基于應(yīng)力松弛試驗(yàn)的人牙周膜五參數(shù)粘彈性模型構(gòu)建

吳斌，鹿如鑫，嚴(yán)斌，謝理哲，趙思雨，黃輝祥，楊宇，湯文成

(1.南京林業(yè)大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，江蘇 南京 210037；2.南京醫(yī)科大學(xué) 口腔疾病研究江蘇省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室/南京醫(yī)科大學(xué)附屬口腔醫(yī)院 正畸科，江蘇 南京 210029；3.南京工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 211167； 4.東南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 211189)

獲得牙周膜在矯治力作用下的響應(yīng)是研究正畸過(guò)程中牙齒移動(dòng)機(jī)制的關(guān)鍵。受制于人體口腔特殊環(huán)境，直接測(cè)量牙周膜受力后的應(yīng)力應(yīng)變尚無(wú)法實(shí)現(xiàn)，數(shù)值仿真成為重要手段[1]。但是，牙周膜厚度為0.15～0.38 mm[2]，主要由膠原纖維(占53～74%)、細(xì)胞、血管(占1～2%)和基質(zhì)組成[3]，復(fù)雜的內(nèi)部構(gòu)成導(dǎo)致目前尚無(wú)公認(rèn)的、能準(zhǔn)確描述其力學(xué)特性的材料模型，直接影響了仿真的精確度。合理的材料模型的建立依賴(lài)于完善的力學(xué)實(shí)驗(yàn)，已有的一些實(shí)驗(yàn)[4- 10]雖然表明了牙周膜具有典型的非線性粘彈性特征，但多為動(dòng)物實(shí)驗(yàn)[11- 13]，數(shù)據(jù)存在較大偏差，且沒(méi)有獲得具體的模型參數(shù)。人體牙周膜的相關(guān)試驗(yàn)尚處于探索階段，以靜態(tài)試驗(yàn)為主，尚未見(jiàn)基于時(shí)間相關(guān)性的專(zhuān)用于描述其粘彈性特征的實(shí)驗(yàn)。作者通過(guò)對(duì)人體牙周膜切片進(jìn)行應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)獲得其松弛模量曲線，再基于粘彈性理論構(gòu)建了一個(gè)五參數(shù)固體粘彈性本構(gòu)模型，來(lái)描述其粘彈性力學(xué)行為中的應(yīng)力松弛效應(yīng)，并求解了模型的具體參數(shù)。

1 材料和方法

1.1 樣本制備

實(shí)驗(yàn)用6例上頜前牙牙周膜樣本取自人頜骨[尸體樣本來(lái)自南京醫(yī)科大學(xué)解剖學(xué)系(南京醫(yī)科大學(xué)倫理審核(2015)169號(hào))]。制作切片前記錄樣本來(lái)源、患者年齡、性別等，去除附著在人頜骨的軟組織備用。樣本來(lái)源于1986年男性尸體，無(wú)牙周病史。由于人牙與動(dòng)物牙齒比較相對(duì)較小，如果選用多牙根的磨牙，不易制作出樣本，且樣本不易夾持，故一般選用單牙根的中切牙或側(cè)切牙。樣本制備流程如下：(1)分離目標(biāo)牙齒并盡量保持牙齒周?chē)难啦酃峭暾?，如圖1a。(2)使用慢速骨鋸垂直于牙長(zhǎng)軸，在牙槽嵴附近將牙冠部分切除，同時(shí)在牙根尖部位垂直于牙長(zhǎng)軸將牙根以下部分切除。根據(jù)牙齒實(shí)際長(zhǎng)度，將同顆牙齒切成3份薄片，如圖1b，并記錄薄片具體位置(根頸部、根中部、根尖部)，得到的薄片如圖1c所示。(3)平行于牙長(zhǎng)軸方向?qū)⒈∑懈顬樾【匦螇K，如圖1d虛線所示。將切割好的樣本置于生理鹽水中，-20 ℃條件下保存。實(shí)驗(yàn)當(dāng)天從冷凍室中取出樣本于室溫下解凍，如圖1e，并用電子千分尺測(cè)量試驗(yàn)樣本的精確尺寸。本研究使用的所有試樣在試驗(yàn)期間均只冷凍和解凍1次，以保持樣本的機(jī)械性能[13]。制作好的人牙周膜樣本包含牙齒、牙周膜和牙槽骨3部分，牙齒和牙槽骨端作為夾持端，以便于單軸拉伸實(shí)驗(yàn)的進(jìn)行。樣本信息如表1所示。

