基于Floquet理論的深水隔水管參激振動(dòng)穩(wěn)定性分析

王文明 郝 逸 范進(jìn)朝 李皓冉 朱霄霄 顧繼俊

中國(guó)石油大學(xué)(北京)機(jī)械與儲(chǔ)運(yùn)學(xué)院, 北京 102249

0 前言

隔水管是海洋鉆井設(shè)備必不可少的裝備,隨著國(guó)家深海戰(zhàn)略的提出,隔水管的工作環(huán)境也將更加復(fù)雜[1-2]。在實(shí)際作業(yè)過(guò)程中,隔水管受到水平方向海洋載荷激勵(lì)發(fā)生橫向振動(dòng),但由于波浪的作用,與隔水管頂部相連的浮體會(huì)有周期性升沉,導(dǎo)致隔水管軸向力周期性改變,從而引發(fā)參激振動(dòng),影響隔水管的使用壽命[3]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)隔水管參激振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究,Park H I等人基于三維有限元方法研究在參數(shù)激勵(lì)和橫向振動(dòng)耦合作用下的隔水管振動(dòng)問(wèn)題,結(jié)果表明組合激勵(lì)的響應(yīng)幅度遠(yuǎn)大于橫向激勵(lì)響應(yīng)幅度[4];Lei Song等人利用偽激勵(lì)法研究了在海洋載荷作用下的隔水管參激振動(dòng)頻域響應(yīng)[5];王宴濱等人利用振型疊加法將隔水管參數(shù)振動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為Mathieu方程,并用攝動(dòng)法對(duì)方程求解,得到隔水管參激振動(dòng)不穩(wěn)定區(qū)[6];唐友剛等人考慮隔水管頂端動(dòng)邊界條件,研究在剪切流作用下參激-渦激耦合振動(dòng)響應(yīng),結(jié)果表明橫向振動(dòng)響應(yīng)頻率存在0.5倍參激亞諧成分[7];李威等人基于DQM方法得到隔水管參激振動(dòng)穩(wěn)定圖,研究阻尼和鉆井液流速對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,結(jié)果表明阻尼越大對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性越好,流速增加會(huì)增加系統(tǒng)失穩(wěn)的風(fēng)險(xiǎn)[8];張杰等人基于Floquet理論分析了隔水管參激特性,考慮軸向力線性變化,模態(tài)出現(xiàn)耦合響應(yīng),結(jié)果表明模態(tài)耦合參數(shù)振動(dòng)的不穩(wěn)定區(qū)顯著增大[9]。

國(guó)外學(xué)者對(duì)隔水管參激振動(dòng)研究是假設(shè)軸向力不變,并且未考慮內(nèi)部鉆井液的作用,一定程度上簡(jiǎn)化了模型,但與實(shí)際工程有一定偏差。本文研究浮體升沉幅值和周期對(duì)隔水管橫向振動(dòng)穩(wěn)定性的影響,假設(shè)軸向力線性變化,考慮鉆井液對(duì)隔水管的作用力,利用微元法建立隔水管橫向振動(dòng)控制方程,基于Floquet理論對(duì)隔水管參激問(wèn)題進(jìn)行研究,得到參激振動(dòng)穩(wěn)定圖。選取不同區(qū)域的浮體升沉周期T和浮體升沉幅值a,計(jì)算隔水管各階模態(tài)隨時(shí)間的變化趨勢(shì),判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。在此基礎(chǔ)上研究阻尼c對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,對(duì)隔水管設(shè)計(jì)過(guò)程中避免參激共振具有一定參考意義。

1 隔水管力學(xué)模型的建立

海洋隔水管系統(tǒng)見(jiàn)圖1,隔水管兩端通過(guò)鉸鏈分別連接鉆井船和海底井口,將隔水管簡(jiǎn)化為兩端鉸接的梁,隔水管自身受到重力、浮力、頂部張緊力以及內(nèi)部鉆井液的作用力,隔水管在海洋載荷作用下會(huì)產(chǎn)生橫向振動(dòng)。

使用微元法對(duì)隔水管進(jìn)行受力分析,建立隔水管橫向振動(dòng)的力學(xué)模型,見(jiàn)圖2。取隔水管微元段ds,根據(jù)隔水管的受力分析,隔水管單位長(zhǎng)度受到軸向力為Frt,彎矩為M,剪力為Frs,浮重為Fw,海洋載荷為Fws和慣性力。

