《求解階乘非零位的值》教學(xué)案例

林文英

信息技術(shù)的變革不斷更新著人們的交互方式，大數(shù)據(jù)時代應(yīng)該怎樣培養(yǎng)學(xué)生的信息素養(yǎng)？學(xué)生學(xué)習(xí)信息技術(shù)這門課程之后應(yīng)具備什么樣的能力呢？這些都是值得信息技術(shù)教師思考的問題。筆者認為，要解決這些問題，必須讓學(xué)生主動參與課堂，讓實踐在課堂真實發(fā)生，讓學(xué)生在課堂實踐中培養(yǎng)具有學(xué)科特點的必備品格和能用計算思維解決問題的能力。計算機思維是個體運用計算機科學(xué)領(lǐng)域的思想方法，在形成問題解決方案的過程中產(chǎn)生的一系列思維活動。項目教學(xué)法（Project-learning）是師生通過共同實施一個完整的項目工作而進行的教學(xué)活動，突出實踐在課程中的主體地位，使理論從屬于實踐，在實踐中獲得知識、技能，又讓學(xué)生學(xué)會應(yīng)用能力。這里以階乘的項目教學(xué)為案例，闡述數(shù)據(jù)如何改變思維，計算思維如何走進課堂并真實發(fā)生。

● 活動一：理解問題中的關(guān)鍵詞

高一學(xué)生已經(jīng)具備了網(wǎng)絡(luò)信息檢索的關(guān)鍵技能，能初步完成對題目中的關(guān)鍵概念的探究活動。在活動中，教師充分引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)字化工具完成概念（階乘）的學(xué)習(xí)，通過進一步探究階乘概念形成抽象建模意識。階乘是指從1乘以2乘以3乘以4一直到所要求的數(shù)。一個正整數(shù)的階乘是所有小于及等于該數(shù)的正整數(shù)的積，并且0的階乘為1。自然數(shù)n的階乘寫作n！，轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù)表示為n*（n-1）*（n-2）*（n-3）*…3*2*1，抽象成模型遞歸式即0！=1，n！=（n-1）！×n。

● 活動二：利用計算器分析數(shù)據(jù)

N的取值為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20……50000000。本題（如上圖）中的N值不是一個固定值，學(xué)生在理解了階乘概念之后依然有點無從下手，因為不知道這里的N值會是多少。教師接著引導(dǎo)學(xué)生嘗試利用計算器對前20個數(shù)據(jù)進行處理并觀察分析數(shù)據(jù)：0！=1，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720，7！=5040，8！=40320，9！=362880，10！=3628800，11！=39916800，12！=479001600，13！=6227020800，14！=87178291200，15！=1307674368000，16！=20922789888000，17！=355687428096000，18！=6402373705728000，19！=121645100408832000，20！=2432902008176640000。嘗試1到20之后讓學(xué)生對數(shù)據(jù)結(jié)果進行分析。學(xué)生從枚舉出來的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)特征：（1）除了0和1以外，其他的數(shù)據(jù)都是偶數(shù)。（2）逢N值的末位數(shù)為5時，階乘結(jié)果末尾0的個數(shù)增加1個。（3）數(shù)據(jù)成長得很快，20的階乘值已經(jīng)是一個18位的數(shù)據(jù)，當(dāng)N=50000000時呢？（4）計算器有位數(shù)限制，想通過人工和計算器求解的學(xué)生遇到瓶頸。

● 探究一：利用計算機編程求解問題

學(xué)生對數(shù)據(jù)初步分析、類比之后，順利地轉(zhuǎn)向?qū)で笥嬎闼季S解決問題：先分析階乘問題的特征，抽象建立結(jié)構(gòu)模型0！=1，n！=（n-1）！，再用計算機程序設(shè)計語言實現(xiàn)算法。學(xué)生根據(jù)已有的程序設(shè)計基礎(chǔ)，設(shè)計問題求解方案，為保證取得的末位是非零位，遇有零位的要去零位，即采用取余運算，對每個數(shù)i進行累乘，對乘積s只保留最后一位。

學(xué)生A根據(jù)這一思路編程求解，但在評測時只能拿到29分，為什么呢？因為當(dāng)s的末位數(shù)是2、i末位數(shù)是5時會有進位，如果只取一位最右非零余數(shù)會影響最終的非零取值，如s=92，i=95，92*95=8740末位數(shù)是4，而不是2*95=190中的9。學(xué)生A按照這個思路繼續(xù)改進程序，但結(jié)果全部是錯誤答案，又是為什么呢？程序中考慮了進位的保留問題，但最后輸出結(jié)果保留了最右邊七位非零數(shù)。學(xué)生B采用函數(shù)的結(jié)構(gòu)化程序設(shè)計思路，先求結(jié)果再取第一個非零數(shù)，但同樣沒有滿分。問題在于求解階乘時由于數(shù)據(jù)是爆炸式增長，定義int或者long數(shù)據(jù)類型容易溢出。學(xué)生小組繼續(xù)修改完善程序，一方面考慮到溢出問題，另一方面考慮到進位問題，在不斷的嘗試中發(fā)現(xiàn)，在保留位增加到8位時能通過全部測試數(shù)據(jù)。為什么是8位呢？因為數(shù)據(jù)N最大值是50000000，末尾零不會影響最終結(jié)果，每次乘法運算后可以進行去0操作。

