用高等數學知識解初等數學題

熊紅英

摘 要：通過分析目前高師數學教育中存在的一些問題，并用例子說明高等數學在初等數學各個領域中的體現，闡述了加強高等數學的學習對提高高校師生數學解題能力起著重要作用，并提出了學習高等數學的一些教學原則。

關鍵詞：高等數學；初等數學；解題能力

高等數學是高等師范院校的主要基礎課之一，由于該學科本身具有高度抽象的特點，往往使學生感到望而生畏，學生總有這樣一個看法，高等數學與初等數學所研究的內容相差甚遠，學習高等數學對將來教初等數學作用不大，總感到用高等數學直接來解決或處理初等數學的問題太少。我們知道，初等數學與高等數學之間無論在觀點還是在方法上都有著很大的區(qū)別。高等數學是初等數學的繼續(xù)和提高，此外，初等數學里的很多遺留問題必須在高等數學中才能得到澄清。

一、注重高等數學對初等數學解題的指導作用，貫徹高、初等數學相結合的原則

（一）高等數學在中學數學理論基礎方面的體現

中學數學教材中的數學知識，由于充分考慮到數學的社會性原則和學生的可接受性原則，往往是以教育形態(tài)（不是學術形態(tài)）的呈現，因此中學數學教材中的一些知識內容不可能嚴謹透徹，例如高中代數中的指數函數y=[ax]（a>0且a≠1），由于中學階段指數概念僅推廣到有理數，而指數函數的定義域是實數集.然而要在中學階段講清這個問題是不大容易的，需要涉及極限理論.事實上，指數函數是群（R，+）到群（[R+]，）的同構映射，且保持序結構。同時，一些重要的數學基本定理，根據其在中學數學中的地位與作用，大都以“公理”的形式直接加以肯定，并予以直觀的描述，嚴格的證明需通過高等數學的知識加以證明和完善.可以說，運用高等數學的知識能將中學數學中不能或很難徹底解決的基本理論加以嚴格地證明；反過來，中學數學中的問題也為高等數學的理論提供可靠的背景和模型。因此，學習和運用高等數學知識可以加深理解中學數學教學內容的安排意圖，有利于提高師生數學解題能力。

（二）初等數學的特殊問題用高等數學一般化來解決

因此，運用高等數學的觀點，對中學數學問題中的疑難問題可以進行直觀的描述，既可體現教學的量力性和直觀性，又不違背教材的科學性。

（三）高等數學往往是初等數學問題的推廣

大量的初等數學問題，其本質都是高等數學中相關知識的特殊情形。因此，在教學中運用高等數學的觀點和方法，指導初等數學問題的解決，有助于開拓高師生的思維品質，不囿于常規(guī)，有利于高師生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)，也有利于高師生解題能力的培養(yǎng)。

以上幾個問題說明，運用高等數學的知識、觀點和方法來處理和解決初等數學教材中的疑難問題及初等數學問題，有著重要的教學價值。

二、加強高初結合的教學原則

如何在高師數學教育中體現師范性，加強高初結合，提高高師學生的數學解題能力，是我們關注的重點之一。高師生必須掌握必要的高等數學知識，尤其要能夠運用現代數學的觀點指導初等數學教學，做到高屋建瓴。為此，筆者認為，在高等數學教學中必須做到以下幾條原則，才能真正加強高初結合，提高師生的數學解題能力。

（一）注重滲透數學思想方法，貫徹理論與實踐相結合的原則

思想方法是對數學知識和方法的本質認識，是數學活動過程中的思想和觀點。在高等數學，自始至終貫穿著動態(tài)或變量的思想、極限思想（無窮小思想）等宏觀科學思想方法，也體現出化歸思想、模型思想、概率思想等一系列的微觀、具體的數學思想方法以及變量等觀點，它是聯系高等數學和初等數學的紐帶。我們在教學中，既要重視中學理論知識的講解，同時，也要注重將這些思想方法滲透到初等數學解題中。例如，我們可以有意識地將初等數學中經典的數學知識如因式分解、等式與不等式證明和函數作圖作為問題

類型的背景，用高等數學知識予以解決。

（二）貫徹高等數學的嚴謹性和教學的量力性相結合原則

由于高等數學知識體系是建立在嚴格的邏輯體系和公理化體系之中，形成了嚴密的數學理論，而初等數學的知識體系，是邏輯體系和心理體系的混合體，由此形成了高等數學和初等數學差異，因此，不能在課堂教學中應過分突出師范性而降低了學科的科學性和系統(tǒng)性，降低學科本身的培養(yǎng)目標，同時，也不能為了追求高等數學學科的嚴謹性而不顧高師生的認知結構.也就是說，要根據高師生的認知發(fā)展水平和思維特點安排高等數學的教學內容。使高初結合的密切程度與高師生的思維發(fā)展相適應，由淺入深、由易到難，循序漸進。當然，要在量力性的前提下，盡可能地使高等數學保持其嚴謹性。

（三）解題技巧與程序訓練相結合的原則

解決問題是數學課程的靈魂，其特點在于技巧性和程式化.數學教學面臨的數量變化課題，必須用靈巧的思維和繁復的計算程序去解決，一方面是靈活機動的創(chuàng)造性思維，一方面是呆板固定的計算公式，兩者缺一不可.因此，我們在高等數學教學中，要鼓勵高師生經常運用高等數學知識解決初等數學問題，使之形成一種程式，在解決初等數學問題時做到水到渠成.因此，在高等數學教學中應當盡力做到解題技巧與程序訓練相結合的原則。

三、結束語

總之，只有加強高初結合，才能真正提高高師生的數學解題能力，從而提高師生的教師素質。同時，扎實的初等數學基礎對學好高等數學也是非常重要的。通過這樣的應用，既可以開拓解題思路，又可以培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題以及綜合運用知識的能力。

參考文獻

[1]王冰潔.高觀點下初等數學問題的解決[J].白城師范學院學報，2002（1）：52-54.

[2]任峰.應用高等數學觀點求解初等數學問題實例[J].高等繼續(xù)教育學報，2011（5）：87-89.