圖1 隔水管系統(tǒng)模型

圖2 隔水管微元受力分析

根據(jù)隔水管微元段受力分析,建立隔水管橫向振動(dòng)控制方程：

(1)

(2)

2 隔水管參激振動(dòng)穩(wěn)定性分析

平臺(tái)在橫向振動(dòng)的同時(shí)還會(huì)隨著海洋載荷進(jìn)行周期性的升沉運(yùn)動(dòng),平臺(tái)周期性升沉運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致隔水管軸向力發(fā)生周期性變化,而軸向力周期性變換可能會(huì)引起對(duì)隔水管不利的參激共振。軸向力包含兩部分:一部分由于重力導(dǎo)致的靜態(tài)軸力和一部分隨平臺(tái)周期性升沉的時(shí)變軸力。要分析時(shí)變軸力引起的參激振動(dòng),首先要提取出隔水管的固有特性。

2.1 隔水管固有頻率提取

(3)

2.2 Mathieu方程建立

建立隔水管的Mathieu方程需要考慮軸向力中的動(dòng)態(tài)軸力[13],假設(shè)動(dòng)態(tài)軸力為簡(jiǎn)諧形式,那隔水管的軸向力為:

(4)

假設(shè)隔水管的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)表達(dá)式如下:

(5)

式中:φi(z)是第i階模態(tài);qi(t)是模態(tài)坐標(biāo)函數(shù),m。

考慮軸向力周期性變化,將隔水管穩(wěn)態(tài)振動(dòng)表達(dá)式x(z,t)帶入隔水管橫向振動(dòng)方程得:

(6)

式(6)與式(3)相減,振型函數(shù)具有正交性,因此對(duì)兩端乘以φj(z)并積分,并考慮阻尼作用,得到隔水管參數(shù)激勵(lì)方程:

(7)

方程(7)屬于Mathieu方程,隔水管的固有頻率與參數(shù)T和a都在Mathieu方程中,采用Floquet理論[17]通過(guò)參數(shù)平面T-a來(lái)研究系統(tǒng)穩(wěn)定性非常方便。即若在T與a的某一定值之下,系統(tǒng)的參激振動(dòng)響應(yīng)無(wú)界,系統(tǒng)發(fā)生參激共振。在參數(shù)平面T-a上,對(duì)應(yīng)發(fā)生參數(shù)共振的點(diǎn)的集合所形成的區(qū)域叫做參激共振區(qū)。

3 算例及影響因素分析

3.1 基于Floquet理論的參激穩(wěn)定性分析

(8)

令Y(t)=[y1,y2,...,y19,y20]T,式(8)寫成Y′(t)=A(t)Y(t),其中A(t)是一個(gè)周期矩陣,自變量為平臺(tái)升沉幅值a和平臺(tái)升沉周期T,采用Floquet理論研究方程穩(wěn)定性[18]。

Floquet理論:對(duì)于式Y(jié)′(t)=A(t)Y(t),有一個(gè)形式為Y(t)=P(t)etR的解,其中P(t)是一個(gè)2N·2N的矩陣,周期為T,R也是一個(gè)2N·2N的常數(shù)矩陣。根據(jù)Floquet理論,總存在一個(gè)常矩陣B,使得Y(t+T)=Y(t)B。因此有B=eTR,通過(guò)求解B或R的特征值便可得出系統(tǒng)的穩(wěn)定性,假設(shè)矩陣B的特征值為λi,穩(wěn)定性判定辦法見(jiàn)表1。假設(shè)初始條件Y(0)=I,利用經(jīng)典四階龍格-庫(kù)塔方法即可求解[19]。

表1系統(tǒng)穩(wěn)定性判定方法

λi是否穩(wěn)定max(λi)>1不穩(wěn)定max(λi)=1臨界穩(wěn)定max(λi)<1穩(wěn)定

選取隔水管計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表2。

表2算例參數(shù)

名稱數(shù)值名稱數(shù)值隔水管總長(zhǎng)/m1 000水深/m1 000隔水管外徑/mm533海水密度/(kg·m-3)1 030隔水管壁厚/mm25.4鉆井液密度/(kg·m-3)800隔水管密度/(kg·m-3)7 850截面慣性矩/mm41.4×108彈性模量/GPa206鉆井液流速/(m·s-1)2頂張力系數(shù)1.2阻尼/(N·s-1·m)0.2

