類比方法：科學(xué)知識(shí)的拓展

吳以義

確定兩個(gè)靜電荷之間作用力大小的定律，是法國(guó)人查理·奧·庫(kù)倫1777年提出來(lái)的。如果是單位電荷，則可以簡(jiǎn)單地說(shuō)，f∝1/r2，即力和電荷間距離的平方成反比。

庫(kù)倫出生在外省，1758年遷居巴黎。一年后考入皇家軍事工程學(xué)院，學(xué)習(xí)土木工程。畢業(yè)后被派到法國(guó)在加勒比海的海外省馬提尼克。庫(kù)倫在那兒負(fù)責(zé)修建工事，一忙就是8年，最終因?yàn)榻】翟蚧貒?guó)。生活漸趨安定，而又無(wú)碉堡要塞可造，庫(kù)倫遂潛心研究他所稱的“物理問題”。

在稍早的文章中，庫(kù)倫記錄了11項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，報(bào)告了幾年來(lái)他對(duì)金屬絲和扭力的關(guān)系所做的研究。由此得到的關(guān)于金屬材料的知識(shí)，幫助他發(fā)明了一種“秤”，可以用來(lái)測(cè)量非常小的力。1785年，在一系列7篇論文的第1篇中，庫(kù)倫描述了他利用扭力秤測(cè)量同性靜電荷之間的斥力的3次實(shí)驗(yàn)。在第1次試驗(yàn)中，兩球之間的斥力造成的偏轉(zhuǎn)是36°，利用扭力秤，庫(kù)倫得出這一偏轉(zhuǎn)所相當(dāng)?shù)淖饔昧?/3 400的“格雷姆”，1“格雷姆”約為 0.064 8克。第2次取18°，這時(shí)“兩球的距離只是第1次的一

半，可是后者的斥力卻4倍于前者”。在第3次試驗(yàn)中，兩球相距只有8.5°，結(jié)果全部扭力4倍于第2次試驗(yàn)，而第3次試驗(yàn)中兩球的距離，則比第2次試驗(yàn)的距離的一半還少半度……這3次試驗(yàn)的結(jié)果說(shuō)明，兩球帶有同性電以后，它們之間的斥力，與兩球距離的平方成反比。

毫無(wú)疑問，這是精密的實(shí)驗(yàn)，得力于庫(kù)倫創(chuàng)制的精密的扭力秤，庫(kù)倫由此名垂史冊(cè)。問題是，這就是證明嗎？的確是，刊登在1788年《法蘭西科學(xué)院研究報(bào)告》的第578頁(yè)上。但是，這兒一共只列舉了3次實(shí)驗(yàn)，而且第3次中的重要參數(shù)8.5°較之他談?wù)摰摹耙话搿边€差半度，幾乎差了5.5%，“平方反比”的基礎(chǔ)真如我們所相信的那么可靠嗎？

庫(kù)倫以降，歷代物理學(xué)家力圖通過實(shí)驗(yàn)來(lái)夯實(shí)這兒“平方反比”的基礎(chǔ)，其中最重要的成果可簡(jiǎn)略地臚列如下：

原來(lái)，我們所謂的“平方反比”，最初是通過實(shí)驗(yàn)建立起來(lái)的。那么庫(kù)倫為什么有信心馬上認(rèn)定指數(shù)是2，而不是2.1或1.9呢？庫(kù)倫沒有回答這個(gè)問題。他不是理論家，他所受的教育是軍事工程，他的強(qiáng)項(xiàng)是動(dòng)手干。

庫(kù)倫去牛頓逝世約50年，這時(shí)歐陸的物理學(xué)，正籠罩在牛頓的輝煌之中。按牛頓，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的萬(wàn)有引力和它們之間的距離成平方反比。既然引力有如此關(guān)系，而靜電荷實(shí)驗(yàn)的實(shí)測(cè)又差不多是2，那么假定它為2應(yīng)當(dāng)不致大錯(cuò)，這大概就是庫(kù)倫的邏輯了。這種推理方法常被稱為“類比”—— “既屬同類，自當(dāng)可比”之謂也。

