考慮土體非線性時(shí)大直徑端承樁豎向振動(dòng)研究

阮 瑀， 任 青， 喻孟初

(1.上海理工大學(xué) 土木工程系， 上海 200093; 2.永州市藍(lán)山縣交通運(yùn)輸局， 湖南 永州 425800)

1 研究背景

隨著海洋資源的開發(fā)和利用，大直徑樁因其承載力大、沉降量小等特點(diǎn)，在海洋工程中得到了廣泛的應(yīng)用。

目前，針對(duì)大直徑樁的承載特性、沉降特性及荷載傳遞機(jī)理，學(xué)者們已做了大量的研究[1]。高廣運(yùn)等[2]利用有限差分法建立模型，研究了擴(kuò)底大直徑樁承載力的影響因素，結(jié)果顯示持力層厚度增大能夠提高樁基承載力；張開普[3]通過現(xiàn)場試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)后注漿工藝能夠明顯提高大直徑單樁極限承載力；李玲玲等[4]基于原位試驗(yàn)探討了大直徑鉆孔灌注樁的沉降特性；高盟等[5]運(yùn)用Mindlin 基本解推導(dǎo)出了一種大直徑擴(kuò)底樁沉降量的計(jì)算公式，為實(shí)際工程提供了可靠的計(jì)算方法；之后不少學(xué)者利用現(xiàn)場試驗(yàn)研究了大直徑樁荷載傳遞規(guī)律及承載特性[6-7]。

關(guān)于大直徑樁的靜力研究是其在工程中得到廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)，而在復(fù)雜的海洋環(huán)境下，樁基會(huì)遭受例如風(fēng)浪、機(jī)械動(dòng)力、地震等動(dòng)力荷載，因此對(duì)大直徑樁的動(dòng)力特性的研究顯得尤為重要。Mylonakis[8]基于Novak的平面模型開創(chuàng)性地提出了動(dòng)力研究模型，但是該方法并未考慮樁周土體的非線性，不能分析樁周土體的弱化影響，與實(shí)際工程有很大差別。此后，國內(nèi)學(xué)者尚守平等[9]和鐘銳等[10]分析了考慮非線性時(shí)單樁及群樁的動(dòng)力特性，但不能直接應(yīng)用于大直徑樁；任青等[11]通過對(duì)經(jīng)典土體振動(dòng)模型的改進(jìn)，提出了一種比較符合實(shí)際工程的樁-土振動(dòng)模型，同樣未考慮土體的非線性；隨后范仙明等[12]、顏超等[13]、劉陽等[14]、程鎮(zhèn)等[15]諸多學(xué)者對(duì)樁基豎向和水平振動(dòng)特性做了大量研究，周紅杰等[16]、余萬等[17]重點(diǎn)研究了海上單樁風(fēng)力機(jī)的動(dòng)力響應(yīng)，但主要針對(duì)的是單樁基礎(chǔ)的上部結(jié)構(gòu)，大直徑樁基本身的動(dòng)力性能還有待進(jìn)一步研究。因此，本文在考慮樁周土體非線性的情況下，對(duì)經(jīng)典動(dòng)力分析模型進(jìn)行修正，系統(tǒng)研究了土體的動(dòng)剪切應(yīng)力、動(dòng)剪切模量和滯回阻尼比的影響因素，求解土體動(dòng)阻抗，最后給出了樁底動(dòng)阻抗的影響因素和變化規(guī)律，以期為工程實(shí)際提供可靠的理論依據(jù)。

2 均質(zhì)土體中動(dòng)剪切應(yīng)力

2.1 土體振動(dòng)分析

在簡諧荷載作用下Michaelides等[18]指出樁周土體豎向振動(dòng)平衡方程式如下所示：

(1)

式中：G(r)為土體剪切模量，MPa；ρs為土體密度，kg/m3；w為土體的豎向位移，m；r為土體距離樁軸線的徑向距離，m。在均質(zhì)土體中G(r)以及滯回阻尼比ξ均為常數(shù)，因此可對(duì)上式進(jìn)行簡化計(jì)算。但是在均質(zhì)土體中利用上式求解土體豎向位移和樁周土體動(dòng)剪切應(yīng)力的過程中存在以下不足：