1.2 實(shí)驗(yàn)裝置

本試驗(yàn)儀器選用微機(jī)控制電子萬(wàn)能材料實(shí)驗(yàn)機(jī)[CTM2010，協(xié)強(qiáng)儀器制造(上海)有限公司]。由于樣本尺寸較小，安裝時(shí)需小心輕柔以免損壞樣本，將樣本的牙槽骨端和牙齒端在試驗(yàn)機(jī)夾具的固定端夾緊，露出牙周膜。實(shí)驗(yàn)中，采用位移控制，滴加生理鹽水進(jìn)行保濕。

1.3 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

在正式試驗(yàn)開(kāi)始前，需要對(duì)樣本進(jìn)行預(yù)加載[9]。研究[14]表明，人的平均咀嚼頻率約為1.57 Hz。本試驗(yàn)通過(guò)以1 Hz的頻率，0.1應(yīng)變的振幅20次諧波循環(huán)對(duì)其進(jìn)行預(yù)處理。約10個(gè)周期的循環(huán)加載后，試樣呈現(xiàn)穩(wěn)定的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，這與Sanctuary[15]的研究結(jié)果相同。

應(yīng)力松弛指材料受恒定應(yīng)變時(shí)應(yīng)力隨時(shí)間減小的現(xiàn)象，這意味著材料應(yīng)受位移載荷的控制。由連續(xù)介質(zhì)力學(xué)對(duì)應(yīng)力松弛的定義可知，應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)應(yīng)施加階躍應(yīng)變載荷，以探究材料在瞬時(shí)載荷下的應(yīng)力響應(yīng)，無(wú)法實(shí)現(xiàn)Sanctuary[15]在文中提出實(shí)際試驗(yàn)時(shí)瞬時(shí)跳躍的載荷，如圖2a所示，應(yīng)盡量的減少加載時(shí)間t*，即應(yīng)盡可能的提升拉伸階段應(yīng)變率。經(jīng)多次嘗試，在不引起儀器振動(dòng)而使數(shù)據(jù)產(chǎn)生振蕩的前提下，加載時(shí)間設(shè)置為3 s。為體現(xiàn)材料的粘性特征，應(yīng)力松弛的應(yīng)變參數(shù)不宜設(shè)置的過(guò)小，應(yīng)在牙周膜纖維完全拉伸并被動(dòng)延展的階段選取，以跳過(guò)牙周膜的瞬時(shí)彈性特征，本試驗(yàn)選取拉伸的應(yīng)變?yōu)?.4，保載200 s(過(guò)長(zhǎng)的保載時(shí)間會(huì)導(dǎo)致樣本失去水分，200 s為多次預(yù)實(shí)驗(yàn)后總結(jié)獲得的合理時(shí)間)。加載曲線如圖2b所示。

圖1牙齒-牙周膜-牙槽骨切片樣本制作流程示意圖

表1牙齒樣本基本參數(shù)

樣本部位牙周膜面積/mm2牙周膜厚度/mmA1側(cè)切牙頸5.540 40.25A2側(cè)切牙中11.4680.25A3側(cè)切牙根14.770 60.25A4中切牙頸9.9360.25A5中切牙中6.479 20.25A6中切牙根7.603 20.25

a.理想加載曲線 b.應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)加載曲線

圖2加載曲線

1.4 數(shù)據(jù)處理

首先計(jì)算試樣所受的Lagragian應(yīng)力σx[16]：

(1)

式中Fx為實(shí)驗(yàn)所記錄的沿拉伸方向的拉力，A為拉伸方向的參考截面積(通過(guò)實(shí)驗(yàn)前測(cè)量的樣本尺寸計(jì)算得到)

計(jì)算各時(shí)刻應(yīng)變?chǔ)?

