計(jì)算教學(xué)的實(shí)踐與思考

摘 要：高質(zhì)量的計(jì)算，對(duì)問題的解決至關(guān)重要，對(duì)揭示問題本質(zhì)大有裨益。除記憶常用結(jié)果之外，合理分析問題，找到合適算法，針對(duì)性的提高計(jì)算效率。

關(guān)鍵詞：計(jì)算；整式；算法

計(jì)算，是按照一定的規(guī)則對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換的過(guò)程，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必不可少的部分。高質(zhì)量的計(jì)算，不但對(duì)問題的解決至關(guān)重要，對(duì)揭示問題本質(zhì)也大有裨益。所謂高質(zhì)量，一是算的快，即數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換要快，二是算得準(zhǔn)，也就是對(duì)量的選擇到位，規(guī)則使用恰當(dāng)。為使學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行又快又準(zhǔn)的計(jì)算，教師應(yīng)當(dāng)充分利用日常的教學(xué)素材，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，不時(shí)加以引導(dǎo)，提煉甚至安排一定的訓(xùn)練。如此這般，日積月累，不但能拓展知識(shí)的適用范圍，更可以提高學(xué)生計(jì)算興趣，加快運(yùn)算速度，提升計(jì)算水平。

要算的快，首先是要記住一些常見的運(yùn)算結(jié)果，記得越多，計(jì)算也越快。就好像有的同學(xué)熟記19×19乘法口訣表，無(wú)疑比只記9×9乘法口訣表的同學(xué)在乘法運(yùn)算中有更大的優(yōu)勢(shì)。通過(guò)數(shù)的分類，學(xué)生會(huì)意識(shí)到整數(shù)，特別是質(zhì)數(shù)是所有實(shí)數(shù)的關(guān)鍵內(nèi)核。無(wú)論心算，口算，整數(shù)是計(jì)算的基本元素。而很多速算正是建立在整數(shù)速算的基礎(chǔ)之上。所以，如果要提升計(jì)算的速度，應(yīng)當(dāng)要求學(xué)生多記憶一些整數(shù)的運(yùn)算結(jié)果。以平方關(guān)系為例，如：

（1）平方數(shù)：121=112，144=122，…，361=192

（2）勾股數(shù)：32+42=52，52+122=132…

（3）斐波那契數(shù)列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…

平方數(shù)在乘法運(yùn)算中往往起到“橋梁”的作用，一些運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為平方數(shù)的計(jì)算。比如，借助平方差公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，則26×24=（25+1）（25-1）=252-1=624；又如斐波那契數(shù)列中每個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積少1，這就幫助我們將一些計(jì)算轉(zhuǎn)換到平方數(shù)的運(yùn)算上了。

要算的快，其次是要會(huì)從更高的整式運(yùn)算來(lái)看待整數(shù)運(yùn)算。

在完成整式的學(xué)習(xí)之后，可以列舉一些網(wǎng)紅算法，增加學(xué)生計(jì)算興趣，加深對(duì)計(jì)算步驟的理解。

比如對(duì)“頭同尾合十”的兩位數(shù)乘法

35×35=（3×3+3）×100+5×5=1225

61×69=（6×6+6）×100+1×9=4209

即十位相同的兩位數(shù)相乘時(shí)，若個(gè)位之和為10，則將十位上的兩數(shù)相乘后加上頭數(shù)，結(jié)果作為前兩位（或一位），個(gè)位直接相乘作為后兩位（不足兩位十位記0，如上例）。

又如對(duì)“尾同頭合十”的兩位數(shù)乘法

28×88=（2×8+8）×100+8×8=2464

33×73=（3×7+3）×100+3×3=2409

即個(gè)位相同的兩位數(shù)相乘時(shí)，若十位之和為10，則將十位上的兩數(shù)相乘后加上尾數(shù)，結(jié)果作為前兩位，個(gè)位直接相乘作為后兩位。