那么，向前倒溯，牛頓的平方反比又是從哪里來(lái)的呢？牛頓說(shuō)，早在1666年，他就 ——

物理學(xué)家 實(shí)驗(yàn)?zāi)甏?指數(shù)2的可能誤差C. A. Coulomb 1777 ±4x 10-2 J. C. Maxwell & D .M. MacAlister 1873 4.9x 10-5 S. J. Plimpton&E. Lawton 1936 2.0x 10-9 D. F. Bartlett & P. E. Goldhageb 1970 1.3x 10-13 E. R. Williams，經(jīng) L. P. Fulcher 重算 1985 1.2 x 10-16

從開普勒關(guān)于行星公轉(zhuǎn)周期同它們到各自軌道中心的距離成3/2次方比的定律中推出，把行星保持在它們的軌道上的力必與它們繞之旋轉(zhuǎn)的中心到行星的距離的平方成反比……

這是牛頓50多年以后的回憶，不太準(zhǔn)確：可能因?yàn)槟昃枚：赡芤驗(yàn)樘摌s而夸大。的確，1665—1666年間的一份手稿表明，牛頓利用開普勒第三定律即 r3∝T2和惠更斯的離心力公式 f ∝v2/r，得到過 f∝1/r2，這兒r是行星距其環(huán)繞的中心天體的距離，T是運(yùn)行周期，v是其運(yùn)行的線速度，常為 2πr/T。但是，行星運(yùn)行的真實(shí)情形并非如此簡(jiǎn)單—— 遠(yuǎn)非如此。要證明天體之間的萬(wàn)有引力是依平方反比作用的，牛頓還有很長(zhǎng)的路要走，其中有好幾個(gè)棘手的問題。

首先，牛頓的簡(jiǎn)單優(yōu)美的數(shù)學(xué)推演是對(duì)圓軌道而言的，要把這一結(jié)論擴(kuò)展到橢圓軌道，絕非易事；為此，他還要花將近10年的時(shí)間去發(fā)展必要的數(shù)學(xué)工具。其次，他還要證明對(duì)于理論計(jì)算而言，可以假定天體的全部質(zhì)量都集中在其中心的一個(gè)點(diǎn)上，這對(duì)于定義問題中至關(guān)重要的“距離”當(dāng)然是必不可少的。再次，計(jì)算中涉及的一系列數(shù)據(jù)，如月地距離，尚自遠(yuǎn)未準(zhǔn)確測(cè)得，致使計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)測(cè)得的實(shí)際數(shù)值，相差大至15%，并不如牛頓所稱的“密合”，也談不上“驗(yàn)證”。至此，我們只能說(shuō)，牛頓1666年的筆記和他1718年的回憶，實(shí)際上是從圓軌道和開普勒定律導(dǎo)出平方反比的特例。他的成績(jī)雖然確乎穎異，但如何把它推廣為普適的定律，尚需時(shí)日。

1670年代好像有些沉寂。1679年，羅伯特·胡克接任皇家學(xué)會(huì)的秘書，寫信給牛頓，重提引力作用問題。胡克常被稱為當(dāng)時(shí)僅次于牛頓的實(shí)驗(yàn)物理大師，成果豐碩，但其為人行事令人討厭殊甚。這倒不只是他形容猥瑣，言語(yǔ)傲慢，而是他處處與人爭(zhēng)功，掠人之美。在1679年12月13日給胡克的信中，牛頓以引力是“均勻作用的”為基本假定，測(cè)算了墜向地心的重物的下落軌跡。胡克立即在次年1月3日的回信中糾正說(shuō)，重力作用應(yīng)該是平方反比的；他沒有給出證明，但信心滿滿，好像引力必定是如他所說(shuō)的作用一樣。兩個(gè)星期之后，胡克再次窮追猛打，指責(zé)牛頓的“均勻作用”，強(qiáng)調(diào)“平方反比”。但是他的數(shù)學(xué)能力也讓他走到了頭：他始終無(wú)法證明他已經(jīng)猜到的結(jié)論，最終只好把完成這份“天文學(xué)的至高成就”的光榮讓給