(2)

式中d為實(shí)驗(yàn)所記錄的沿拉伸方向的位移，d0為試樣牙周膜的厚度(此處取平均厚度0.25 mm)。

各樣本應(yīng)力與時(shí)間的關(guān)系，如圖3所示。同時(shí)為求取模型參數(shù)，根據(jù)公式(3)計(jì)算得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的松弛模量曲線。

(3)

從樣本應(yīng)力- 時(shí)間曲線可以看出，樣本在受到階躍位移載荷時(shí)，應(yīng)力響應(yīng)并非隨時(shí)間不變，而是隨時(shí)間緩慢變小且開(kāi)始階段趨勢(shì)明顯，150 s以后曲線逐漸趨于平緩，體現(xiàn)出牙周膜材料應(yīng)力響應(yīng)隨時(shí)間變化的形式，表明其粘彈性特征。

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2 模型的構(gòu)建及參數(shù)求取

應(yīng)力松弛是粘彈性材料的典型特征之一[17]，應(yīng)力松弛響應(yīng)可表示如下：

(4)

相應(yīng)的，蠕變響應(yīng)也可表示為：

圖3應(yīng)力-時(shí)間曲線

(5)

式(3)和(4)中，G(t)與J(t)分別為應(yīng)力松弛模量與蠕變?nèi)崃?/p>

從粘彈性材料的本構(gòu)關(guān)系不難發(fā)現(xiàn)，蠕變?nèi)崃縅(t)和松弛模量G(t)之間的關(guān)系可以通過(guò)式(6)中的拉普拉斯變換式來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)，

(6)

2.1 Zener模型

廣義粘彈性模型主要包括廣義Maxwell模型(也稱(chēng)為Wiechert模型)和Kelvin鏈模型。廣義Maxwell模型是由多個(gè)并聯(lián)的Maxwell模型與退化單元彈簧元件或粘壺元件進(jìn)一步并聯(lián)組成，該模型適合描述松弛現(xiàn)象；Kelvin鏈模型是由多個(gè)串聯(lián)的Kelvin模型元件退化單元串聯(lián)而成，較為適合描述蠕變現(xiàn)象。本課題組成員Huang[12]曾提出了Zener模型用于描述牙周膜的粘彈性力學(xué)行為，該模型為Maxwell單元并聯(lián)一個(gè)彈簧元件。

(7)

獲得松弛模量G(t)為：

(8)

2.2 五參數(shù)模型

建模時(shí)應(yīng)考慮材料本質(zhì)更偏向于流體還是固體以及材料對(duì)突變載荷的瞬態(tài)響應(yīng)。由粘彈性理論可知，通過(guò)增加參數(shù)量可以提高模型對(duì)粘彈性力學(xué)行為的描述能力。本研究在課題組已建立的三參數(shù)固體粘彈性Zener模型基礎(chǔ)上進(jìn)一步構(gòu)建了五參數(shù)有沖擊響應(yīng)的固體粘彈性模型，其組成形式如圖4所示。

圖4五參數(shù)固體粘彈性模型

設(shè)彈簧柔度分別為E1、E2、E3，粘壺粘度為η1、η2，整個(gè)系統(tǒng)所受的應(yīng)力為σ，應(yīng)變?yōu)棣?。根?jù)組成部分之間的關(guān)系，列出如下的線性微分方程組：

(9)

