，以后看到這樣的正方體就知道它的個(gè)數(shù)是一千。