(1)忽略了土體橫向位移的影響，不能考慮土體橫向和豎向位移耦合時(shí)樁周土體的動(dòng)剪切應(yīng)力；

(2)不能考慮應(yīng)力(如?τ/?z,?σ/?z)隨土體深度的變化；

(3)求得的土體豎向位移和動(dòng)剪切應(yīng)力忽略了長細(xì)比(L/d)的影響，與工程實(shí)際情況不相符合。因此，引入下式對(duì)上式進(jìn)行修正:

(2)

(3)

式中：λ、μ為拉梅常數(shù)；λ′、μ′為相關(guān)黏性系數(shù)；u(r,z,t)為土層水平位移，m；w(r,z,t)為土層豎向位移,m。

利用勢函數(shù)對(duì)u(r,z,t)和w(r,z,t)解耦，然后結(jié)合土體的邊界條件，可得土體的豎向位移表達(dá)式如公式(4)～(6)：

(4)

其中：

(5)

(6)

式中：d、R和L分別為樁的直徑、半徑和樁長，m；z為樁身距樁底的距離，m；bn為由邊界條件確定的參數(shù)；a0為線彈性情況下(自由場內(nèi))土體無量綱頻率；vs和ξ分別為線彈性情況下(自由場內(nèi))土體的剪切波速(m/s)和滯回阻尼比，K0( )和K1( )為第二類零階和一階修正Bessel函數(shù)。Mylonakis[8]指出對(duì)于發(fā)生豎向振動(dòng)的大直徑樁，η?。?/p>

(7)

式中：ν為泊松比。

2.2 動(dòng)剪切應(yīng)力的徑向變化

當(dāng)土體發(fā)生振動(dòng)時(shí)，土體動(dòng)剪切應(yīng)力為τ=G·(?w/?r)，因此可得一階模態(tài)下樁周土體(r=R)的動(dòng)剪切應(yīng)力為：

(8)

(9)

式中:G(R)為樁周土體的剪切模量,MPa。

圖1給出了不同無量綱頻率下樁周土體應(yīng)力隨深度的變化曲線。由于大直徑端承樁樁底處土體擾動(dòng)較小，使樁底處土體應(yīng)力為0，另外當(dāng)外界激振頻率較小時(shí)，樁身應(yīng)力隨樁身深度的變化較小，當(dāng)外界激振頻率較大時(shí)，土體應(yīng)力顯著增強(qiáng)。

圖2給出了不同無量綱頻率下樁直徑對(duì)樁周土體應(yīng)力的影響。樁基直徑越大樁頂土體應(yīng)力越小，當(dāng)激振頻率較小時(shí)樁頂土體應(yīng)力受樁基直徑的影響較弱，由于樁基尺寸效應(yīng)樁基長細(xì)比對(duì)樁周土體應(yīng)力有顯著影響。

當(dāng)土體發(fā)生豎向振動(dòng)時(shí)，樁頂距離樁中心r遠(yuǎn)處土體的動(dòng)剪切應(yīng)力為τr(Pa)，其表達(dá)式如公式(10)～(13)所示：

(10)

其中:

(11)

(12)

(13)

圖3給出了不同無量綱頻率下土體應(yīng)力比值隨徑向的變化曲線。圖3表明本文解與Michaelides[18]解在土體應(yīng)力比值上存在一定差異，是由于Michaelides解忽略了土體的水平振動(dòng)，過高地估計(jì)了徑向遠(yuǎn)處土體動(dòng)應(yīng)力值；另外圖3說明無量綱頻率對(duì)土體應(yīng)力比值影響較小，但圖1表明無量綱頻率越大則樁周土體應(yīng)力越大，那么距樁r遠(yuǎn)處的土體應(yīng)力實(shí)際上仍受無量綱頻率的影響較大。

圖4給出了不同長細(xì)比和土體泊松比下土體應(yīng)力比值的徑向變化曲線，圖4雖表明長細(xì)比對(duì)土體應(yīng)力比值無影響，但圖2表明不同長細(xì)比對(duì)樁周土體應(yīng)力影響較大，那么距r遠(yuǎn)處的土體動(dòng)應(yīng)力實(shí)際上仍受長細(xì)比影響較大，但是Michaelides解由于忽略了土體水平振動(dòng)對(duì)豎向振動(dòng)的影響而不能引入長細(xì)比和泊松比等參數(shù)，不能全面地反映樁尺寸對(duì)土體振動(dòng)特性的影響；同時(shí)圖4表明距樁越遠(yuǎn)則土體應(yīng)力越小。