● 探究二：優(yōu)化算法求解問題

學(xué)生將計算思維實現(xiàn)問題求解運用到本項目收集信息、觀察數(shù)據(jù)、設(shè)計求解方案一步步優(yōu)化的實施過程中。根據(jù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的特征做出何時可以模10取非零末位數(shù)的判斷，即乘法運算中只有在乘數(shù)的末位出現(xiàn)5時才會進位影響結(jié)果，末位為其他數(shù)據(jù)時不影響結(jié)果。由于5*2=10，嘗試去掉因子5，再去掉相同個數(shù)的因子2就可以去掉一個末位0，又因2的個數(shù)比5的個數(shù)多，去0后的乘積數(shù)一定是偶數(shù)，那么，末位非零數(shù)只能取2，4，6，8這個四個數(shù)字中的一個。在除去末位2時也需要注意到結(jié)果一定是偶數(shù)，所以當(dāng)末位數(shù)為2時直接將末位借位除2轉(zhuǎn)變?yōu)?，末位數(shù)為6時轉(zhuǎn)變?yōu)?，其他的正常除2，編寫的程序代碼順利通過所有測試點。教師再次引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思維優(yōu)化法，構(gòu)造計算模型求解，分析非零位為偶數(shù)的有2，4，6，8四個數(shù)字，2/2=1為奇數(shù)，為保證末位為偶數(shù)，2借位除2得6，4/2=2，而6/2=3，6借位后除2得8，8/2=4，假設(shè)6在數(shù)組第一個元素，8在第三個元素，2在第二個位置，4在第四個位置，此時通過元素除2做下標(biāo)可以有規(guī)律表示元素，于是初始化數(shù)組b為{6，2，8，4}，去2操作轉(zhuǎn)換為a=b[a/2]，a為正解。也可以利用計算思維構(gòu)造數(shù)組，根據(jù)數(shù)據(jù)規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)四個一循環(huán)，模4也可以求得正解。

● 應(yīng)用拓展：階乘知識的遷移

階乘主要應(yīng)用在排列組合數(shù)的求解中，在現(xiàn)實生活中有啥用途？用偶然性方法去解決確定性計算，如果你想買一種彩票32選7的，你想知道中特等獎的概率1/C（32，7）=7！*（32-7）！/32！，求階乘可用計算機求解。學(xué)生掌握數(shù)字化工具獲取信息，能用計算思維方式思考問題求解方法并遷移到實際生活和學(xué)習(xí)中，激發(fā)繼續(xù)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，強化信息意識和社會責(zé)任感。

● 教學(xué)評價

項目評價時采用多元評價方式，將互評、自評等多種方式相結(jié)合。在活動一中希望達成認識數(shù)字化表示信息的優(yōu)勢和能夠根據(jù)需求選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)字化工具獲取信息的目標(biāo)，評價主要依據(jù)學(xué)生獲取概念的時間和結(jié)果等信息；在活動二中希望達成提取問題的基本特征，分析數(shù)據(jù)進行抽象處理，并用形式化的方法表述問題的活動目標(biāo)，主要對學(xué)生的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)、觀察結(jié)果、提出的設(shè)想等數(shù)據(jù)處理能力進行評價；在探究一中希望達成使用編程語言，進行模塊化、系統(tǒng)化設(shè)計算法解決問題的目標(biāo)，對學(xué)生的算法設(shè)計、程序編寫以及問題解決情況、活動中參與討論的情況進行評價；在探究二中希望達成采用恰當(dāng)?shù)姆椒ǖ鷥?yōu)化解決方案的目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生從創(chuàng)意性、可行性等方面進行調(diào)適和改進，對完成程序作品開展成果交流評價；在應(yīng)用拓展模塊希望學(xué)生達成將所學(xué)知識和方法遷移到學(xué)習(xí)和生活的其他相關(guān)問題的解決過程中的目標(biāo)。

通過人機交互完成輸入和輸出，程序求解過程類似黑箱操作，問題的人工求解轉(zhuǎn)化為只需輸入便能快速得出結(jié)果的計算機求解。活動二讓學(xué)生參與對數(shù)據(jù)的分析觀察，并對觀察結(jié)果提出假設(shè)，在數(shù)據(jù)的作用下循序漸進地挖掘問題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)變學(xué)生思考問題的方式，綜合運用數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)理論和數(shù)據(jù)處理工具將人工解題轉(zhuǎn)化為計算機解題，讓計算思維走進課堂教學(xué)。探究一和探究二采用計算機科學(xué)領(lǐng)域的思想方法界定問題，抽象問題特征，建立結(jié)構(gòu)模型，判斷、分析、類比各種信息資源，運用合理的算法形成解決問題的方案，這一系列思維過程實現(xiàn)了“數(shù)據(jù)改變思維，計算走進課堂”的項目核心目標(biāo)。在評價過程中，用成長型思維評價學(xué)生，結(jié)合學(xué)生的日常學(xué)習(xí)表現(xiàn)、知識與技能的掌握情況，以及是否經(jīng)過努力可達成目標(biāo)全面評價學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)水平。

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