線性二次型調(diào)節(jié)器算法研究

朱云昊，湯衛(wèi)紅

（海裝西安局 西安 710068）

0 引言

四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、輕便易攜帶、能垂直起降、自由度高，是一種良好的驗(yàn)證飛行控制算法的平臺(tái)，無(wú)人機(jī)飛行控制系統(tǒng)是其能夠安全、有效地完成復(fù)雜戰(zhàn)術(shù)、戰(zhàn)略使命的基本前提，因此，研究無(wú)人機(jī)的自動(dòng)飛行控制技術(shù)具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。目前線性二次型調(diào)節(jié)器（LQR）在處理可精確數(shù)學(xué)描述的對(duì)象時(shí)取得了很大的成功，在提高飛行控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性方面能發(fā)揮較大作用。

1 線性調(diào)節(jié)器方程

其中，x為n維狀態(tài)向量；u為r維控制向量，且u不受限制。尋找一個(gè)最優(yōu)控制，使

為極小。

其中，F(xiàn)為n?n對(duì)稱半正定常數(shù)陣；Q(t)為n?n對(duì)稱半正定時(shí)變陣。R(t)為n?n對(duì)稱正定時(shí)變陣。求解這個(gè)最優(yōu)控制問(wèn)題，可以用極小值原理，也可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法。這里用極小值原理來(lái)求解。

1.1 極小值原理求解

（1）哈密頓函數(shù)為

（2）伴隨方程為

（4）將u*代入狀態(tài)方程得

初始狀態(tài)為x(t0)

1.2 另外一種求解方式：Riccati微分方程[1]

設(shè)

其中，P(t)為待定的n?n時(shí)變陣。

稱為Riccati微分方程。其邊界條件為

狀態(tài)反饋的閉環(huán)方程為

最優(yōu)性能指標(biāo)為

2 線性伺服機(jī)方程

要求系統(tǒng)的輸出跟蹤指定的輸入函數(shù)η(t)。η(t)與輸出向量y有相同維數(shù)。尋求最優(yōu)控制u*(t)，使以下性能指標(biāo)取極小值[2]。

2.1 極小值原理求解

性能指標(biāo)中的加權(quán)陣F和Q(t)為半正定，R(t)為正定。

控制方程為

邊界條件為

2.2 另外一種求解方式：Riccati微分方程

這時(shí)不能像線性調(diào)節(jié)器那樣，僅認(rèn)為λ(t)和x(t)有關(guān)系。為此，設(shè)

對(duì)t求導(dǎo)：

最優(yōu)控制

可見(jiàn)，u*包括兩項(xiàng)：一項(xiàng)是狀態(tài)x反饋；另一項(xiàng)代表跟蹤η(t)所必須的控制信號(hào)。

線性時(shí)變系統(tǒng)·方程

系統(tǒng)能控的條件下，無(wú)限時(shí)間伺服機(jī)問(wèn)題的最優(yōu)控制解存在，并且可以通過(guò)有限時(shí)間伺服機(jī)問(wèn)題的解取tf→∞的極限求得。于是

最優(yōu)控制

3 算法的解釋[3]

系統(tǒng)的協(xié)態(tài)方程為

橫截條件：

轉(zhuǎn)移矩陣?(t,t0)，該齊次方程組滿足初始條件λ(t)=p(t)x-ξ(t)

將?(t,t0)2n*2n分為四個(gè)n?n的子矩陣，可以得到

可以得到：

令

所以λ(t)=p(t)x-ξ(t)。

4 線性二次型框圖

輸入的控制量與反饋的狀態(tài)之間會(huì)有一定誤差e，通過(guò)LQR控制使得誤差e保持在最小，使輸出狀態(tài)與預(yù)期盡可能保持一致，求出最優(yōu)控制u，使誤差取最小值[4]。

圖1 LQR控制框圖

5 小結(jié)

本文詳細(xì)的描述線性二次型調(diào)節(jié)器的基本原理及算法，從算法的構(gòu)造，推導(dǎo)，解算，解釋等幾個(gè)方面，結(jié)合線性二次型的分類，說(shuō)明了該算法的詳細(xì)流程。結(jié)合原理，畫出了線性二次型的基本結(jié)構(gòu)框圖。