(L=20 m, d=2 m, ξ=0.05)

(L=20 m, z=20 m, ξ=0.05)

(L/d=10, ξ=0.05, ν=0.3)

(a0=1, ξ=0.05)

3 剪切模量和滯回阻尼比徑向變化

3.1 剪切模量的徑向變化

Okur[19]明確指出土體剪切模量和土體應(yīng)變緊密相關(guān)，其表達(dá)式如公式(14)所示：

(14)

式中：G(γ)為土體動(dòng)應(yīng)變?chǔ)胷對(duì)應(yīng)的剪切模量，MPa；Gmax為應(yīng)變較小(γr≤5×10-4%)時(shí)線性情況下土體對(duì)應(yīng)的剪切模量，MPa，可由平均有效圍壓和固結(jié)比確定(Subramaniam等[20])； γa為與塑性指數(shù)相關(guān)的應(yīng)變函數(shù)，其表達(dá)式如公式(15)所示：

(15)

式中：Ip為土體的塑性指數(shù)(本文中塑性指數(shù)以百分?jǐn)?shù)的形式出現(xiàn))。

圖5給出了試驗(yàn)數(shù)據(jù)與公式(14)的對(duì)比結(jié)果，兩者有著較高的吻合度。將土體剪切應(yīng)力代入到公式(14)可得土體剪切模量的徑向變化如公式(16)～(21)所示：

(16)

其中：

ff(Ip)=1-e(-106Ip-1.585)

(17)

δ=Λ·mm(r)

(18)

mm(r)=

(19)

(20)

(21)

將公式(16)～(21)相結(jié)合可將Λ用下式表示：

(22)

式中：γR為樁周土體的應(yīng)變幅值； abs( )為對(duì)括號(hào)內(nèi)復(fù)數(shù)取模；Λ可定義為外界作用力對(duì)土體的作用強(qiáng)度，它是樁周土體應(yīng)變幅值和r的函數(shù)。

圖5 不同塑性指數(shù)下剪應(yīng)變幅值對(duì)動(dòng)剪切模量的影響

圖6給出了不同樁周土體應(yīng)變下作用強(qiáng)度隨距樁距離的變化曲線，圖6表明樁周土體應(yīng)變?cè)酱笞饔脧?qiáng)度的值越大，而應(yīng)變一定時(shí)，距樁越遠(yuǎn)土體的作用強(qiáng)度越小，這是因?yàn)榫鄻对竭h(yuǎn)土體受擾動(dòng)的程度越小。

圖7給出了不同塑性指數(shù)下土體徑向剪切模量比值隨距樁距離的變化曲線，圖7表明塑性指數(shù)越小，則土體剪切模量弱化越快，塑性指數(shù)越大，則土體非線性程度越弱，這是因?yàn)樗苄灾笖?shù)越大土體顆粒愈細(xì)、比表面積越大，在相同的作用條件下土體承受的擾動(dòng)能力越大，剪切模量弱化的程度越小。當(dāng)土體距樁較遠(yuǎn)時(shí)，土體的剪切模量弱化程度較小，這是因?yàn)榫鄻对竭h(yuǎn)，則土體擾動(dòng)越小、應(yīng)變?cè)叫?，而小?yīng)變情況下土體可視作線性材料。

圖8給出了不同樁周土體應(yīng)變下土體徑向剪切模量比值隨距樁距離的變化曲線，圖8表明樁周土體應(yīng)變?cè)酱?，則土體動(dòng)剪切模量的弱化程度越強(qiáng)，當(dāng)土體為小應(yīng)變時(shí)土體表現(xiàn)出線性特征，這是因?yàn)闃吨芡馏w應(yīng)變?cè)叫?，土體顆粒的擾動(dòng)程度越弱。