再比如

96×97=（100-3-4）×100+（100-96）（100-97）=9312

即兩個(gè)90～100的兩位數(shù)相乘時(shí)可采用上述辦法來(lái)進(jìn)行速算。

借助多項(xiàng)式乘法的學(xué)習(xí)，學(xué)生很容易找到如上巧算合理的原因。通過(guò)式的學(xué)習(xí)再回歸數(shù)的計(jì)算，觀點(diǎn)更高，解法更妙。通過(guò)引導(dǎo)，學(xué)生在計(jì)算時(shí)會(huì)更自然地從整式角度去看待數(shù)的運(yùn)算。

要算的快，還要會(huì)考慮計(jì)算量的精簡(jiǎn)，也就是上升到算法。在數(shù)學(xué)中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟。在正確解決問題的前提下，如何讓運(yùn)算更為高效，是非常實(shí)在而且時(shí)髦的問題。

例1 已知一個(gè)5次多項(xiàng)式為f（x）=4x5+2x4+3x3+x2+5x+6，請(qǐng)計(jì)算這個(gè)多項(xiàng)式當(dāng)x=5時(shí)的值。

如果直接把5代入多項(xiàng)式f（x），計(jì)算各項(xiàng)的值，然后把它們加起來(lái)。這時(shí)，即使我們保留低次冪運(yùn)算的結(jié)果，我們至少還要做8次乘法運(yùn)算，5次加法運(yùn)算。若借助秦九昭算法，將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為f（x）=（（（（4x+2）x+3）x+1）x+5）x+6，按照從內(nèi)到外的順序，依次計(jì)算當(dāng)x=5的值，我們一共做了5次乘法，5次加法。很明顯，當(dāng)我們改變計(jì)算次序后，計(jì)算效率得到了提升。

例2 甲乙丙丁4個(gè)人和一只猴子來(lái)到一個(gè)島上，他們看到一堆椰子，于是4個(gè)人便平分了這堆椰子，恰好多出1個(gè)給了猴子。晚上，甲起來(lái)把他自己的那份給吃了，把剩下的3份又平均分成4份，又把多出的1個(gè)給了猴子；之后乙也起來(lái)把屬于他的那份吃了，也把剩下的3份分成4份，也多出1個(gè)給了猴子；后面丙丁也都起來(lái)依次做了相同的事，每次都剩1個(gè)給猴子，請(qǐng)問這堆椰子最少有多少個(gè)？

這類問題實(shí)質(zhì)上是給出函數(shù)f（x）=px+q，通過(guò)分析f（f（f（f（f（x）））））的解析式特征，求得滿足要求的最小整數(shù)問題。在復(fù)合次數(shù)比較高時(shí)，直接代入就會(huì)顯得麻煩。面對(duì)多次迭代，我們可以考慮將式子變形為f（x）=p（x+u）-u，其中u為方程pu-u=q的解。如此變形之后，因?yàn)槭阶又械膗前后相消，迭代并不會(huì)帶來(lái)更多的項(xiàng)，從而能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算，讓計(jì)算結(jié)果的特征更為明顯。通過(guò)這一算法的改變，計(jì)算變得更為快捷。

平時(shí)還有很多問題，值得我們引導(dǎo)學(xué)生去思考更好的算法。如在求兩個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)問題上，可以讓學(xué)生依據(jù)具體的問題，比對(duì)是采用輾轉(zhuǎn)相除法（歐幾里得算法）快些還是更相減損術(shù)更快一些。

要算得準(zhǔn)，需要學(xué)生正確理解問題，找到問題關(guān)鍵，去粗取精，化繁為簡(jiǎn)。

例3 已知鹽水若干千克，第一次加入一定量的水后，鹽水濃度變?yōu)?%，第二次加入同樣多的水后，鹽水濃度變?yōu)?%，則第三次再加入同樣多的水后鹽水濃度為 。

這個(gè)問題我們可以借助式子來(lái)分析。將兩種不同濃度的同種溶液（濃度分別為a、b，質(zhì)量分別為A、B）混合，得到的混合溶液濃度為r=（Aa+Bb）/（A+B），化簡(jiǎn)得（r-b）/（a-r）=A/B，即將混合前兩種溶液的濃度和混合后的濃度交叉做差后得到的比值與這兩種溶液的質(zhì)量之比相等（計(jì)算過(guò)程可以借助十字相乘法操作）。所以視水為0%濃度的溶液，6%的溶液與一次加入的水質(zhì)量之比為（4%-0%）∶（6%-4%）=2∶1，即每2+1=3份濃度為4%的溶液加入1份水，濃度變?yōu)?%×3÷（3+1）=3%。