對(duì)微分方程組進(jìn)行Laplace變換,消去中間變量σ1、σ2、σ3，得：

(10)

(11)

(12)

2.3 模型對(duì)比及參數(shù)求取

根據(jù)試驗(yàn)所獲得的應(yīng)力-時(shí)間曲線，由式(3)計(jì)算得到試驗(yàn)過(guò)程中牙周膜的松弛模量G(t)曲線。為了評(píng)價(jià)Zener模型和五參數(shù)模型對(duì)牙周膜應(yīng)力松弛特征的描述能力，分別用式(8)和式(12)對(duì)松弛模量曲線進(jìn)行擬合。由于不存在理想的階躍加載過(guò)程，故擬合時(shí)忽略加載過(guò)程的數(shù)據(jù)點(diǎn)，僅從達(dá)到預(yù)設(shè)應(yīng)變載荷處開(kāi)始擬合，各樣本擬合結(jié)果如圖5所示，殘差分布如圖6所示，擬合優(yōu)度見(jiàn)表2。

從圖中可以看出Zener模型與牙周膜的應(yīng)力松弛特性符合度相對(duì)較高，校正決定系數(shù)在0.93至0.98之間。但是，進(jìn)一步觀察殘差分布圖時(shí)發(fā)現(xiàn)，Zener模型殘差分布范圍較大且離散程度不高，曲線剛開(kāi)始的一段尤為明顯。表明三參數(shù)固體粘彈性Zener模型在一定程度上可以描述牙周膜非線性粘彈性行為，但仍不精確。與Zener模型相比，五參數(shù)固體粘彈性模型對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合精度有了很大提高，校正決定系數(shù)均在0.99以上。最重要的是，殘差分布范圍縮小一半，且殘差分布離散程度更高，能夠更好的表現(xiàn)實(shí)驗(yàn)曲線開(kāi)始階段的驟降現(xiàn)象。這表明五參數(shù)固體粘彈性模型比Zener模型更適合用于描述牙周膜的粘彈性力學(xué)行為。

進(jìn)一步將試驗(yàn)數(shù)據(jù)代入五參數(shù)模型松弛模量公式(12)，可以計(jì)算得到各個(gè)樣本的模型參數(shù)(表3)。

3 討 論

牙周膜的粘彈性力學(xué)特征非常復(fù)雜，受制于實(shí)驗(yàn)的困難性以及人牙周膜復(fù)雜的內(nèi)部構(gòu)成，目前尚無(wú)公認(rèn)的、能準(zhǔn)確描述其力學(xué)特性的材料本構(gòu)模型。牙周膜本構(gòu)模型的構(gòu)建需從材料本身的特性出發(fā)，考慮到牙周膜的組成成分中纖維占比重最大，偏固體的粘彈性模型更加適合描述其力學(xué)特性；從試驗(yàn)數(shù)據(jù)可以看出，牙周膜在突變載荷下會(huì)產(chǎn)生瞬態(tài)響應(yīng)。如果使用Kelvin鏈的形式構(gòu)建多參數(shù)的本構(gòu)模型，則需要退化的粘壺單元且不需要退化的彈簧單元；如果使用廣義Maxwell模型，則無(wú)退化的粘壺單元可保證有沖擊響應(yīng)，有退化的彈簧單元可使模型具有固體特性。