圖9給出了不同作用強(qiáng)度下樁周土體剪切模量比值隨塑性指數(shù)的變化曲線，圖9表明作用強(qiáng)度越大，則土體動(dòng)剪切模量的弱化程度越強(qiáng)，當(dāng)作用強(qiáng)度為0時(shí)，土體表現(xiàn)出線性特征，這是因?yàn)闃吨芡馏w作用強(qiáng)度代表的是土體應(yīng)變的大小。

(L/d=10, ξ=0.05, ν=0.3, a0=1, Ip=0)

(L/d=10, γR=0.001, a0=1, ξ=0.05, ν=0.3)

(L/d=10, Ip=50, a0=1, ξ=0.05, ν=0.3)

圖9 不同作用強(qiáng)度下剪切模量比值隨塑性指數(shù)的變化曲線

3.2 滯回阻尼比的徑向變化

較多學(xué)者通過研究表明土體滯回阻尼比與土體塑性指數(shù)以及土體動(dòng)剪切模量的變化有較大關(guān)系， Ishibashi等[21]指出土體滯回阻尼比可用公式(23)表達(dá)：

公式(23)能夠準(zhǔn)確地描述塑性指數(shù)和剪切模量的變化對(duì)滯回阻尼比的影響，因此將公式(16)～(22)與公式(23)相結(jié)合，可得塑性指數(shù)及作用強(qiáng)度與土體滯回阻尼比的關(guān)系如圖10～12所示。

圖10給出了不同塑性指數(shù)下滯回阻尼比隨距樁距離的變化曲線，圖10表明塑性指數(shù)越小土體滯回阻尼比越大，距樁越遠(yuǎn)土體的滯回阻尼比越小，這是由于樁體在受到外界激振的過程中能量逐漸被樁周土體消耗，距樁越遠(yuǎn)耗散的能量越少，滯回阻尼比的值越小。

圖11給出了不同樁周土體應(yīng)變下滯回阻尼比隨距樁距離的變化曲線，圖11表明樁周土體應(yīng)變?cè)酱笸馏w滯回阻尼比越大，距樁越遠(yuǎn)土體的滯回阻尼比越小，這是因?yàn)橥馏w應(yīng)變幅值越大土體在振動(dòng)的過程中耗散的能量越多，而此部分能量主要由滯回阻尼消耗從而對(duì)應(yīng)的滯回阻尼比越大。

圖12給出了不同作用強(qiáng)度下樁周土體滯回阻尼比隨塑性指數(shù)的變化曲線，圖12表明當(dāng)土體塑性指數(shù)超過一定值時(shí)樁周土體滯回阻尼比不再隨作用強(qiáng)度變化，這是由于塑性指數(shù)超過一定值時(shí)，土體可視作彈性材料。

(L/d=10, γR=0.001, a0=1, ξ=0.05, ν=0.3)

(L/d=10, Ip=50, a0=1, ξ=0.05, ν=0.3)

圖12 不同作用強(qiáng)度下滯回阻尼比隨塑性指數(shù)的變化曲線

4 非線性情況下土體的動(dòng)阻抗

在簡諧荷載作用下樁周土體發(fā)生振動(dòng)，其豎向振動(dòng)平衡方程式如下：

(24)

式(24)將土體視作非均質(zhì)土體，利用該偏微分方程在求解土體豎向位移和阻抗時(shí)并得不到精確解。通過對(duì)G(r)/Gmax的圖分析，將樁周土體分成4個(gè)區(qū)域(如圖13所示)，每個(gè)區(qū)域邊界距離樁軸線的距離為rj(j=0,1,2,3)，rj是與樁的長細(xì)比、土體泊松比、塑性指數(shù)、無量綱頻率和作用強(qiáng)度相關(guān)的函數(shù)，通過擬合圖形可將4個(gè)邊界區(qū)域作如下近似劃分：r0=R,r1=5R,r2=15R,r3=30R。

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

式中：G0為樁周土體剪切模量，MPa，(可由公式(21)得到)，其中w(r,t)=w(r)eiωt對(duì)式(24)進(jìn)行轉(zhuǎn)化可得：

(31)

(32)

式中：vs(rj)為邊界區(qū)域處土體的剪切波速，m/s。

求解上式并結(jié)合邊界條件(r→∞,w(r)→0)可得：

(33)

其中i2=-1，樁周土體的阻抗為：

(34)

(35)