利用Floquet理論求得隔水管參激振動(dòng)不穩(wěn)定區(qū),見(jiàn)圖3。

圖3中橫坐標(biāo)為浮體升沉周期T,縱坐標(biāo)為浮體升沉幅值a,任意周期和幅值代表一組參數(shù)激勵(lì),其中黑色區(qū)域的參數(shù)組合代表為參激不穩(wěn)定區(qū),白色區(qū)域的參數(shù)組合代表為參激穩(wěn)定區(qū)。

圖3 隔水管參激振動(dòng)不穩(wěn)定區(qū)

選取不穩(wěn)定區(qū)參數(shù)a=3,T=22.6;臨界穩(wěn)定區(qū)參數(shù)a=2.3,T=12.2;穩(wěn)定區(qū)參數(shù)a=1,T=7.4。分別求得各區(qū)域前十階模態(tài)時(shí)間歷程曲線,見(jiàn)圖4。

從圖4-a)看出,選擇不穩(wěn)定區(qū)參數(shù)組合,當(dāng)平臺(tái)升沉頻率是一階固有頻率的2倍時(shí),一階模態(tài)被激發(fā)(虛線),隨著時(shí)間的增加,時(shí)間函數(shù)一直無(wú)限增長(zhǎng),引發(fā)參激共振;從圖4-b)看出,選擇臨界穩(wěn)定區(qū)參數(shù)組合,可以看出當(dāng)給定二階臨界穩(wěn)定的參數(shù)激勵(lì),相應(yīng)模態(tài)被激發(fā)(虛線),并一直維持臨界穩(wěn)定狀態(tài)。在阻尼的作用下,其他模態(tài)隨著時(shí)間推移逐漸降低,但由于模態(tài)之間相互耦合,并不會(huì)消失;從圖4-c)看出,選擇穩(wěn)定區(qū)參數(shù)組合,由于阻尼的存在,隨著時(shí)間推移,各階模態(tài)最終消失。

3.2 阻尼對(duì)隔水管參激穩(wěn)定性影響

當(dāng)不考慮阻尼,隔水管參激方程變?yōu)槭?9),利用同樣的方法對(duì)方程降階處理和求解,得到不考慮阻尼的T-a平面,圖5-a)。黑色實(shí)線表示無(wú)阻尼下臨界穩(wěn)定曲線,黑色實(shí)線以上區(qū)域表示不穩(wěn)定區(qū),黑色實(shí)線下方區(qū)域表示穩(wěn)定區(qū)。為了方便比較阻尼對(duì)參激振動(dòng)的影響,圖5-a)中紅色虛線為阻尼c=0.2的臨界穩(wěn)定曲線,可以看出阻尼的存在有效地?cái)U(kuò)大了隔水管參激穩(wěn)定區(qū)域。

為了分析阻尼大小對(duì)穩(wěn)定區(qū)的影響,選取0.2、0.3、0.4、0.5四種阻尼進(jìn)行計(jì)算,得到四種阻尼下的臨界穩(wěn)定曲線,見(jiàn)圖5-b),可以明顯地看出隨著阻尼的增大隔水管參激穩(wěn)定區(qū)增大。

(9)

表3隔水管前十階振動(dòng)參數(shù)

階數(shù)n=1n=2n=3n=4n=5n=6n=7n=8n=9n=10頻率ωn/(rad·s-1)0.140.280.420.570.720.881.051.221.391.57周期/s45.322.4114.8010.988.677.126.015.174.524.00主不穩(wěn)定區(qū)22.6511.207.405.494.333.563.002.592.262.00

a)不穩(wěn)定區(qū)

b)臨界穩(wěn)定區(qū)

c)穩(wěn)定區(qū)

a)有無(wú)阻尼的影響

b)不同阻尼的影響

4 結(jié)論

1)將隔水管系統(tǒng)簡(jiǎn)化為兩段鉸接的梁,采用微元法建立了隔水管橫向振動(dòng)控制方程,考慮隔水管軸向力周期性變化,利用主坐標(biāo)變換法得到隔水管系統(tǒng)的Mathieu方程。

3)阻尼的存在使得隔水管參激穩(wěn)定區(qū)域增加,并且阻尼越大,穩(wěn)定區(qū)越大,因此在設(shè)計(jì)隔水管時(shí)增加橫向振動(dòng)阻尼,在一定程度上可以有效避免參激共振。