本研究在已有的Zener模型的基礎(chǔ)上并聯(lián)了一個(gè)Maxwell單元，引入了一個(gè)新的五參數(shù)粘彈性模型來(lái)描述牙周膜的應(yīng)力松弛特征。通過(guò)萬(wàn)能材料實(shí)驗(yàn)機(jī)對(duì)人牙周膜樣本切片進(jìn)行單軸拉伸，獲得了牙周膜應(yīng)力松弛試驗(yàn)數(shù)據(jù)，從實(shí)驗(yàn)曲線可以看出牙周膜材料應(yīng)力響應(yīng)隨時(shí)間緩慢變小且開(kāi)始階段趨勢(shì)明顯，150 s后曲線逐漸趨于平緩，表明其粘彈性特征。為對(duì)比Zener模型與五參數(shù)模型的描述能力，分別使用松弛模量公式對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘法擬合分析。通過(guò)擬合對(duì)比可以看出，Zener模型能在一定程度上描述牙周膜的粘彈性力學(xué)行為，但殘差分布不離散且分布較大，在曲線開(kāi)始階段尤為明顯。而五參數(shù)模型的擬合精度有了很大提高，校正決定系數(shù)均在0.99以上，同時(shí)，五參數(shù)模型的殘差范圍比Zener模型小一個(gè)數(shù)量級(jí)。通過(guò)殘差分布圖可以看出，相比與Zener模型，五參數(shù)模型能夠更好的體現(xiàn)出松弛模量(應(yīng)力)在開(kāi)始階段驟降的現(xiàn)象。這表明五參數(shù)固體粘彈性模型比Zener模型更適合用于描述牙周膜的粘彈性力學(xué)特性。這種結(jié)果是可以預(yù)見(jiàn)的，因?yàn)槟Ｐ蛥?shù)越多，模型通過(guò)參數(shù)的自我調(diào)整能力越強(qiáng)，對(duì)實(shí)驗(yàn)曲線的擬合能力越強(qiáng)，同時(shí)模型的計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)難度也越大。通過(guò)本研究可以看出，五參數(shù)模型已經(jīng)能夠很好地?cái)M合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，從而沒(méi)有必要繼續(xù)追求更高參數(shù)的粘彈性模型，以免增加材料模型的有限元實(shí)現(xiàn)難度。但是，由于人體實(shí)驗(yàn)樣本獲取不易，且對(duì)實(shí)驗(yàn)環(huán)境要求較高，本次實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)較少?，F(xiàn)有的人樣本牙周膜生物力學(xué)研究絕大多數(shù)以單根牙為研究對(duì)象，多根牙樣本基本沒(méi)有，這是由于牙根形態(tài)不同，牙周膜面積差異很大，不同于牛、豬的牙齒，人牙齒很小，單根牙切片樣本相對(duì)容易制作，而本來(lái)就很小的牙齒在多根形態(tài)下極難制作出可供試驗(yàn)的切片樣本，牙齒和牙槽骨太短不易夾持，切片損壞率太高，因此本研究以單根牙為研究對(duì)象。在實(shí)際情況中不同部位的牙周膜承受的牙合力確實(shí)不同，然而，牙周膜的組織形態(tài)、基本構(gòu)成不因位置而改變，不同部位的牙周膜受力時(shí)應(yīng)力應(yīng)變變化的具體數(shù)值存在差異，但其基本趨勢(shì)一致。即便如此，由單根牙樣本試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到的模型是否適用于多根牙，仍需進(jìn)一步的試驗(yàn)驗(yàn)證。后續(xù)研究將進(jìn)一步擴(kuò)大樣本容量并結(jié)合臨床實(shí)際，對(duì)本研究提出模型做進(jìn)一步的驗(yàn)證。

圖5Zener與五參數(shù)模型擬合對(duì)比

圖6Zener與五參數(shù)模型殘差分布對(duì)比

表2擬合優(yōu)度對(duì)比

樣本校正決定系數(shù)Zener模型五參數(shù)模型A10.973 210.997 68A20.976 210.998 4A30.967 720.997 17A40.969 520.998 45A50.969 470.998 06A60.949 940.999 65

表3模型參數(shù)

樣本E1E2E3η1η2A10.248 90.202 41.056 80.378 721.282 3A20.109 50.122 60.385 30.816 89.963 4A30.019 90.036 70.140 70.164 41.608 9A40.128 50.058 90.175 80.523 93.549 9A50.203 40.131 50.937 91.034 611.899 5A60.089 40.020 20.152 10.252 81.270 6