式中：G(R)/Gmax可由公式(21)得到；a0為線彈性情況下(自由場內(nèi))土體無量綱頻率；ξ0為樁周土體滯回阻尼比，可由公式(23)得到。

圖13 土體區(qū)域劃分

5 層狀地基中的樁-土振動(dòng)模型

圖14為分層土中單樁分析模型。圖14中將樁側(cè)土體分層，每層土體視為單個(gè)的彈簧和阻尼器。樁頂受豎向簡諧荷載pzeiωt(N)，彈簧系數(shù)k，阻尼系數(shù)c。樁參數(shù)如下：樁長L(m)，密度ρ(kg/m3)，橫截面積Ap(m2)，彈性模量Ep(MPa)。Hi為第i層土的厚度。

圖14 分層土中大直徑單樁簡化模型

5.1 大直徑端承樁豎向振動(dòng)分析模型

按對(duì)應(yīng)的土層對(duì)單樁進(jìn)行劃分，用wi(z,t)表示每個(gè)單元的位移(m)，根據(jù)平衡條件，單元的豎向振動(dòng)微分方程為：

(36)

式中：Izi為第i層土體的阻抗，對(duì)于穩(wěn)態(tài)振動(dòng)有wi(z,t)=wi(z)eiωt，得公式(36)的通解為：

wi(z)=AieΓiz+Bie-Γiz

(37)

(38)

式中：積分常數(shù)Ai和Bi由其他條件確定。

樁單元所受的軸向力Ni(N)：

(39)

對(duì)于第i段樁單元，頂部的位移和軸力為：

w(Hi)=AieΓiHi+Bie-ΓiHi

(40)

N(Hi)=ΓiEpAp(AieΓiHi-Bie-ΓiHi)

(41)

頂部的位移和軸力為：

w(0)=Ai+Bi

(42)

N(0)=ΓiEpAp(Ai-Bi)

(43)

則兩端的位移和軸力的關(guān)系式為：

(44)

其中：

(45)

由矩陣傳遞法，得：

(46)

其中：[Tw]=[tw]1[tw]2……[tw]m

(47)

N(0)=-kbw(0)

(48)

式中：kb為樁底的土體阻抗。

則由公式(46)～(48)可得：

w(L)=T11w(0)-kbT12w(0)

(49)

N(L)=T21w(0)-kbT22w(0)

(50)

式中：T11、T12、T21和T22為傳遞矩陣[Tw]的4個(gè)元素。

由上可得層狀土中單樁的豎向振動(dòng)阻抗為：

(51)

由于大直徑端承樁kb趨于無窮大，因而公式(51)可簡化為：

(52)

5.2 大直徑端承樁阻抗影響因素分析

分析阻抗公式(52)可知，在層狀地基中，當(dāng)大直徑樁發(fā)生豎向振動(dòng)時(shí)，樁底阻抗主要由樁和土體的特性決定。本文主要討論樁土相對(duì)剛度、樁的長細(xì)比、土體塑性指數(shù)、樁周土體應(yīng)變、土體泊松比和樁土相對(duì)密度等多個(gè)主要因素，如圖15～20，實(shí)部Re(Kp)和虛部Im(Kp)表示樁基剛度(N/m)和阻尼，Es1(MPa)表示分層地基中第1層土體的壓縮模量。

(1)樁土相對(duì)剛度。如圖15所示阻抗受樁土相對(duì)剛度的變化影響明顯，隨著樁土相對(duì)剛度的降低，動(dòng)剛度有所減小，動(dòng)阻尼在一定程度上增大，因此在設(shè)計(jì)大直徑端承樁時(shí)可通過改變樁體材料來改變樁基的承載能力。

(ν1=0.3, ν2=0.4, γR1=0.0015, γR2=0.001, ξ1=0.02, ξ2=0.05, H1/d=3, H2/d=4,ρp/ρs1=1.3, ρp/ρs2=1.2, Ip1=0.1, Ip2=50)

(2)長細(xì)比。如圖16所示長細(xì)比的改變顯著影響樁基阻抗的大小，樁長細(xì)比越小則剛度越大、阻尼越小，這說明在設(shè)計(jì)大直徑端承樁時(shí)考慮樁基的尺寸效應(yīng)可顯著改變樁基的承載能力。