了牛頓，請(qǐng)求后者用“絕妙的方法”算出在引力作用下天體運(yùn)行的軌道。

既然他沒有能力證明“平方反比”，又是什么讓胡克對(duì)此篤信不疑呢？他自己解釋道，這是來(lái)自對(duì)光的研究：

接下來(lái)是兩條偉大的運(yùn)動(dòng)定律的描述…… 第一條關(guān)于光，第二條關(guān)于重力。

為什么單列這兩條呢？胡克引《創(chuàng)世記》說(shuō)，上帝先是創(chuàng)造了光，然后是大地—— 這是創(chuàng)世最初3天的事，而與之相連接的作用，就是光和重力?！斑@兩種力量似乎構(gòu)成了世界萬(wàn)物的靈魂……沒有任何一事不在一定程度上兼有兩者……”“光的傳播是物體的作用，不是神靈，光的作用在傳播中是一種和距離成平方反比的擴(kuò)展……其他有形物體的作用一樣遵從相同的定律……”

容易證明，在包圍光源的球面上，光的強(qiáng)度的確是隨球的半徑的平方衰減的；但從光強(qiáng)度和距離的平方反比直接得出了引力的作用也是平方反比，胡克的類比邏輯在現(xiàn)代讀者看來(lái)卻多少有些匪夷所思。在他那兒，這一跳躍的基礎(chǔ)是神的創(chuàng)造：神在創(chuàng)世時(shí)一口氣造了光和陸地，它們的運(yùn)作應(yīng)該是一樣的。說(shuō)實(shí)在的，在他那時(shí)候，胡克還真不是奇葩。先胡克30年，1645年，法國(guó)人布里阿就作過相似的類比：

太陽(yáng)得以挾持眾行星的力量…… 變得越來(lái)越弱，巨大的距離，或者叫間隔，消弱了它，而它減弱的速率和光的情形一樣，即以平方的方式，反比于距離 ……

胡克知道布氏，但在談?wù)摴夂鸵Φ念惐葧r(shí)，沒有明白地引述他，所以倒也不好斷言他們是否有承繼關(guān)系，牛頓倒確實(shí)提到過布氏的“平方反比”。由庫(kù)倫到牛頓到胡克和布里阿，這些類比的基礎(chǔ)是什么呢，或者說(shuō)，推理的這一連串的飛躍是如何實(shí)現(xiàn)的呢？

牛頓面對(duì)的是整個(gè)大自然。在他看來(lái)，正如他后來(lái)多次強(qiáng)調(diào)的，“自然本來(lái)就是和諧的”，種種類比的基礎(chǔ)正在“自然現(xiàn)象相通相聯(lián)”的信念之上。但在另一方面，盡管類比方法在開拓視野，啟迪神思上屢屢奏效，對(duì)于精密實(shí)證科學(xué)而言，經(jīng)驗(yàn)和觀測(cè)，當(dāng)然仍占據(jù)了更加基礎(chǔ)的位置。這正是牛頓之所以為牛頓：從他后來(lái)撰寫的《原理》的邏輯結(jié)構(gòu)，這一考量清晰可見。作為討論的出發(fā)點(diǎn)，牛頓列出了6項(xiàng)“現(xiàn)象”，包括開普勒3/2定律，而平方反比并不在其中。上文我們提到過的從3/2定律導(dǎo)出平方反比，正是牛頓走的路?！对怼返?篇定理11所做的，正是由橢圓軌道和開普勒定律出發(fā)推導(dǎo)出向心力的平方反比作用方式。有趣的是，1684年秋，哈雷造訪牛頓，代皇家學(xué)會(huì)同仁向牛頓提出的問題是，如何求出物體在平方反比作用力支配下的運(yùn)動(dòng)軌跡，而這也常被稱作是牛頓撰著的肇始。但在這本大書里，牛頓只證明了沿圓錐曲線運(yùn)行的物體受到的向心力是平方反比的，而非相反—— 平方反比始終沒能成為推理的出發(fā)點(diǎn)。