該問題的解決，借助濃度定義，找到了濃度變化關(guān)系，回避了原有溶液質(zhì)量的假設(shè)，直接對(duì)關(guān)鍵的濃度進(jìn)行計(jì)算，很快得到了答案，可謂去粗取精。

計(jì)算直接關(guān)系到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，關(guān)系到學(xué)生解題速度和正確率。教師在日常教學(xué)中，對(duì)學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)。第一是要長(zhǎng)期堅(jiān)持。計(jì)算對(duì)許多人來(lái)講，都是一個(gè)難題，過(guò)程馬虎，錯(cuò)誤率高。特別是對(duì)剛進(jìn)初中的學(xué)生，隨著數(shù)系的擴(kuò)大，僅僅因?yàn)椴皇炀毦蛯?dǎo)致諸如抄寫錯(cuò)誤等情況時(shí)有發(fā)生。好的計(jì)算習(xí)慣的養(yǎng)成，是一個(gè)長(zhǎng)期的，漸進(jìn)的，反復(fù)的過(guò)程，教師要多鼓勵(lì)學(xué)生，師生共同堅(jiān)持才能成功。第二是要循序漸進(jìn)，不求立竿見影。如前文所提，剛開始學(xué)生能嘗試著把一些常見的計(jì)算結(jié)果記住就相當(dāng)不錯(cuò)。隨著學(xué)習(xí)的深入，才能有意識(shí)地將一些計(jì)算轉(zhuǎn)化為熟悉的運(yùn)算，從而提高運(yùn)算速度。隨著接觸到的方法越來(lái)越多，才能逐步了解不同算法背后的內(nèi)在邏輯，體會(huì)各種算法的精妙所在。學(xué)無(wú)止境，計(jì)算也是如此。第三是要反復(fù)滲透。操千曲而后曉聲，觀千劍而后識(shí)器。中學(xué)教學(xué)中，有各種各樣的例題、練習(xí)題呈現(xiàn)，無(wú)一不用到計(jì)算。方法是手段，思想是靈魂。源于問題而又高于問題的算法思考是一種隱性的數(shù)學(xué)知識(shí)，需要在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中感悟和積累。教師的適時(shí)點(diǎn)播，一來(lái)能對(duì)學(xué)生產(chǎn)生潛移默化的影響，二來(lái)會(huì)起到醍醐灌頂?shù)淖饔?，激起學(xué)生思維的漣漪，起到一語(yǔ)驚醒夢(mèng)中人的效果。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）要求學(xué)生掌握好相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能。計(jì)算就是基本技能之一。進(jìn)入信息時(shí)代之后，大家越來(lái)越重視數(shù)據(jù)。有了數(shù)據(jù)，還要依靠計(jì)算?！霸朴?jì)算”越來(lái)越深刻地改變著我們的世界。提高學(xué)生的計(jì)算能力，即是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)也是時(shí)代的要求。而我們的中學(xué)教材，也提供了提升計(jì)算的不少素材。只要多挖掘，多引導(dǎo)，適當(dāng)?shù)挠?jì)算教學(xué)有助于拓寬學(xué)生的解題思路，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)問題條件和結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)，也有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

愛因斯坦有句名言：“美，本質(zhì)上終究是簡(jiǎn)單性。”學(xué)生在對(duì)計(jì)算追求簡(jiǎn)化的過(guò)程中，會(huì)發(fā)現(xiàn)一些奇妙的規(guī)律。在不同的問題中，計(jì)算形式多種多樣，紛繁復(fù)雜，如果能引導(dǎo)學(xué)生從更高的觀點(diǎn)，從差異中看到統(tǒng)一，從通性通法中發(fā)現(xiàn)特例，不僅能提升解題的能力，更能從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美，計(jì)算之美。

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作者簡(jiǎn)介：

徐羽，浙江省杭州市，浙江體育職業(yè)技術(shù)學(xué)院。