(3)塑性指數(shù)。如圖17所示塑性指數(shù)越大樁基的剛度和阻尼越大，這是因?yàn)樗苄灾笖?shù)越大土體弱化程度越小，土體對(duì)樁基約束能力越強(qiáng)，另外剛度隨外界激振頻率的增加而減小，阻尼隨外界激振頻率的增加而增大，這是因?yàn)橥饨缂ふ耦l率越大依靠土體阻尼消耗的能量越多。

(4)樁周土體應(yīng)變。如圖18所示樁周土體應(yīng)變?cè)酱髽痘膭偠群妥枘嵩叫?，這是因?yàn)闃吨芡馏w應(yīng)變反映土體弱化程度的大小，當(dāng)樁周土體應(yīng)變較大時(shí)土體弱化程度較大，致使樁周土體阻抗減小。

(5)土體泊松比和樁土相對(duì)密度。如圖19所示在較低頻段(a0≤0 )時(shí)土體泊松比對(duì)樁基阻抗影響較小，而在較高頻段(a0>1)時(shí)泊松比越大剛度越大、阻尼越小；如圖20所示樁土相對(duì)密度對(duì)樁基阻尼影響較小，可以忽略，而樁土相對(duì)密度越小樁基剛度越大(增大幅度最大約300%)，同樣表明大直徑樁基的材料對(duì)樁和地基的動(dòng)力特性影響明顯。

(ν1=0.3, ν2=0.4, γR1=0.0015, γR2=0.001, ξ1=0.02, ξ2=0.05, Ep/Es1=500, Ep/Es2=200,ρp/ρs1=1.3, ρp/ρs2=1.2, Ip1=0.1, Ip2=50)

(ν1=0.3, ν2=0.4, H1/d=3, H2/d=4, ξ1=0.02, 2=0.05, Ep/Es1=500, Ep/Es2=200, ρp/ρs1=1.3,ρp/ρs2=1.2, γR1=0.0015, γR2=0.001)

(ν1=0.3, ν2=0.4, H1/d=3, H2/d=4,ξ1=0.02, ξ2=0.05, Ep/Es1=500, Ep/Es2=200,ρp/ρs1=1.3, ρp/ρs2=1.2, Ip1=0.1, Ip2=50)

(Ep/Es1=500, Ep/Es2=200, γR1=0.0015,γR2=0.001, ξ1=0.02, ξ2=0.05, H1/d=3, H2/d=4, ν1=0.3, ν2=0.4, Ip1=0.1, Ip2=50)

(Ep/Es1=500, Ep/Es2=200, γR1=0.0015, γR2=0.001,ξ1=0.02, ξ2=0.05, H1/d=3, H2/d=4, ν1=0.3, ν2=0.4, Ip1=0.1, Ip2=50)

6 結(jié) 論

考慮了土體豎向振動(dòng)時(shí)發(fā)生水平位移的情況下，系統(tǒng)地討論了土體的動(dòng)剪切應(yīng)力、剪切模量和滯回阻尼比的影響因素和變化規(guī)律，在此基礎(chǔ)上提出分層土中樁-土振動(dòng)模型，分析了非線性情況下樁基阻抗的影響因素，得出以下結(jié)論：

(1)外界激振頻率顯著影響樁周土體的應(yīng)力，在工程中要盡量控制樁基所受激振頻率從而減小樁周土體應(yīng)變和擾動(dòng)。

(2)土體塑性指數(shù)和樁周土體應(yīng)變是影響土體剪切模量弱化和滯回阻尼比的主要因素，當(dāng)塑性指數(shù)較小或者土體應(yīng)變達(dá)到一定值時(shí)，樁周土體動(dòng)力特性主要表現(xiàn)為非線性，距樁較遠(yuǎn)時(shí)土體仍表現(xiàn)為一定的線性特性。

(3)樁土相對(duì)剛度、大直徑樁的長細(xì)比、土體塑性指數(shù)以及樁周土體應(yīng)變對(duì)大直徑樁動(dòng)阻抗的影響較大；而土體剪切模量的弱化受土體泊松比、密度等影響較小，在計(jì)算大直徑端承樁的動(dòng)阻抗時(shí)無需過多考慮。